La probabilit nei giochi matematici Frascati 16 ottobre

La probabilità nei giochi matematici Frascati 16 ottobre 2011 Nando Geronimi Centro Pristem Bocconi FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il primo problema Il cavaliere de Méré propose a Pascal il seguene problema: “E’ più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte 1 dado si presenti almeno una volta il 6, oppure se si scommette che lanciando 24 volte 2 dadi si presenti almeno una volta il doppio 6? ” Calcolo di de Méré: Il rapporto tra il numero dei lanci (4 o 24) e il numero dei casi possibili (6 o 36) è lo stesso: 4: 6=24: 36. Sembra che le due probabilità sia uguali. Calcolo di Pascal: E 1: esca almeno una volta il 6 in 4 lanci” E 2: esca almeno una volta il doppio 6 in 24 lanci”. P(E 1)=1 - (5/6)4= 0, 5177… P(E 2)=1 -(35/36)24 = 0, 4914… 1/6+1/6+1/6=4/6=2/3 (1/6 x 1/6)+ ……=24 x(1/36)=24/36=2/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il triangolo ottusangolo In un piano sono dati tre punti non allineati. Calcolare la probabilità che i tre punti siano vertici di un triangolo ottusangolo. (Lewis Carrol) FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il triangolo ottusangolo Chiamiamo con AB il segmento maggiore. Tracciamo gli archi R 1 e R 2 aventi centro rispettivamente in A e in B, e raggio AB; chiamiamo con P il loro punto di intersezione. Il terzo punto C si trova nella regione di piano compresa tra il segmento AB e gli archi AP e BP. Tracciamo un semicerchio di diametro AB. I segmenti AC e BC sono gli altri due lati di un triangolo. Se il punto C è interno al semicerchio il triangolo è ottusangolo. P C 2 C 1 A B FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il triangolo ottusangolo P La probabilità richiesta è il rapporto tra l’area del semicerchio e l’area della regione di piano individuata dal segmento AB e dai due archi AP e BP. C A B Indipendentemente dall’unità di misura, la probabilità è: p=(π/2)/((4π/3)-√ 3) = 0, 639… FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le sfere multicolori Un’urna contiene sfere di quattro colori: rosso, bianco, azzurro e verde. Estraendo contemporaneamente 4 sfere a caso, i seguenti eventi sono tutti ugualmente possibili: (a) 4 sfere rosse (b) 1 sfera bianca e 3 rosse (c) 1 sfera bianca, 1 azzurra e 2 rosse (d) 4 sfere di colori diversi. Quante sfere ci sono al minimo nell’urna? Indichiamo con r, b , a, v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere. Il numero di casi possibili è: Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è: a) = rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24 b) c) d) =bxrx(r-1)x(r-2))/6 =bxaxrx(r-1))/2 =bxaxrxv I quattro prodotti devono essere uguali tra loro FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le sfere multicolori Da a) e b) si ricava b=(r-3)/4 Da b) e c) si ricava a= (r-2)/3 Da c) e d) si ricava v= (r-1)/2 Qual è il più piccolo numero che diviso per 4 dà resto 3, diviso per 3 dà resto 2 e diviso per 2 da resto 1? E’ il m. c. m tra 2, 3 e 4, diminuito di 1, cioè 11. Da cui: n=21 r=11 b=2 a=3 v=5 Indichiamo con r, b , a, v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere. Il numero di casi possibili è: . Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è: a) = rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24 b) c) d) =bxrx(r-1)x(r-2))/6 =bxaxrx(r-1))/2 =bxaxrxv I quattro prodotti devono essere uguali tra loro FRASCATI, 16 ottobre 2011

La mancia e gli scacchi “Papà mi regali 10 Euro? ” “No Paolo, devi guadagnarteli! Facciamo tre partite a scacchi, contro di me e contro tua madre. Puoi scegliere l’ordine delle partite tra: padre-madre-padre oppure madre-padre-madre. Se vinci almeno due partite consecutive ti sarai guadagnato i 10 Euro”. Sapendo che Paolo, nel gioco degli scacchi è più debole del padre ma più forte della madre, quale sarà la sua scelta nell’ordine delle partite per avere la maggiore probabilità di guadagnarsi i 10 Euro? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La mancia e gli scacchi Facciamo una simulazione. Indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. Supponiamo che le due probabilità siano rispettivamente: p=0, 20 e q=0, 70. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è: Nel caso madre-padre-madre: qxpxq = 0, 7 x 0, 2 x 0, 7=0, 098 qxpx(1 -q) = 0, 7 x 0, 2 x 0, 3 =0, 042 (1 -q)xpxq = 0, 3 x 0, 2 x 0, 7 =0, 042 La probabilità totale è: 0, 182 Nel caso padre-madre-padre: pxqxp = 0, 2 x 0, 7 x 0, 2 = 0, 028 pxqx(1 -p) = 0, 2 x 0, 7 x 0, 8 = 0, 112 (1 -p)xqxp = 0, 8 x 0, 7 x 0, 2 = 0, 112 La probabilità totale è: 0, 252 FRASCATI, 16 ottobre 2011

4 -La mancia e gli scacchi Generalizziamo: indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è: Paolo ha una maggiore probabilità di avere 10 Euro giocando in successione con Padre - Madre - Padre Nel caso madre-padre-madre: qxpxq = q 2 xp qxpx(1 -q) = pxq- q 2 xp (1 -q)xpxq = pxq- q 2 xp La probabilità totale è: 2 xpxq- q 2 xp Nel caso padre-madre-padre: pxqxp = p 2 xq pxqx(1 -p) = pxq- p 2 xq (1 -p)xqxp = pxq- p 2 xq La probabilità totale è: 2 xpxq- p 2 xq Dal confronto dei risultati si ha: 2 xpxq- p 2 xq > 2 xpxq- q 2 xp infatti: - p 2 xq > - q 2 xp o q 2 xp > p 2 xq perché q>p FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il dado irregolare In un dado irregolare la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. p(1) = 1/21 p(2) = 2/21 p(3) = 3/21 p(4) = 4/21 p(5) = 5/21 p(6) = 6/21 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi?

