La transformada TV una generalizacin de la transformada

La transformada TV, una generalización de la transformada de Radón Marcela Morvidone, Mai Nguyen, Tuong Truong Laboratoire de Physique Théorique et Modélisation Université de Cergy-Pontoise

Plan de la exposición 1. Contexto y motivación 2. La transformada TV de Radón y su inversión 3. La inversa como retroproyección filtrada 4. Ejemplos numéricos 5. Conclusiones y perspectivas 6/7/2021

Imágenes • Objetivo: sondear el interior de la materia de forma no invasiva • Principio : detección de la interacción de un vector físico, químico o biológico con la materia y resolución del problema inverso Problema directo: Problema inverso : Objeto Vector físico Interacciones con el medio ? Detección formación de las imágenes Vector físico ? Interacciones con el medio Detección reconstrucción del objeto • Áreas de aplicación: imágenes biomédicas, Control No Destructivo (C. N. D), control ambiental, sistemas de seguridad 6/7/2021

Técnicas de imágenes biomédicas Tipo de imagen biomédica Naturaleza del fenomeno fisico Tipo de modalidad Tipo de informacion Poder separador Objetos examinados Ecografía Eco-Doppler Ultrasonidos Reflexión Anatómica y funcional IRM funcional Spin del proton, Ondas de radio Emisión Anatómica y funcional 2 mm Fetos, órganos abdominales y pelvicos 1 mm Cerebro, Imagenes ópticas Radiacion visible Fluorescencia Transmisión Funcional ~ mm Animal pequeño, cerebro, senos CT-scan Rayos X Transmisión Anatomica > 0, 3 mm Cerebro, pulmones, corazón, órganos abdominales y pelvicos SPECT Rayos gamma Emisión Funcional 6 à 60 mm Cuerpo humano, cerebro, corazón, órganos abdominales PET-scan Emisión de positrones, Rayos gamma Emisión Anatómica y funcional 4 à 60 mm Cerebro, corazón, órganos abdominales clic 6/7/2021

La transformada de Radón • Tomografía por transmición TC Fuente colimada • Tomografía por emisión SPECT Detector , Detector colimado Transformada de Radón : 6/7/2021 Transformada de Radón atenuada :

Limitaciones de las imágenes SPECT • Dispersión de las radiaciones al propagarse – 70 % de los fotones emitidos se dispersan • Limitaciones debido a la cámara ANGER Cristal centelleante Colimador – Demasiado voluminosa – Mala resolución energética – Poca sensibilidad 1 fotón detectado sobre 10. 000 emitidos Photo multiplicateur Objeto examinado Cámara tipo Anger 6/7/2021

Dipersión por efecto Compton • Geometría de la difusión Compton: Electrón ejectado Fotón incidente E 0 Fotón dispersado Eω Relación Compton : La energía del fotón dispersado depende del ángulo de dispersión ω la energía captada por el detector permite identificar la dirección de proveniencia del fotón 6/7/2021

Montaje experimental La transformada TV de Radón modela el proceso imágenes de la cámara de Compton colimada uni-dimensional: Objeto 1. la radiación primaria emitida por el objeto es dispersada por un detector lineal, que ubicamos sobre el eje x Detector dispersor Detector absorbente colimado 6/7/2021 2. la radiación es captada por un segundo detector absorbente que tiene un colimador con eje vertical

La transformada TV de Radón - f(x, y) el objeto que emite las radiaciones. El soporte de f esta contenido en y>0 - g(ξ, ω) = TVf(ξ, ω) los datos recogidos por el detector a partir de los cuales se desea reconstruir el objeto (representa la cantidad de flujo fotónico detectada) El factor 1/r tiene en cuenta la ley fotométrica de la dispersión de fotones en dos dimensiones 6/7/2021

En forma de transformada integral La transformada TV de una función f(x, y) también puede expresarse como donde el núcleo k(x, y; ξ, ω) está definido por 6/7/2021

