La Regla de la Cadena Tomado de UNIMET

La Regla de la Cadena Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers

Introducción Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t), ambas funciones derivables, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple: Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones:

Caso 1 Supongamos que z = f(x, y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que: Veamos esta fórmula de manera gráfica:

Caso 1 Z =f (x, y) x y t t +

Ejemplo Si en el punto (x, y) y representa la temperatura Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva x t y t T +

Continuamos… Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces

Caso 1 ( General) Suponga que z es una función derivable de las n variables x 1 , x 2 , x 3 , …, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:

Caso 2 Supongamos que z = f(x, y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s, t), y =h(s, t) y las derivadas parciales de g y h existen. Entonces:

Caso 2 Z =f (x, y) x s y t + s t +

Supongamos que w = f(x, y, z) es una función derivable de x, y , z, donde x = g(s, t), y =h(s, t), z =k(s, t) y las derivadas parciales de g, h, k existen. Entonces

w=f (x, y, z) x s y t s z t s t

Ejemplo Demuestre que Z =f (x, y) x r y r

Continuamos…

Se sigue que …

Por lo tanto

Segunda derivada La segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original. Por ejemplo, supongamos que z = f(x, y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s, t), y=h(s, t). Entonces la función derivada fx(x, y) también depende de x y de y, y además x, y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x, y)). Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo… Muestre que cualquier función de la forma Donde a es una constante, cumple con la ecuación: Solución: Sea u = x + at, v = x – at, ; entonces

Calculemos ahora

Ejemplo Demuestre que: Solución: Del ejemplo anterior, tenemos que

Por otra parte,

Simplificando resulta, Así, COMPRUEBELO!!

Ecuación de Laplace Definición: Sea f una función, f: IRn IR, diferenciable, se define el Laplaciano de f Y se denomina la ecuación de Laplace a:

Ejemplo Supongamos f(x, y) satisface la ecuación de laplace, esto es, Demuestre que la función z= f(x – 2 y, 2 x + y), también satisface la ecuación de laplace. Demostración: Lo queremos probar es que:

Sea u = x- 2 y, v = 2 x + y, entonces Z =f (u, v) u x v y x y

Entonces, Ecuación de Laplace para f

Derivación Implícita Supongamos que una ecuación de la forma F(x, y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto: Tenemos la ecuación

Supongamos que una ecuación de la forma F(x, y, z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y.

Supongamos queremos calcular z/ x

Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x, y, z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:

Ejemplo Supongamos que una ecuación de la forma F(xy, z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, esto es z=f(x, y). Calcular z/ x. Solución: Sean u=xy , v = z/y