Laboratorio di ElTel Modulazioni Numeriche Mauro Biagi Outline

Laboratorio di El&Tel Modulazioni Numeriche Mauro Biagi

Outline • Modulazione numerica in banda base • Criterio di Nyquist • Modulazione numerica in banda traslata • Simulatore Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 2

Modulazione e demodulazione numerica: schema segnale numerico . . . 0010111001. . . segnale analogico modulatore numerico mezzo trasmissivo segnale numerico . . . 001001. . . affetto da errori Modulazioni Numeriche demodulatore numerico affetto da distorsioni e rumore 11/23/2020 segnale analogico Pagina 3

Modulazione Numerica: banda base vs. b. traslata banda base banda traslata utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza contiguo all’origine utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza non contiguo all’origine X(f) f f Mezzi trasmissivi in banda base (es. : linea bifilare) Mezzi trasmissivi in banda traslata (es. : trasmissioni radio) 4 Modulazioni Numeriche 11/23/2020 Pagina 4

Modulazione numerica: schema di b. traslata segnale numerico modulatore numerico in banda traslata segnale analogico in banda traslata mezzo trasmissivo segnale numerico Modulazioni Numeriche demodulatore numerico (banda traslata) segnale analogico in banda traslata 24/04/12 Pagina 5

Rappresentazione dei segnali numerici (1/7) q. Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico: Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU Potenza luminosa entrante in una fibra ottica +5 V 0 1 0 0 0 1 … t -5 V P 0 0 0 1 0 1 … t q. Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE Modulazioni Numeriche 24/04/12 6 Pagina 6

Rappresentazione dei segnali numerici (2/7) 0 asse dei tempi segnale numerico b(n) (sequenza di simboli) sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 -> 0 ; -5 -> 1 ) impulsi 1 t di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti n. T T . . . 0 1 2 T 0 0 5 T 0 1 … . . . +5 -5 +5 +5 +5 -5 … a(0)g(t) a(1)g(t-T) a(2)g(t-2 T) a(3)g(t-3 T) +5 -5 Modulazioni Numeriche 24/04/12 7 Pagina 7 t

Rappresentazione dei segnali numerici (3/7) Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente: qalfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili, senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, . . . , α– 1} qintervallo di tempo tra simboli consecutivi : T qvelocità di emissione dei simboli: fs=1/T Modulazioni Numeriche 24/04/12 8 Pagina 8

Rappresentazione dei segnali numerici (4/7) Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico dove q g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore q i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabeto [ a 0 , a 1 , a 2 , . . . , aα-1 ] Modulazioni Numeriche 24/04/12 9 Pagina 9

Rappresentazione dei segnali numerici (5/7) q. Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}. b(n) a(n) simboli 0 1. . . α -1 ampiezze di impulso a 0 a 1. . . aα-1 Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0. Esempi: α=2 α=3 α= 4 +1 a -1 0 -1 Modulazioni Numeriche +1 a +1/3 -1 Senza perdita di generalità, nel caso di a=2 assumeremo a 0 =1, a 1=-1. 24/04/12 10 Pagina 10

Rappresentazione dei segnali numerici (6/7) onda PAM q. PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso) simboli diversi -> differenti valori della ampiezza degli impulsi larghezza di banda -> del segnale g(t) dell’onda PAM Modulazioni Numeriche 24/04/12 11 Pagina 11

Rappresentazione dei segnali numerici (7/7) Esempi di segnali PAM Ordine dell’alfabeto a Ampiezze di impulso ai (i=0, 1, . . . , a-1) 2 [+1 , -1] Forma di impulso g(t) [+1, 0, -1] [+1, +1/3, -1] +T/2 0 0 0 +T/2 24/04/12 0 T 0 1 -T/2 Modulazioni Numeriche 0 1 -T/2 4 0 1 -T/2 3 segnale PAM x(t) 1 2 T 0 1 0 T 2 T 0 1 0 0 T 0 2 3 2 T 12 Pagina 12

Efficienza spettrale Obiettivi: • trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm; • ottenere elevata efficienza di banda, definita come: q. Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t). Modulazioni Numeriche 24/04/12 13 Pagina 13

