La Teoria dei Giochi Gli Equilibri di Nash

La Teoria dei Giochi: Gli Equilibri di Nash Scuola Militare Nunziatella 10 gennaio 2014 Luigi Taddeo

TEORIA DEI GIOCHI • La teoria dei giochi è la modellizzazione matematica di situazioni di conflitto • in cui diversi soggetti (giocatori) operano delle scelte • in modo da ottenere il massimo utile per sé tenuto conto che gli utili dipendono sia dalle proprie scelte che da quelle degli altri.

APPLICAZIONI • • • ECONOMIA BIOLOGIA CAMPO MILITARE SOCIOLOGIA …………

RICONOSCIMENTI PREMI Nobel nel 1994: John C. Harsanyi, John F. Nash, Reinhard Selte “per la loro analisi che ha aperto la strada degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi„

nel 2005: Robert Aumann, Thomas Schelling. "per aver fatto avanzare la nostra comprensione del conflitto e della cooperazione tramite la teoria dei giochi".

Alfred Nobel • Stoccolma (Svezia) 21 Ottobre 1833 San Remo ( Italia) 10 Dicembre 1896

Premi Nobel • Per volontà di Nobel • Dal 1901: Fisica, Chimica, Letteratura, Medicina (Stoccolma), Pace (Oslo) • Dalla Banca di Svezia, in memoria di Nobel, dal 1969: Economia

La Teoria dei Giochi Nasce nel 1944 in seguito alla pubblicazione del libro: Oskar Morgenstern- John Von Neumann “The theory of games and economic behavior” Princeton Univ. Press, Princeton.

FORMALIZZAZIONE di un GIOCO • S=insieme dei giocatori S=A 1, A 2, …. , An • X=insieme delle strategie X=X 1, X 2, …. , Xn • F=insieme delle funzioni utilità F=f 1, f 2, …, fn • P= insieme delle utilità SCOPO di ogni giocatore è rendere massima la propria funzione utilità cioè trarre il massimo vantaggio dal gioco

Analizzeremo i seguenti tipi di giochi: • 1) Statici cioè ogni giocatore può compiere una sola scelta; • 2) con informazione completa cioè ogni giocatore conosce tutti gli insiemi di strategie e tutte le funzioni utilità • 3) non cooperativi cioè i giocatori non possono fare accordi

Condizione essenziale: I giocatori operano in modo razionale cioè le scelte che essi effettuano tendono a massimizzare le proprie funzioni utilità

Caso semplice 2 giocatori • Giocatori A e B, X insieme delle strategie di A, Y quello di B, f la funzione utilità di A, g quella di B , S l’insieme delle utilità di A e B. • f: Xx. Y S, g: Xx. Y S, • Scopo di A è determinare la strategia x che rende massima la sua utilità, quello di B è determinare y.

ESEMPIO 1 • I giocatori A, B possono utilizzare solo due strategie (scelte). • X=(x 1; x 2), Y=(y 1; y 2) • Se A sceglie x 1 e B sceglie y 1 allora A ottiene 3 e B 1, cioè f(x 1; y 1)=3 e g(x 1; y 1)=1 e così via. y 1 y 2 x 1 (3; 1) (4; 5) x 2 (0; 2) (1; 2)

Migliore Strategia • (x 1; y 2) • f (x 1; y 2)=4 • g (x 1; y 2)=5 y 1 y 2 x 1 (3; 1) (4; 5) x 2 (0; 2) (1; 2)

ESEMPIO 2 La migliore strategia per A è x 1 ( che gli farebbe guadagnare 4 cioè il massimo) ma se A giocasse x 1, B giocherebbe y 2 in tal modo B guadagnerebbe 2 (maggiore di 1) mentre A -1 cioè perderebbe. La migliore strategia per B è y 1 ma neanche a B conviene giocarla…. . y 1 y 2 y 3 x 1 (-3; -3) (-1; 2) (4; 1) x 2 (2; -2) (3; 4) (0; 2) x 3 (1; 7) (2; 2) (1; 1)

Conclusione: Non sempre conviene puntare al massimo perché potremmo addirittura ottenere il minimo.

