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La probabilità Prof. ssa Carolina Sementa 1

Il calcolo della probabilità è un settore della matematica che studia gli eventi e attribuisce loro dei valori che esprimono quanta possibilità hanno di verificarsi. Evento è tutto ciò che avviene o che potrebbe avvenire. L’evento di cui si ha la sicurezza che si verifichi si dice certo; quello che non ha alcuna possibilità di verificarsi si dice impossibile e quello che può verificarsi si dice incerto o probabile. Gli eventi incerti o probabili, la cui realizzazione dipende dal caso, si dicono anche casuali o aleatori (dal latino alea= dado). Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile. Useremo la lettera E per indicare un evento qualsiasi e p. E per indicare la sua probabilità matematica. 2

Vediamo alcuni esempi. • Qual è la probabilità che venga estratto il numero 35 nel gioco della tombola? I casi possibili sono 90, il caso favorevole è solo 1 quindi la probabilità è di 1/90. • Qual è la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero dispari? I casi possibili sono 6, i casi favorevoli sono 3 (i numeri 1, 3, 5), quindi la probabilità è di 3/6, cioè ½. Definizione – Probabilità: MODELLO CLASSICO Possiamo dunque affermare che la probabilità matematica di un evento casuale (p. E) è data dal rapporto tra i casi favorevoli (f) ed i casi possibili (n) p. E = f/n § La probabilità matematica di un evento impossibile è 0. p. E impossibile = 0/n=0 Infatti, ad esempio, la probabilità di ottenere 7 lanciando un dado sarà 0/6 cioè 0. § La probabilità matematica di un evento certo è 1. f=n, e p. E certo=n/n=1 Infatti, ad esempio, la probabilità di estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente solo 5 palline rosse sarà 5/5 cioè 1. Se l’evento è casuale, il numero dei casi favorevoli è minore di quello dei casi possibili e 0<p. E<1 In generale, considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la probabilità di un evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi: 0 < p < 1. 0 evento impossibile 3 1 evento certo

Definizione – Probabilità: MODELLO STATISTICO o FREQUENTISTA Relativamente ad un esperimento aleatorio A, che può essere ripetuto molte volte, la probabilità di un evento E è il valore a cui tende il rapporto tra il numero di prove che hanno avuto esito favorevole e il numero totale di prove fatte. Ad esempio la probabilità di estrarre un numero pari nel gioco della tombola è di 45/90 cioè 0, 5 e la probabilità di estrarre un numero dispari è di 45/90, cioè 0, 5. Se noi giochiamo effettivamente a tombola e registriamo il numero di uscite di numeri pari (o dispari) otterremo la frequenza relativa, cioè il rapporto tra le volte in cui l’evento si è verificato ed il numero di prove effettuate. 4

NUMERO ESTRAZIONI EVENTO: NUMERO PARI FREQUENZA RELATIVA 10 6 6/10 = 0, 60 20 11 11/20 = 0, 55 50 30 30/50 = 0, 60 100 55 55/100 = 0, 55 200 103/200 = 0, 51 Possiamo vedere che aumentando il numero delle prove effettuate, il valore della frequenza relativa si avvicina sempre più al valore della probabilità: infatti la frequenza F, dopo 200 estrazioni, è uguale a 0, 51 mentre la probabilità p è uguale a 0, 5. Legge empirica del caso: in un grande numero di prove, ripetute alle stesse condizioni, la probabilità “frequentista” (valore della frequenza relativa) tende ad essere uguale alla sua probabilità teorica. fr=P 5

Come si può esprimere la probabilità: numero, rapporto, percentuale. La probabilità di un evento si può esprimere: a) come frazione, ad esempio 3/4 b) come numero decimale, ad esempio 3/4 = 3 : 4 = 0, 75 c) come percentuale, ad esempio 0, 75 = 75% Nota. Per trasformare un rapporto in una percentuale si divide il numeratore per il denominatore e si moltiplica il risultato per 100. 6

Abbiamo visto che la probabilità di un evento casuale si ottiene attraverso un calcolo del rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Tiro il dado quali sono le possibilità che esca un numero? EVENTI POSSIBILI 7

o. Calcola la probabilità che abbiamo di ottenere testa nel lancio di una moneta. üUn sacchetto contiene sette confetti di cui tre sono al cioccolato e quatto alle mandorle. Quale probabilità abbiamo di estrarre al primo tentativo, un confetto al cioccolato? Se il confetto estratto è proprio al cioccolato e lo mangiamo, quale probabilità abbiamo di estrarre successivamente ancora un confetto al cioccolato? 8