Schema di un modulatore PAM Segnale dalla sorgente (rappres. PAM ideale) Filtro formatore di impulso con risposta impulsiva g(t) Segnale PAM ideale 0 0 0 1 Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) 0 t Modulazioni Numeriche 0 0 24/04/12 0 T 1 2 T 0 t 14 Pagina 14

Canale (lin e perm) con rumore additivo gaussiano Canale lineare e permanente C(f) = FT [c(t)] passa-basso C(f) = 0 per |f | > fm y(t) = x(t) * c(t) + n(t) Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) 0 0 0 T 1 0 z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita dal canale rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza uniforme Wn(f) = N 0 (Watt/Hz) “rumore Gaussiano bianco” 2 T Modulazioni Numeriche 24/04/12 15 Pagina 15

Demodulatore PAM Campionamento negli istanti t = k. T Filtro di ingresso al demodulatore GR(f) z(t) segnale in uscita dal canale w(t) = y(t) * g. R(t) + h(t) = r(t) + h(t) rumore filtrato componente utile Esempio: w(k. T) ^a(k) ^b(k) +1, 21 +0, 66 +1 +1 0 0 1 -1, 35 -1 0 Modulazioni Numeriche w(k. T) +1, 17 +1 Decisione criterio di decisione â(k) sequenza stimata delle ampiezze trasmesse Il criterio qui applicato è il seguente: ^ = +1 ; w(k. T) > 0 -> a(k) ^ = -1 w(k. T) < 0 -> a(k) Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata. 24/04/12 16 Pagina 16

Schema riassuntivo MODULATORE DEMODULATORE sequenza â(k) Segnale dalla sorgente Decisione w(k. T) Campionamento negli istanti t = k. T Filtro formatore di impulso G(f) CANALE w(t) = y(t) * g. R(t) + h(t) n(t) Canale lineare e permanente C(f) y(t) Modulazioni Numeriche + 24/04/12 Filtro di ingresso al demodulatore GR(f) z(t) = y(t) + n(t) = = x(t)*c(t) + n(t) 17 Pagina 17

Ricezione del segnale w(t) = y(t)*g. R(t) + n(t)*g. R(t) = r(t) + h(t) segnale utile con risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f) Modulazioni Numeriche rumore (filtrato) Il segnale utile r(t) è ancora un segnale PAM con forma di impulso h(t) 24/04/12 18 Pagina 18

Ricezione del segnale q. Obiettivo: ricavare una “stima” {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(k. T) , k =. . . , -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} q. Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 -> η(t)=0 Interferenza intersimbolica (ISI) , n≠k coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0) Modulazioni Numeriche componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza kesima e dalla funzione h(t) (ISI) 24/04/12 19 Pagina 19

Interferenza Intersimbolica: criterio di Nyquist q. Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist: si ha sempre w(k. T) = a(k) Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore). Modulazioni Numeriche 24/04/12 20 Pagina 20

Criterio di Nyquist: forme d’onda (1/2) q. Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori +/- T/2. Esempio: w(t) h(t) 1 1 -T -T/2 +T/2 +T +2 T Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro. Modulazioni Numeriche 24/04/12 21 Pagina 21

Criterio di Nyquist: forme d’onda (2/2) PROBLEMA q Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). q Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e, quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per. Modulazioni Numeriche 24/04/12 22 Pagina 22

Criterio di Nyquist: dominio della frequenza q. Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza Esempio: H(f+1/T) costante H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) T f -1/2 T 0 +1/2 T Modulazioni Numeriche -2/T -1/T 0 24/04/12 +1/T +2/T f 23 Pagina 23

Banda minima per criterio di Nyquist q. Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di: Banda di Nyquist La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di f. N non può mai dare luogo a una costante. Modulazioni Numeriche H(f) f -1/2 T 24/04/12 0 +1/2 T 24 Pagina 24

Forma d’onda di Nyquist (passa basso) q Una particolare forma di impulso h 0(t) limitato in banda ii. che soddisfa le condizioni di Nyquist è quella la cui trasformata di Fourier H 0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T): i. h 0(t) H 0(f) T t 0 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T -1/2 T Modulazioni Numeriche 24/04/12 0 +1/2 T f 25 Pagina 25