GLI EQUILIBRI DI NASH • L’Idea di John Nash • Tesi di dottorato del ’ 49 A parole “ Bisogna cercare il meglio per sé tenuto conto anche del profitto per gli altri”

QUINDI • un equilibrio di Nash è una coppia (x; y) tale che • f(x; y)=max f(x; y) al variare di x in X e • g(x; y)=max g(x; y) al variare di y in Y

Riprendendo l’esempio di prima: y 1 L’equilibrio secondo Nash è la coppia (x 2; y 2) y 2 y 3 x 1 (-3; -3) (-1; 2) (4; 1) x 2 (2; -2) (3; 4) (0; 2) x 3 (1; 7) (2; 2) (1; 1)

Conclusione: • Con questa coppia di strategie entrambi guadagnano di meno ma GUADAGNANO.

ESEMPIO 3 Il dilemma del Prigioniero • Due persone vengono accusate di due reati. PRIMO Max pena 10 anni (si hanno le prove) SECONDO Max pena 20 anni (non si hanno le prove). Se uno confessa il secondo reato avrà uno sconto sul totale della pena che diventa più alto se l’altro non confessa.

STRATEGIE: C = Confessa, NC = Non Confessa C • La coppia di strategia C (C; C) è un equilibrio di Nash. NC (-15; -15) (-5; -30) NC (-30; -5) (-10; -10)

• Se i prigionieri possono accordarsi, qual è la strategia più C conveniente? • (NC; NC) C NC (-15; -15) (-5; -30) NC (-30; -5) (-10; -10)

ESEMPIO 4 IL Disarmo • Due grandi potenze A e B, in equilibrio dal punto di vista degli armamenti, possono potenziare il proprio arsenale ( il che comporta dei costi), oppure no. Se una delle due potenzia e l’altra no allora la più forte distrugge la più debole e guadagna, l’altra perde tutto. Se entrambe potenziano si ha equilibrio ma entrambe perdono (i costi degli armamenti). Se nessuna potenzia allora guadagnano entrambe perché risparmiano di impiegare risorse per potenziare gli armamenti, ma…

STRATEGIE: P = Potenzia, NP = Non Potenzia • L’equilibrio di Nash è la coppia (P; P) cioè conviene ad entrambi potenziare gli armamenti. P NP P (-10; -10) (100; -∞) NP (-∞; 100) (0; 0)

QUINDI • SI VIS PACEM PARA BELLUM

Riprendiamo l’esempio: La soluzione (NP; NP)= nessuna delle due potenzia, farebbe guadagnare entrambe, cioè è il meglio per entrambe, ma, come il dilemma del prigioniero, è una soluzione da scegliere solo se collaborano. • Infatti se A sa che B non potenzia allora le converrebbe potenziare e se sa che B potenzia allora a maggior ragione le converrebbe potenziare. P P NP (-10; -10) (100; -∞) NP (-∞; 100) (0; 0)

Un Esempio? La Guerra Fredda

PER UNA LETTURA NON “DIFFICILE” • F. Colombo: Introduzione alla teoria dei giochi, Carocci, Roma, 2003. • R. Gibbons: Teoria dei Giochi, Il Mulino, Bologna, 1994. • R. Lucchetti: Di duelli, scacchi e dilemmi, Paravia Scriptorium, Torino, 2001. • G. Gambarelli: Giochi competitivi e cooperativi, Giappichelli editore, Torino, 2003

Per il calcolo degli equilibri di Nash • In diverse situazioni: Insemi delle strategie finito e infinito, strategie pure e miste, ecc. . • R. Raucci-L. Taddeo: Equilibri di Nash, Edizioni CUSL, 2002