Laboratorio di didattica della matematica Argomento Funzioni di
Laboratorio di didattica della matematica Argomento Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione sottoposta a vincoli. Problemi di ottimizzazione. Motivazioni della scelta · Presenza dell’argomento nei temi ministeriali della classe di concorso A 048 -Matematica applicata · Possibilita’ di utilizzo dell’argomento nelle classi di concorso A 047 -A 049 anche con esempi applicativi della teoria delle funzioni in due variabili 1
Argomento Prerequisiti Obiettivi Conoscenze (sapere) Competenze (saper fare) Oggetti matematici e approfondimenti Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione sottoposta a vincoli. Problemi di ottimizzazione. Retta, parabola, iperbole Funzioni di una variabile Disequazioni e sistemi di disequazioni in due variabili Calcolo differenziale. Condizioni di estremo Modellizzazione Rappresentazione nel piano delle curve di livello di una f(x, y) Massimi e minimi con curve di livello, per problemi di estremo libero e vincolato Massimi e minimi con metodi dell’analisi, per problemi di estremo libero e vincolato Superfici nello spazio Curve nel piano ( Metodo dei moltplicatori di Lagrange) Tipo di applicazioni Problemi economici Collegamenti con altre materie ITC - Economia aziendale / Diritto ed economia Utilizzo del calcolatore Grafici di superfici nello spazio con il calcolatore 2
Funzioni in due variabili e problemi di ottimo Ottimizzare f(x, y) Modello matematico : Vincoli di segno Vincoli tecnici f(x, y) lineare non lineare Punti di ottimo (estremi) liberi vincolati lineari equazioni vincoli disequazioni e disequazioni non lineari non lineari 3
Metodi per determinare gli estremi: 1) Procedimento grafico-geometrico Estremi liberi 2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico Estremi liberi Estremi vincolati 4
Estremi liberi • Definizione e rappresentazione grafica di una funzione di due variabili z = f(x, y) z : D R (x, y) z = f(x, y) D = dominio = sottoinsieme di R R • Linee di livello Una linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy dell’insieme dei punti della superficie aventi valore z = k. Per determinarle : z = f(x, y) z = k 5
• Esempio Rappresentare le linee di livello di z = x 2 – y – 2 x per k=1, k = 0, ecc. 6
• Esempio Rappresentare le linee di livello di z = x 2 – y – 2 x per k=1, k = 0, ecc. 7
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Max e min con curve di livello Paraboloide z = x 2 + y 2 con linee di livello x 2+y 2=k Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti 9
Estremi vincolati • • Vincolo espresso da equazione g(x, y) = 0 Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x, y) = 0 • • • - g(x, y) linea nel piano xy - variabili non indipendenti, soddisfacenti la condizione g(x, y) = 0 - max e min nei punti di intersezione del dominio con la linea 10
Esempio – Combinazione ottima di fattori produttivi Un’impresa produce un dato prodotto in quantità q impiegando due fattori produttivi A e B che, entro certi limiti, sono tra loro sostituibili. Il legame tra i fattori A, B e la produzione q è dato dalla funzione di produzione q = f(x, y) dove x =quantità di A, y=quantità di B per produrre la quantità q del prodotto. In pratica, la funzione di produzione esprime una relazione tecnico-economica (determinata dagli economisti) che lega la quantità di prodotto finito q alle quantità x e y di fattori produttivi impiegati, in quanto la quantità q può essere ottenuta con diverse combinazioni di A e B. Se i costi per unità del fattore A e del fattore B sono rispettivamente p 1 e p 2 , il costo totale relativo alla produzione della quantità q di prodotto è : C = p 1 x + p 2 y. Si possono presentare due problemi : 1° problema : minimizzare il costo totale (funzione obiettivo) per produrre una prefissata quantità di prodotto (vincolo) 2° problema : massimizzare la produzione (funzione obiettivo) ad un livello di costi prefissato (vincolo) 11
