La rivoluzione cartesiana in geometria Enrico Giusti Il

La rivoluzione cartesiana in geometria Enrico Giusti Il Giardino di Archimede 19 ottobre 2014

La rivoluzione cartesiana in geometria

La Géométrie Livre premier: Des problèmes qu’on Libro primo: Dei problemi che peut construire sans y employer que possono essere costruiti per mezzo des cercles et des lignes droites. solo di cerchi e rette. Livre Libro second: De la nature des lignes secondo: Della natura delle courbes. curve. Libro Livre troisième: De la construction des terzo: Della costruzione dei problemi solidi o più che solidi. problèmes qui sont solides ou plus que solides. La rivoluzione cartesiana in geometria

La Géométrie Libro primo: Soluzione geometrica (con riga e compasso) delle equazioni di secondo grado. Enunciato e soluzione del problema di Pappo. La rivoluzione cartesiana in geometria

Soluzione geometrica (con riga e compasso) delle equazioni di secondo grado x 2= ax+b 2 O a/2 N a/2 L b M La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo r 2 r 3 r 4 r 1 C Poi, dato Date per posizione che vi è sempre quattro, uno numero più lineeinfinito rette, innanzi di punti tutto diversi si che richiede un possono soddisfare punto dalquanto quale sia qui possibile viene richiesto, condurre si vuole un ugual anche numero che di segmenti, sia nota e tracciata uno sulaciascuna linea sulla delle quale date, tutti che questi facciano punticon debbono queste degli angoli dati [retti], e tali che il rettangolo compreso tra due giacere. [segmenti] di quelli che saranno così tracciati da uno stesso punto, stia in un rapporto dato con il rettangolo compreso tra gli altri due. La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo r 2 r 3 r 4 r 1 C rk: ak. X + bk. Y + ck = 0 C = (x, y) ak 2+bk 2=1 d(C, rk) = |akx + bky + ck| La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo r 2 r 3 r 4 r 1 C d(C, rk) = |akx + bky + ck| (a 1 x + b 1 y + c 1)(a 2 x +b 2 y + c 2) = = (a 3 x + b 3 y + c 3)(a 4 x +b 4 y + c 4) La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo r 2 r 3 r 4 r 1 C d(C, rk) = |akx + bky + ck| ∏k=1 n (akx + bky + ck) = = ∏k=n+1 2 n (akx + bky + ck) La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo Ma cos’è una curva? La rivoluzione cartesiana in geometria

La Géométrie Libro secondo: Quali curve si possono chiamare geometriche. Il problema delle tangenti. La rivoluzione cartesiana in geometria

Prima di Descartes Costruzioni con macchine La rivoluzione cartesiana in geometria