Forma d’onda di Nyquist: a banda limitata Esempio: Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h 0(t) H 0(f) +1 T T 0 t f -1/2 T 0 +1/2 T r(t) +1 t 0 -1 Modulazioni Numeriche 24/04/12 26 Pagina 26

Forme d’onda a coseno rialzato (1/3) H(f) g fattore g = di 1 roll-off, 0 < γ < 1 g = 0. 6 T g = 0. 3 g=0 0 f. N Modulazioni Numeriche 2 f. N 24/04/12 27 Pagina 27

Forme d’onda a coseno rialzato (2/3) q All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a 1 Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più rapidamente. h(t) 1 γ=1 g = 0. 6 γ= 0. 3 g =0 -4 T -3 T -2 T -T 0 T 2 T 3 T t 4 T q. Minore criticità nel campionamento in ricezione. q. La banda occupata aumenta da f. N(1 + γ) Modulazioni Numeriche 24/04/12 28 Pagina 28

Forme d’onda a coseno rialzato (3/3) Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, (γ =0 eγ =1) h(t) g =0 +1 +1 T 0 g =1 T t 0 r(t) t r(t) +1 +1 0 -1 Valori di Baccarelli, g. Modulazioni di interesse operativo: 0, 2 < γ < 0, 624/04/12 Numeriche Cordeschi, Patriarca, Polli 0 t t -1 29 Pagina 29

Ricezione in presenza di ISI q. Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale). Esempio: q. Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(k. T), per k ≠ 0] T T q. Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ≠ 1] +1 -1 Baccarelli, Modulazioni Numeriche Cordeschi, Patriarca, Polli 24/04/12 30 Pagina 30

PAM multilivello q. I simboli sono associati ad a ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad a livelli) conversione di alfabeto 2 -> a sorgente binaria velocità di simbolo binario fb modulatore PAM ad a livelli canale in banda base (freq. max. fm) velocità di simbolo q. Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist). Modulazioni Numeriche 24/04/12 31 Pagina 31

Vantaggi e svantaggi del M-PAM q. All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM utilizzato abbiamo che: Aumento dell’efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM, ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb. ii. Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso. Modulazioni Numeriche 24/04/12 3232 Pagina

Demodulazione PAM in presenza di rumore q. Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(k. T) , k =. . . , -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} q. Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco (Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione) q. Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento k. T si ha Variabile con a valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza sh 2 33

Criterio di decisione (1/4) w(k. T)=a(k)+h(k. T) q. Problema: Misurato w(k. T) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ? Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) q. Misurato w(k. T) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a 0. . aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a 0 ], …, p[w* a(k)= aa-1]}. q. In formule, la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= a i]} 34

Criterio di decisione (2/4) w(k. T)=a(k)+h(k. T), q Poiché la componente di rumore η(k. T) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a 0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal valore misurato w(k. T) w*. q Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: a(k)=argmin{(w*- ai) } IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea 35

Criterio di decisione (3/4) w(k. T)=a(k)+h(k. T) q Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario). q Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(k. T) 0 e decide a(k)=-1 quando w(k. T)<0, in accordo alla relazione (2 -PAM) a(k)= q Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità: P e P(a(k) Modulazioni Numeriche a(k)). 24/04/12 36 Pagina 36

Criterio di decisione (4/4) a(k) w(k. T) p [w(k. T) | a(k) = +1]= ph [h=w(k. T)-1] +1 0 p [w(k. T) | a(k) = -1]=ph [h=w(k. T)+1] -1 a(k) = -1 h(k. T) > +1 w(k. T) = a(k. T) + h(k. T) > 0 , â(k. T) = +1 w(k) a(k. T) > 0“errore” Densità di probabilità gaussiana Modulazioni Numeriche 24/04/12 Probabilità di errore (area tratteggiata in figura) 37 Pagina 37

Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata 38

Modulazione QAM (analogica) Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica di ampiezza definito dallo schema seguente: x(t) cos(2πf 0 t) (portante in fase) sfasatore π/2 cos(2πf 0 t + π/2) (portante in quadratura) oscillatore y(t) frequenza f 0 + s(t) segnale modulato QAM : s(t) = x(t) cos(2πf 0 t) + + y(t) cos(2πf 0 t + π/2) somma di due segnali y(t) cos(2πf 0 t + π/2) che occupano la stessa banda: f 0 ±fm 2 segnali modulanti, in banda base [- fm, fm]

Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2) x 2 s(t) cos(2πf 0 t) 2 cos(2πf 0 t) Segnale QAM s(t) passabasso ideale [ - fm, fm] x(t) sfasatore π/2 ricostruzione portante f 0 2 cos(2πf 0 t+π/2) passa- x Modulazioni Numeriche 2 s(t) cos(2πf 0 t + π/2)basso y(t) ideale [ - fm, fm] 24/04/12 Pagina 40

Demodulazione del segnale QAM (2/2) Segnale all’ingresso del demodulatore: Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)): Termine proporzionale al segnale modulante x(t) Modulazioni Numeriche Termini che occupano la banda 2 f 0 = fm (eliminati dal filtraggio) 24/04/12 termine nullo Pagina 41

Modulazione QAM numerica Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico: conversione di alfabeto 2 -> α = 2 u conversione serie/parallelo segnali binari fb/2 segnale binario (velocità di simbolo binario fb) Modulazioni Numeriche PAM ad a livelli velocità di simbolo: conversione di alfabeto 2 -> α = 2 u 42 PAM ad a livelli 24/04/12 modulatore QAM analogico s(t)=x(t)cos(2πf 0 t)+ y(t)cos(2πf 0 t+π/2) segnale modulato QAM Pagina 42

Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6) • Sia (x(t), y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano. • Negli istanti caratteristici di campionamento t = k. T ciascuna delle due coordinate di (x(k. T), y(k. T)) assume una delle a ampiezze di impulso possibili. Risulta così individuato un insieme di α 2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM. Modulazioni Numeriche 43 24/04/12 Pagina 43

Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6) y Esempio 1: a = 22 = 4 livelli, con ampiezze di impulso +1, +1/3, -1. La costellazione è costituita da un insieme di 16 punti disposti a forma di reticolo regolare a maglie quadrate. +1 modulazione 16 -QAM +1/3 -1 -1/3 0 +1/3 +1 x -1/3 -1 Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 44

Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6) Esempio 2: a = 21 = 2 livelli. Esempio 3: a = 23 = 8 livelli. Modulazione 4 -QAM Modulazione 64 -QAM ( 4 -PSK, QPSK ) y y + 1 -1 +1 0 x -1 +1 -1 -1 Modulazioni Numeriche 0 x 24/04/12 Pagina 45

Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6) Gli a 2 = 22 u punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 22 u parole binarie distinte formate da 2 u bit. Ogni T secondi vengono trasmessi 2 u bit del segnale di ingresso. u bit una ampiezza di impulso PAM (α = 2 u livelli) x(k. T) una ampiezza di impulso PAM (α = 2 u livelli) y(k. T) un punto della costellazione (x(k. T), y(k. T)) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 46

Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6) Esempio 4: codifica di costellazione: parola binaria 000001 00010 00011 00100 00101. . . 11110 11111 Modulazione 32 -QAM y ax -1, 5 d -0, 5 d +1, 5 d -2, 5 d -1, 5 d. . . +0, 5 d +1, 5 d Modulazioni Numeriche ay +2, 5 d +1, 5 d. . . -2. 5 d -2, 5 d 000001 00010 00011 d 00100 00101 x d 24/04/12 11110 11111 Pagina 47

Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6) Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati. Modulazione 8 PSK Il nome 8 -PSK (analogamente al 4 -PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r, j) sono differenziate soltanto in base alla fase j (r = 1 = cost). 011 Una possibile codifica di costellazione è: parola di ingresso ax ay 000 001 010 111 100 001 1 000 010 100 111 Modulazioni Numeriche 24/04/12 101 Pagina 48

Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata al demodulatore s(t) canale lin. e perm. passa-banda ideale (banda f 0 fm) CANALE DI TRASMISSIONE filtro di ingresso al demodulatore passa-banda ideale (banda f 0 fm) + n(t) rumore gaussiano bianco con spettro di densità di potenza Wn(f) = N 0 costante segnale ricevuto: z(t) = s(t) + h(t) segnale modulato: s(t) = x(t) cos(2πf 0 t) + y(t) cos(2πf 0 t + π/2) rumore gaussiano filtrato banda: [f 0 ± fm]U [-f 0 ± fm] banda: [-fm, fm] Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 49