Esempio numerico relativo al 1° problema Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi unitari sono p 1 = 20 e p 2 = 5. La funzione di produzione è rappresentata da q = 10 Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione della quantità q = 100. 12
Esempio numerico relativo al 1° problema Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi unitari sono p 1 = 20 e p 2 = 5. La funzione di produzione è rappresentata da q = 10. Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione della quantità q = 100. Soluzione Posto q = 100 la funzione di produzione si scrive come segue : 100 = 10 ossia 10 = Il costo totale è C = 20 x + 5 y min C = 20 x + 5 y con i vincoli Pertanto il modello matematico è x 0 y 0 10 = La funzione obiettivo è un piano nello spazio le cui linee di livello risultano rette parallele. Infatti, impostando il sistema z = 20 x + 5 y z = k e risolvendolo per alcuni valori di k si ottengono le rette di livello (isocosti) in figura: La funzione vincolo si può scrivere y = 100 / x (iperbole equilatera ). I punti estremi sono dati dai punti in cui le linee di livello sono tangenti alla linea del vincolo: si imposta il sistema y = 100 / x 20 x + 5 y = k Si pone = 0 il discriminante dell’equazione di secondo grado ottenuta . Quindi il punto di min risulta P(5, 20) per k =200 (valore di costo minimo). 13
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x, y) è continua in S, per il teorema di Weierstrass esistono min e max assoluti. Per determinarli si devono considerare : - i punti di max e min relativo interni ad S; - i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S; - si sceglie l’estremo assoluto. Se la superficie si può rappresentare con curve di livello semplici la determinazione dei massimi e minimi assoluti consiste nell’individuare la linea di livello con k maggiore e quella con k minore, compatibilmente con il sistema dei vincoli. 14
Esempio Determinare max e min assoluto di z = f(x, y) = x 2 + y 2 – 2 x – 4 y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli : x 0 y 0 2 x + y 8 15
Esempio Determinare max e min assoluto di z = f(x, y) = x 2 + y 2 – 2 x – 4 y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli : x 0 y 0 2 x + y 8 L’insieme S è rappresentato dal triangolo OAB, intersezione dei tre semipiani. La funzione obiettivo è un paraboloide le cui linee di livello sono circonferenze concentriche x 2 + y 2 – 2 x – 4 y = k di centro C(1, 2) e raggio r = (5+k)1/2, reali se k. -5 Se k = -5 si ha r = 0, se k = -1 si ha r = 2. Le circonferenze hanno raggio crescente al crescere di k. La linea di livello che interseca il triangolo per il più piccolo valore di k determina il punto di minimo : in questo caso C(1, 2) con valore di z = -5. Il valore di max si ha per il più grande valore di k che incontra il triangolo : si ottiene B(0, 8) e z = 32. Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti 16
2) Metodi dell’analisi numerica Estremi liberi Estremi vincolati Estremi liberi Condizione sufficiente: Data z = f(x, y) si calcolano le derivate parziali prime e seconde: z’x z”xx z’y z”xy z”yx Si risolve il sistema z’x = 0 z’y = 0 ottenendo gli eventuali punti critici ; da un punto di vista geometrico in tali punti, per l’annullarsi delle derivate parziali prime z’x e z’y , si ha un piano tangente orizzontale , cioè parallelo al piano xy. 17