Prima di Descartes Costruzioni per punti La rivoluzione cartesiana in geometria

Prima di Descartes Costruzioni con fili La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni con macchine Non si devono escludere le linee più composte, purché le si possa immaginare descritte da un movimento continuo, o anche da più movimenti che si susseguono, dei quali i successivi siano interamente determinati da quelli che li precedono, dato che in questo modo si può avere sempre una conoscenza esatta della loro misura. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni con macchine [Al contrario] la spirale, la quadratrice e simili … non sono nel numero di quelle che devono essere considerate, perché le si immagina descritte da due movimenti separati, e che non hanno tra loro alcun rapporto che possa essere misurato esattamente. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni per punti in questi casi non si trovano indifferentemente tutti i punti della curva cercata, ma solo quelli che possono essere determinati mediante qualche metodo più semplice di quello necessario per descriverla. Così a rigore non si trova nessuno dei suoi punti, cioè di quelli che le appartengono a tal punto che non possano essere trovati che per mezzo suo. B C D A La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni per punti Al contrario non c’è nessun punto, nelle linee che servono a risolvere il problema proposto, che non possa essere trovato con il metodo appena spiegato. ay=x 2 y a y La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni per punti E poiché questo modo di tracciare una curva trovando indifferentemente vari suoi punti può essere applicato solo a quelle che si descrivono con un movimento regolare, non lo si deve escludere dalla geometria. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni con fili Né si deve escludere quello in cui si fa uso di un filo per determinare l’uguaglianza o la differenza di due o più rette. . . Ma non si possono accettare linee che somigliano a delle corde, cioè che diventano a volte rette e a volte curve, perché dato che il rapporto tra retto e curvo non è noto, e credo non possa mai essere conosciuto, non se ne potrebbe ricavare niente di sicuro. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Potrei mettere qui molti altri modi per tracciare linee curve via più complesse. Ma per raccoglierle insieme tutte e distinguerle in generi, non conosco niente di meglio che dire che tutti i punti di quelle che si possono chiamare geometriche, cioè che cadono sotto una qualche misura precisa ed esatta, hanno con tutti i punti di una retta una relazione che può essere espressa con un’equazione, e tutti con la stessa. La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti Per questo crederò di aver dato tutto quanto è richiesto per lo studio delle curve, quando avrò dato in generale il modo di tirare delle rette che cadano ad angoli retti su un loro punto arbitrario. E oso dire che questo è il problema più utile e più generale, non solo che io conosca, ma che abbia mai desiderato di conoscere in geometria. La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti { F(x, y)=0 (x-v)2+y 2=s 2 F(x, y)=0 y 0 P s Q(x)=0 x 0 v Q(x)=(x–x 0)2 R(x) La rivoluzione cartesiana in geometria

L’eliminazione della variabile y F(x, y)=0 { (x–v) +y =s 2 2 2 y R(x, y 2) = S(x, y 2) y 2 R 2(x, y 2) = S 2(x, y 2) y 2=s 2 – (x–v)2

Il problema delle tangenti (x–v)2 + y 2 = s 2 – (x – v)2 y = x 2 x 4 = s 2 – (x – v)2 (xo, yo ) x 4 + x 2 – 2 xv + v 2 – s 2 = 0 • s v La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti x 4 + x 2 – 2 xv + v 2 – s 2 = (x – xo)2 (x 2+ax+b) { x 4 + x 3 (a– 2 xo) + x 2(b+ xo 2– 2 axo)+x(axo 2– 2 bxo)+bxo 2 = x 4 +x 2 – 2 xv +v 2 – s 2 y = x 2 a = 2 x a– 2 x o o= 0 (xo, yo ) b=1+3 b+ xo 2– 2 ax xo 2 o = 1 s v 2 3= – 2 v ax v=x o – 2 bx o+2 xoo La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti (y–w)2 + x 2 = t 2 (y–w)2 + y – t 2 = 0 y = x 2 (y–w)2 + y – t 2 = (y–yo)2 y 2 + y (1– 2 w)+ w 2– t 2 = t w • (xo, yo ) y 2 – 2 yyo + yo 2 1– 2 w= w= ½+y– 2 y o o La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti (x–v)2 + y 2 = s 2 – (x – v)2 xy=1 x 2 [s 2 – (x – v)2] = 1 x 4 – 2 vx 3 + x 2(v 2 –s 2 ) + 1=0 (xo, yo ) s • v La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti x 4 – 2 vx 3 + x 2(v 2 –s 2 ) + 1= (x – xo)2 (x 2+ax+b) { x 4 + x 3 (a– 2 xo) + x 2(b+ xo 2– 2 axo)+x(axo 2– 2 bxo)+bxo 2 = x 4 – 2 vx 3 + x 2(v 2 –s 2 ) xy=1 +1 bxo 2 = 1 axo 2– 2 bxo = 0 (xo, yo ) s • v } a = 2/xo 3 2 v = 2 xo – a v = xo – 1/xo 3 La rivoluzione cartesiana in geometria

Un piccolo progresso : la retta tangente PQ : P 0 Q = P 0 A : DA y–y 0 : x–x 0 = y 0 : t { F(x, y)=0 t(y–y 0)= y 0(x–x 0)

Il metodo di Hudde Q(x)=(x–x 0)2 R(x) = axm + bxm-1 + … + px + q (x 2 – 2 xx 0 + x 02) xk k+2 k+1 k (k+2– 2 k– 2+k) x 0 k+2 Il polinomio Q(x) ha una radice doppia x 0 se e solo se Q(x 0)=0 e Q 1(x 0)=0.