Problema Evento possibile Evento favorevole Probabilità C 9

LA COMBINAZIONE DEGLI EVENTI Di due eventi aleatori può capitare di dover valutare la probabilità che si verifichino insieme o in alternativa. Eventi incompatibili e probabilità totale. Mettiamo in un sacchetto 10 palline numerate, appunto, da 1 a 10. Consideriamo due eventi possibili, estraendo le palline dallo stesso sacchetto: E 1 = “esce il numero 5” E 2 = “esce il numero 4” Notiamo che questi due eventi non possono verificarsi contemporaneamente. Due eventi che non possono verificarsi contemporaneamente si dicono incompatibili. La probabilità di un evento totale, costituito da eventi parziali incompatibili, è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi parziali incompatibili. In simboli: p. Et=p. E 1+p. E 2 p. E 1=1/10 p. E 2=1/10 p. Et = 1/10+1/10=2/10=1/5=0, 2=20% 10

Da un mazzo carte da poker cerco la probabilità che esca una carta di fiori o una carta di cuori A B TI N E LI EV NO IBI I GL SO PAT OM C IN La probabilità dell’evento unione di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli eventi. 11

Siano A e B due eventi distinti, tra di loro incompatibili (il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro); la probabilità che si verifichi l'evento A oppure l'evento B è data da P(A oppure B) = P(A) + P(B). 12

v. Ad esempio, prima di lanciare un dado vogliamo calcolare quali siano le probabilità che esca un 4 oppure un 5. I due eventi incompatibili A e B sono "esce 4" ed "esce 5". Si ha P(4)=1/6 e P(5)=1/6; dunque: P(4 oppure 5)=(1/6)+(1/6)=2/6=1/3. v Calcoliamo la probabilità che, lanciando un dado venga un numero pari, cioè la probabilità che esca 2 oppure 4 oppure 6. Sono eventi che non possono capitare insieme: succede o l’uno o l’altro, perché tirando un dado viene fuori una sola faccia. Quando abbiamo a che fare con eventi di questo tipo, e cioè eventi incompatibili, dobbiamo sommare la probabilità dei singoli eventi. Quindi, dato che ogni numero pari ha 1/6 di probabilità ed i numeri pari sono 3, la probabilità che esca un numero pari è 3/6 = 1/2 = 50%. 13

Eventi compatibili e probabilità totale Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro. Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e quindi rosso e pari è un evento possibile. La probabilità di un evento totale, costituito da due eventi parziali compatibili, è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità dell’evento comune. In simboli: p. Et= p. E 1+ p. E 2 - p. E 1 intersezione 2 14

Da un mazzo carte da poker cerco la probabilità che esca un asso o una carta di cuori A B I NT E V I E NO ILI L G SO IB T PA M CO 15

Se i due eventi sono compatibili, la probabilità dell'evento (A or B) è uguale alla somma delle probabilità di A e di B meno la probabilità che si verifichino entrambi. P (A or B) = p(A) + p(B)- p(A et B) §Un’urna contiene venti palline numerate da 1 a 20. Calcola la probabilità dell’evento C = “La pallina estratta ha un numero multiplo di 2 oppure ha un numero multiplo di 5”. Gli eventi "multiplo di 2" e "multiplo di 5" sono compatibili, infatti 10 e 20 sono multipli sia di 2 sia di 5. p(multiplo di 2) = 10/20 p(multiplo di 5) = 4/20 p(multiplo di 2 e di 5) = 2/20 p(multiplo di 2 e di 5) = 10/20 + 4/20 - 2/20 = 12/20 = 3/5 16

Eventi complementari Se in un sacchetto mettiamo palline rosse e verdi e consideriamo due eventi: E 1 = “esce una pallina rossa” E 2 = “esce una pallina verde” Notiamo che i due eventi sono incompatibili perché non possono verificarsi contemporaneamente, ma uno dei due si verificherà sicuramente: questi due eventi si dicono complementari. Due eventi casuali si dicono complementari se non possono verificarsi contemporaneamente ma uno dei due si verificherà sicuramente, quindi la somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale ad 1. 17

Eventi dipendenti ed indipendenti. Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi del primo non cambia la probabilità del verificarsi del secondo Due eventi sono dipendenti quando il verificarsi del primo cambia la probabilità del verificarsi del secondo. Esempio di eventi indipendenti Trovare la probabilità che estraendo una carta da un mazzo di 40 essa sia un asso oppure una figura gli eventi E 1 uscita di un asso E 2 uscita di una figura sono tra loro indipendenti Esempio di eventi dipendenti Trovare la probabilità che estraendo due carte da un mazzo di 40 (senza rimettere la carta estratta nel mazzo) la prima sia un asso e la seconda sia una figura gli eventi E 1 uscita di un asso E 2 uscita di una figura sono tra loro dipendenti perchè il primo evento fa variare la probabilità del secondo evento: i casi possibili per la seconda estrazione non sono più 40 ma 39 18