Inversión de la transformada TV Para reconstruir el objeto original f(x, y) a partir de las mediciones g(ξ, ω) pasamos ambas cantidades al dominio de Fourier en la 1 er variable: La inversión reposa en el hecho de que y están relacionadas por una transformada coseno en la 2 da variable. Para simplificar la notación cambiamos las variables Ahora, la transformada TV se expresa como 6/7/2021 y

Tomando la transformada de Fourier de en la 1 er variable se tiene donde Dado que la transformada coseno es inversible, se tiene la relación Entonces, para recuperar f(x, y) basta con calcular la antitransformada de Fourier de en la variable q 6/7/2021

Teniendo en cuenta que en el sentido de las distribuciones, la transformada inversa se puede escribir como una transformada integral donde el núcleo tiene la forma y la integral debe interpretarse en el sentido de las distribuciones. 6/7/2021

El operador adjunto mapea funciones de las variables y verifica la relación La acción del adjunto queda definida por: 6/7/2021 en funciones de las

Dualidad geométrica Mientras que el operador integra sobre todos los puntos de un cono, integra sobre todos los conos que pasan por un punto. En el lenguaje de tratamiento de imágenes, el operador adjunto se denomina operador de retroproyección 6/7/2021

La retroproyección Principio: se asigna el valor g(ξ, ω) a todo punto que se encuentre sobre el cono que dio origen a ese valor y luego se suma sobre todas las contibuciones sobre todos los conos 6/7/2021

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Inversión por retroproyección filtrada El filtro rampa La formula de inversión se puede reescribir como: 6/7/2021

En términos de la variable ω : Definiendo el operador la expresión Finalemente : 6/7/2021 como se tiene

Imagen original: fantasma de Shepp-Logan Tamaño 512 x 512 6/7/2021

Transformada TV del fanstama de Shepp-Logan Frecuencia de sampleo angular dw = 0. 0025 6/7/2021

Original y reconstrucción 6/7/2021

Imagen original: tiroide Tamaño 512 x 512 6/7/2021

Transformada TV de la imagen de la tiroide Frecuencia de sampleo angular dw = 0. 0025 6/7/2021

Original y reconstrucción y x 6/7/2021 x

Imagen original: barra fisurada Tamaño 512 x 512 6/7/2021

Transformada TV de la imagen de la barra fisurada Frecuencia de sampleo angular dw = 0. 0025 6/7/2021

Original y reconstrucción y x 6/7/2021 x

Conclusiones y perspectivas - Hemos presentado una nueva clase de transformada de Radón definida sobre una recta “quebrada” en forma de V. Construimos su inversa analítica y su método de inversión por retroproyección filtrada. Esta transformación se puede usar en la reconstrucción de imágenes a partir de radiación dispersa, captada por una cámara con colimador unidimensional. - Los resultados obtenidos pueden quizás generalizarse a una transformada TV donde el eje de la V oscila en vez de permanecer fijo. Sería interesante también extender esta transformación a 3 dimensiones, considerando conos que oscilan con el vértice fijo en un punto; este método modelizaría el proceso de imagen de una cámara gamma sin colimador, cuya sensibilidad sería muy superior a la de los modelos actuales. 6/7/2021

Publicaciones Artículo en revista internacional M. Morvidone, T. T. Truong, M. K. Nguyen y H. Zaidi. On the V-line Radon transform and its imaging applications, en International Journal of Biomedical Imaging. Volumen 2010. 6 páginas doi: 10. 1155/2010/208179 Actas de congreso international con comité de lectura M. Morvidone, T. T. Truong, M. K. Nguyen y H. Zaidi. A novel V-line Radon transform and its imaging applications, en 2010 International Conference on Image Processing, 26 -29 septiembre, 2010, Hong Kong, auspiciado por IEEE Signal Processing Society. 6/7/2021