Il metodo di Hudde 3 +3 x+2(v Q(x)o)==xx 4 o– 4 – 2 vx Q(x 2 vx xo 22–s (v 2 –s ) +2 )1+ 1 = 0 o 3 +3 2 x 22–s 2) = 0 (x)o)==4 x (v ) Q 1(x 4 x 4 o– 4 – 6 vx + (v o o v 2 –s 2 = 3 vxo – 2 xo 2 xo 4 – 2 vxo 3 + xo 2(3 vxo – 2 xo 2) + 1 = 0 – xo 4 + vxo 3 + 1 = 0 vxo 3 = 1 – xo 4 v = xo – 1/xo 3

Il metodo di Fermat Dopo aver assegnato dei nomi sia alla nostra parallela BR che a tutti gli altri termini del problema, considero di nuovo questa parallela come se l’estremo che sta sulla tangente fosse in effetti sulla curva, e tenendo conto della proprietà specifica della curva confronto questa parallela per adequazione con l’altra parallela AP tirata dal punto dato all’asse o al diametro della curva. F(x, y) = 0 F(x+a, y+e) 0

Il metodo di Fermat F(x+a, y+e) 0 e = ay : t F(x+a, y(1+a/t)) 0

Il metodo di Fermat Questo confronto per adequazione produce due termini differenti, che alla fine diventano uguali (secondo il mio metodo), dandoci la soluzione del problema. F(x+a, y(1+a/t)) 0

La tangente alla cissoide DG = x DH = y DA = d–x DF = t DE = a La cissoide è la curva OHI tale che DM : DG = DG : DH x(d–x) : x = x : y 2 y (d–x) = 3 x

La tangente alla cissoide y 2(d–x) – x 3 = 0 y 2 (1+a/t)2 (d–x–a) – (x+a)3 0 y 2(d–x)–x 3 +a += 0 a [2 y 2(d–x)/t – y 2 – 3 x 2]]+ +Ca 2++Da Da 23 00 3 2 x t= 2 y +3 x 2

La Géométrie Libro terzo: La costruzione delle equazioni. La rivoluzione cartesiana in geometria

La costruzione delle equazioni. x 3 = 2 ax + 2 b x 4 = 2 ax 2 + 2 bx y = x 2 { y =+ 2 a x =y (2 a+1) + 2 bx y + 2 bx 2 { 2 y = x 2 [y-(a+½)]2 + (x-b)2 = (a+½)2 +b 2 La rivoluzione cartesiana in geometria

La costruzione delle equazioni. y = x 2 { [y-(a+½)] + (x-b) = (a+½) +b 2 2 2 AC = ½ CD = a AD = a+½ DE = b A 2 H K E F M C G D L AE = √ (a+½)2 +b 2 La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Il calcolo infinitesimale La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Il problema delle tangenti F(x, y)=0 dy P y B x A dx La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Il problema inverso delle tangenti Data una curva, cioè una relazione F(x, y)=0 tra le variabili, trovare la relazione tra i loro differenziali Data una relazione tra i differenziali delle variabili, trovare la relazione tra le variabili, cioè la curva La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. La costruzione delle equazioni La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Teorema di Kempe. Qualunque curva algebrica piana può essere descritta mediante un sistema articolato. La rivoluzione cartesiana in geometria

In che senso si può parlare della rivoluzione cartesiana in geometria? 1. Dagli oggetti « nominati » agli oggetti generici. 2. Dallo studio delle proprietà di un dato oggetto alla ricerca di procedimenti validi per tutti gli oggetti di una data classe. 3. Necessità di una delimitazione degli oggetti da studiare. La rivoluzione cartesiana in geometria