Se ( x 0, y 0 ) è un punto critico, si calcola il valore dell’Hessiano H(x, y) = in ( x 0, y 0 ) : - se H( x 0, y 0 ) 0 e z”xx( x 0, y 0 ) 0 allora ( x 0, y 0 ) è un minimo relativo - se H( x 0, y 0 ) 0 e z”xx( x 0, y 0 ) < 0 allora ( x 0, y 0 ) è un massimo relativo - se H( x 0, y 0 ) < 0 non si ha né max ne min ; se z”xx e z”yy hanno segno opposto allora ( x 0, y 0 ) è un punto di sella - se H( x 0, y 0 ) = 0 non si può trarre alcuna conclusione ; bisogna esaminare il comportamento della funzione nell’intorno di ( x 0, y 0 ) Punto di massimo Punto di minimo Punto di sella 18
Esempio Determinazione del massimo profitto per un’impresa Uno degli obiettivi di un’impresa che produce più beni è quello di determinare il livello di produzione dei singoli beni per massimizzare il profitto. In relazione alle condizioni di vendita l’impresa può operare in un mercato di libera concorrenza, o di monopolio, o di oligopolio; può vendere in mercati diversi o in un solo mercato, a prezzi uguali o diseguali , etc. Se il regime è di concorrenza perfetta i prezzi sono fissi, indipendenti dalla quantità richiesta; se si opera in condizioni di monopolio i prezzi non sono fissi, ma dipendono dalla funzione di domanda dei singoli prodotti 19
Problema 1 Un’impresa produce due beni e li vende in un mercato di libera concorrenza ai prezzi p 1 =800, p 2= 1. 100 Il costo congiunto di produzione dei due beni , nelle quantità x e y è espresso dalla funzione c(x, y) = x 2+xy +2 y 2 Determinare per quale combinazione dei fattori produttivi il profitto è massimo Soluzione La funzione profitto risulta G(x, y) = 800 x + 1. 100 y - x 2 - xy - 2 y 2 Annullando le derivate parziali prime si ottiene il punto (x, y) = (300, 200). Inoltre H (300, 200) = 7>0 e G”xx(300, 200 ) = -2 < 0, quindi (300, 200) risulta un massimo della funzione profitto. 20
Problema 2 Un’impresa produce due beni surrogati ( l’aumento di prezzo di uno si traduce nell’aumento della domanda dell’altro ) e li vende in condizioni di monopolio. Le due leggi della domanda sono espresse dalle relazioni : x = 1000 – 3 p 1 +p 2 , y = 800 + 2 p 1 – 4 p 2 Il costo unitario di produzione è 180 per il primo prodotto, 230 per il secondo. Determinare la combinazione produttiva per la quale il profitto è massimo. Risposta : (x, y) = (300, 200 ) che corrisponde al valore G = 66. 000. Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti 21
Estremi vincolati • Vincolo espresso da equazione g(x, y) =0 • Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x, y) =0 La determinazione degli estremi della funzione z = f(x, y) può essere fatta in modo elementare se l’equazione del vincolo è esplicitabile rispetto ad una delle due variabili. In tal caso si ricava la variabile dal vincolo, si sostituisce nella funzione obiettivo che diventa una funzione di una sola variabile e quindi il problema viene ricondotto alla ricerca di estremi di una funzione in una variabile. Se ciò non è possibile, si ricorre al metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 22
. Esempio Data la funzione z = - x 2 – 5 y 2 – 3 xy +6 x +8 y, determinarne gli estremi con il vincolo 4 x + 5 y = 100 Risposta : max (83/3 , -32/15, -2311/5). 23
. Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x, y) è continua in S, per il teorema di Weierstrass esistono min e max assoluti. Per determinarli si devono considerare : - i punti di max e min relativo interni ad S; - gli eventuali punti interni in cui la funzione non sia differenziabile; - i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S; - si sceglie l’estremo assoluto. 24
. Esempio Si determinino gli estremi assoluti della funzione z = -3 x 2 +2 xy – 3 y 2 – 2 x + 7 y +1 nel dominio chiuso definito dal triangolo di vertici O(0, 0) , A(0, 2), B(2, 0). Risposta : max in (1/16 , 19/16, 163/32) che è anche un massimo relativo; min in (2, 0 – 15) che non è anche un minimo relativo dato che si trova sulla frontiera. Oggetti matematici e ulteriori approfondimenti 25
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