La thorie des fractales I Les courbes fractales
La théorie des fractales • I. Les courbes fractales – 1. Notion de courbe rectifiable – 2. Les résultats de Richardson – 3. La formule de Mandelbrot – 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume – 5. Généralisation : D non entier 1
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales – 1. Notion de courbe rectifiable – 2. Les résultats de Richardson – 3. La formule de Mandelbrot – 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume – 5. Généralisation : D non entier 3
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales – 1. Notion de courbe rectifiable – 2. Les résultats de Richardson – 3. La formule de Mandelbrot – 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume – 5. Généralisation : D non entier 6
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L(e)= N(e). e 8
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L(e)= N(e). e L(e)= k. e 1 -D 10
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales – 1. Notion de courbe rectifiable – 2. Les résultats de Richardson – 3. La formule de Mandelbrot – 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume – 5. Généralisation : D non entier 12
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales – 1. Notion de courbe rectifiable – 2. Les résultats de Richardson – 3. La formule de Mandelbrot – 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume – 5. Généralisation : D non entier 14
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N(e). (e/e 0)D = 1 Pour deux itérations successives : ei/ei-1 correspond au facteur de réduction r Ni / Ni-1 est le facteur du nombre d’éléments 18
La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales Exemple du tapis de Sierpinski 19
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales – Le tapis de Sierpinski – Le chou-fleur (volume fractal) 24
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales • III. Les fractales aléatoires – 1. Deux exemples simples • La répartition des galaxies dans l’univers 26
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales • III. Les fractales aléatoires – 1. Deux exemples simples • La répartition des galaxies dans l’univers • La répartition temporelle des pluies 28
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales • III. Les fractales aléatoires – 1. Deux exemples simples – 2. La mesure de la dimension fractale • La résolution variable 30
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La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales • III. Les fractales aléatoires – 1. Deux exemples simples – 2. La mesure de la dimension fractale • la résolution variable • la dimension radiale 33
La théorie des fractales • I. Les courbes fractales • II. Les surfaces fractales • III. Les fractales aléatoires – 1. Deux exemples simples – 2. La mesure de la dimension fractale • la résolution variable • la dimension radiale • la dimension du quadrillage 34
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IV. Les applications • 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2 -D ou en 1 -D) • 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés • 3. Modélisation du développement urbain • 4. Utilisation en modélisation hydrologique 39
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D. Les applications • 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2 -D ou en 1 -D) • 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés • 3. Modélisation du développement urbain • 4. Utilisation en modélisation hydrologique 42
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D. Les applications • 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2 -D ou en 1 -D) • 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés • 3. Modélisation du développement urbain • 4. Utilisation en modélisation hydrologique 44
D. Les applications • 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2 -D ou en 1 -D) • 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés • 3. Modélisation du développement urbain • 4. Utilisation en modélisation hydrologique 45
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