Eventi composti Il verificarsi di due eventi indipendenti contemporaneamente si dice evento composto. 1°caso: eventi indipendenti Consideriamo il lancio consecutivo di due monete e calcoliamo la probabilità che esca contemporaneamente testa su entrambe le monete. • se con il lancio della prima moneta esce testa, con la seconda si può ottenere testa o croce: • se con il lancio della prima moneta esce croce, con la seconda si può ottenere testa o croce: (T; T) e (T; C) (C; T) e (C; C) Complessivamente i casi possibili sono quattro: (T; T) (T; C) (C; T) (C; C) 19

Consideriamo il lancio di una moneta e calcoliamo la probabilità che su due lanci esca entrambe le volte testa, ovvero E= esce due volte testa. Si tratta di un evento composto da A= « al primo lancio esce testa» e B= «al secondo lancio esce testa» Gli eventi A e B sono tra loro indipendenti. Come si calcola P(E)? Si può utilizzare una tabella a doppia entrata per calcolare tutte le coppie possibili o un grafo ad albero. 1 lancio 2 lancio Testa Croce 20 Per calcolare la probabilità che esca due volte testa consecutivamente dobbiamo quindi calcolare quanti sono nel complesso i casi possibili e quanti quelli favorevoli.

P(E) = casi favorevoli/casi possibili= 1/4 La probabilità così calcolata coincide con il prodotto delle probabilità degli eventi A e B. Infatti: P(A) =1/2; P(B) = 1/2 P(E)= P(A) x P(B)= 1/2 x 1/2 = 1/4 TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due eventi indipendenti E 1 ed E 2 , si ottiene effettuando il prodotto delle probabilità di ciascun evento. P(E)= P(A) X P(B) 21

2°caso: eventi composti dipendenti Immagina di estrarre 2 carte da un mazzo di 40, senza rimettere nel mazzo la prima carta e considera ora l’evento E= «escono due re» . Si tratta di un evento composto da: A= «alla prima estrazione esce un re» e B= «alla seconda estrazione esce un re» . Gli eventi sono tra loro dipendenti. La probabilità di un evento composto da due eventi dipendenti è uguale alle probabilità del primo evento moltiplicato quella del secondo, supponendo che il primo si sia verificato. P(B/A) si legge «P(B) condizionato ad A» In formula: P(E)= P(A) x P(B/A) Nel nostro esempio: P(A)= 4/40; P(B/A)= 3/39 P(E)= P(A) x P(B/A) = 4/40 x 3/39 = 1/130 22

Ovviamente il calcolo delle probabilità va al di là dei pochi concetti che sono stati illustrati e sarebbe errato pensare che esso riguarda lo studio dei soli giochi. 23

Mettiamo in due sacchetti due palline con i numeri 1 e 2. Qual è la probabilità dell’evento E: “esce il numero 2 da entrambi i sacchetti? ” Indichiamo questo evento con E(2, 2). Si tratta di un evento composto formato da due eventi semplici, indipendenti tra loro. Osserviamo che la probabilità dell’evento semplice E 1: “esce il numero 2 dal primo sacchetto” è ½ mentre la probabilità dell’evento semplice E 2: “esce il numero 2 dal secondo sacchetto” è pure ½. Riflettiamo: se nel primo sacchetto esce il numero 1, nell’altro può uscire o il numero 1 o il numero 2. I casi possibili quindi sono (1, 1) e (1, 2); se nel primo sacchetto esce il numero 2, nell’altro può uscire o il numero 1 o il numero 2. I casi possibili quindi sono (2, 1) e (2, 2). Osserviamo la rappresentazione dei casi possibili con un grafo ad albero. Notiamo come i casi possibili sono 4 mentre il caso favorevole E(2, 2) è 1, per cui possiamo dire che la probabilità è: p(E) = ¼ Possiamo constatare come la probabilità di E sia data dal prodotto: p(E 1). p(E 2). Infatti: ½ . ½ = ¼. 24

ESERCIZI 1. Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nell’estrazione di una pallina da ciascun sacchetto sotto rappresentato, individua gli eventi semplici da cui è composto l’evento E: “escono due palline rosse” e calcola la probabilità dell’evento E: “escono due palline rosse”. 2. Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nell’estrazione di un numero da ciascun sacchetto sotto rappresentato, individua gli eventi semplici da cui è composto l’evento E: “escono due numeri dispari” e calcola la probabilità dell’evento E: “escono due numeri dispari”. 3. Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nell’estrazione di una pallina da ciascun sacchetto sotto rappresentato e calcola la probabilità dell’evento E: “escono palline dello stesso colore”. 25

Applicazione della Probabilità alla Genetica 26

Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni trasmessi da ciascun genitore. Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi in due forme diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, A, a. Per esempio prendiamo il carattere ” colore degli occhi” e indichiamo con “R” il gene responsabile del colore scuro e con “r” il gene responsabile del colore chiaro. Ciascun genitore trasmette un gene con probabilità 1/2. Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo “r” non manifesti il proprio carattere in presenza di “R”, coloro che possiedono i due geni RR e Rr hanno occhi scuri, quelli con la coppia rr hanno occhi chiari. 27

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