Componenti del rumore gaussiano Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N 0 vale la seguente decomposizione: - (f 0 + fm) - f 0 - (f 0 - fm) Wh(f) f 0 (f 0 - fm) h(t) =hx(t) cos(2 pf 0 t) + hy(t) cos(2 pf 0 t + p/2) hx(t) e hy(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi ü uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm, fm] (banda base); ü uguale potenza sh 2, uguale a sua volta alla potenza di h(t). ll rumore gaussiano h(t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui hx(t) e hy(t) sono i segnali modulanti. Modulazioni Numeriche 50 24/04/12 Pagina 50

Demodulazione in presenza di rumore gaussiano Il segnale ricevuto ha l’espressione: z(t) = s(t) + h(t) = [x(t) + hx(t)] cos(2 pf 0 t) + [y(t) + hy (t)] cos(2 pf 0 t + p/2) All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali: dx(t) = x(t) + hx(t), dy(t) = y(t) + hy(t) Negli istanti di campionamento t=k. T (e in assenza di ISI) si ha dx(k. T) = ax(k) +h x(k. T), dy(k. T) = ay(k) + hy(k. T) Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto R=( dx(k. T) , dy(k. T)) differisce in generale dal punto trasmesso T=(ax(k) , ay(k) ) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 51

Decisione in presenza di rumore gaussiano Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD) Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, . . a 2 -1 }. Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R. y T R O Modulazioni Numeriche x T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore 24/04/12 Pagina 52

Regioni di decisione • L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del signal set delle regioni di decisione associate ai punti della costellazione. • La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal set. Esempio: Modulazione QAM y P Q Punto Q x Punto P (regione illimitata) Modulazioni Numeriche 53 24/04/12 Pagina 53

Regioni di decisione e probabilità di errore Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato) quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione relativa al punto trasmesso T. y Esempio: Punto trasmesso: T Vettore rumore: TR Punto ricevuto R Regione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T (decisione errata) T T x R La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore). Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 54

Cosa vedremo in laboratorio? Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 55

Agilent Vector Signal Analyzer • Software per PC che consente di emulare diversi sistemi • In linea di principio consente l’interazione con dispositivi hardware (ma solo di certi produttori) • Richiede schede di acquisizione o software in grado di convertire i formati “proprietari” dei dispositivi hardware in formati “leggibili” • Presenta dei “preset” di visualizzazione in grado di analizzare diverse “features” dei segnali. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 56

Schema Q-PSK Diagramma di costellazione Spettro dell’errore Diagramma ad occhio Spettro del segnale Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 57

Ricezione in presenza di un basso livello di rumore Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 58

canale dispersivo in tempo Un canale dispersivo in tempo introduce una perdita significativa della qualità del segnale. Quando la risposta impulsiva è molto lunga si ha il fenomeno dell’ISI e di fatto il numero di errori introdotti è elevato Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 59

Canale dispersivo in tempo Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 60

Tono interferente sinusoidale Sotto l’ipotesi di canale ideale (h(k)=1), si considera cosa accade se si presenta un segnale (dovuto ad un servizio diverso di TLC) con una portante a 2. 000025 GHz (spostato di 25 KHz rispetto alla frequenza centrale 2 GHz). Si suppone inoltre che la potenza del tono interferente sia notevolmente più elevata del segnale “utile) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 61

Tono interferente sinusoidale Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 62

Segnale di Jam modulato in frequenza Al fine di valutare cosa accade in presenza di un segnale (volontariamente generato) di disturbo (jam) si considera un segnale modulato in frequenza con variazione lineare (chirp) che generi quindi problemi di corretta decisione sul simbolo ricevuto. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 63

Segnale di Jam modulato in frequenza Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 64

Generazione di segnali Per la generazione di segnali ci avvaliamo di Matlab ed esportiamo i valori (fase e quadratura) contenuti in una matrice Mx 2 in un file di testo con tabulazione Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 65