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? 1 1/21 2 2/21 3 3/21 4 4/21 5 5/21 6 6/21 1 2 3 4 5 6 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? 1 2 3 4 5 6 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 1 1/21 2: 1/441 3: 2/441 4: 3/441 5: 4/441 6: 5/441 7: 6/441 2 2/21 3: 2/441 4: 4/441 5: 6/441 6: 8/441 7: 10/441 8: 12/441 3 3/21 4: 3/441 5: 6/441 6: 9/441 7: 12/441 8: 15/441 9: 18/441 4 4/21 5: 4/441 6: 8/441 7: 12/441 8: 16/441 9: 20/441 10: 24/441 5 5/21 6: 5/441 7: 10/441 8: 15/441 9: 20/441 10: 25/441 11: 30/441 6 6/21 7: 6/441 8: 12/441 9: 18/441 10: 24/441 11: 30/441 12: 24/441 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? 1 2 3 4 5 6 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 1 1/21 2: 1/441 3: 2/441 4: 3/441 5: 4/441 6: 5/441 7: 6/441 2 2/21 3: 2/441 4: 4/441 5: 6/441 6: 8/441 7: 10/441 8: 12/441 3 3/21 4: 3/441 5: 6/441 6: 9/441 7: 12/441 8: 15/441 9: 18/441 4 4/21 5: 4/441 6: 8/441 7: 12/441 8: 16/441 9: 20/441 10: 24/441 10 5 5/21 6: 5/441 7: 10/441 8: 15/441 9: 20/441 10: 25/441 10 11: 30/441 6 6/21 7: 6/441 8: 12/441 9: 18/441 10: 24/441 10 11: 30/441 12: 24/441 Somma 8: 70/441 Somma 9: 76/441 Somma 10: 73/441 FRASCATI, 16 ottobre 2011

“Ho un asso!” Alice sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: “Ho un asso!”. Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse? 5359/14498, meno di 1/2 FRASCATI, 16 ottobre 2011

“Ho un asso di quadri!” Bob sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: “Ho un asso di quadri!” Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse? 11686/20825, più di 1/2 FRASCATI, 16 ottobre 2011

7/a “Ho un asso!” ALICE Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Alice annuncia: “Ho un asso!” Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse? BOB 1♠-1♦ 5♥-2♣ 1♠-2♣ 5♥-1♦ 1♠-5♥ 2♣-1♦ 1♦-2♣ 5♥-1♠ 1♦-5♥ 2♣-1♠ Probabilità: 1/5 FRASCATI, 16 ottobre 2011

7/a “Ho un asso quadri!” Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Bob annuncia. “Ho un asso di quadri!”. Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse? BOB ALICE 1♠-1♦ 5♥-2♣ 1♠-2♣ 5♥-1♦ 1♠-5♥ 2♣-1♦ 1♦-2♣ 5♥-1♠ 1♦-5♥ 2♣-1♠ Probabilità: 1/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dall’urna C. Qual è la probabilità che sia nera? A B C Se si ignora quale urna contenga le palle nere, la probabilità di estrarre una palla nera dall’urna C è 1/3. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dall’urna C. Qual è la probabilità che sia nera? A B C Se si sa che l’urna A contiene solo palle bianche, la probabilità di estrare una palla nera dall’urna C è 1/2. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Laplace (1814 Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dall’urna C. Qual è la probabilità che sia nera? A B C Se si sa che le urne A a e B contengono solo palle bianche, si ha la certezza che la palla estratta dall’urna C è nera. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1897) Un amico mi presenta un sacco che contiene quattro gettoni, ognuno dei gettoni può essere bianco (B) o nero (N). Mi invita ad estrarre due gettoni: sono entrambi bianchi. Poi mi dice: “Volevo dirti, prima di farti estrarre i gettoni, che almeno uno è bianco. Ma ora già lo sai, non ho più bisogno di dirtelo. Prendi ora un altro gettone” 1) Qual è la probabilità di estrarre il terzo gettone bianco? 2) Quale sarebbe la probabilità se mi avesse detto prima del gettone bianco? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1897) E: “prima estrazione due gettoni bianchi” F: “seconda estrazione un gettone bianco” 1– 1 1 -2 -1 1 -3 -3 -1 1 -4 -6 -4 -1 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 P(E) = 1 x 1/16 + 1/2 x 4/16 + 1/6 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/4 1 1/2 0 P(E∩F) = 1 x 1/16 + 1/4 x 4/16 + 0 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/8 P(F/E) = P(E∩F/E) = (1/8) / (1/4) = 1/2 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1897) E: “prima estrazione due gettoni bianchi” F: “seconda estrazione un gettone bianco” 1– 1 1 -2 -1 1 -3 -3 -1 1 -4 -6 -4 -1 1/16 1/8 P(E) = 4/16 3/8 6/16 3/8 4/16 1/8 1 x 1/8 + 1/2 x 3/8 + 1/6 x 3/8 + 0 x 1/8 P(E∩F) = 1 x 1/8 + 1/4 x 3/8 + = 3/8 0 x 3/8 + 0 x 1/8 = 7/32 P(F/E) = P(E∩F/E) = (7/32) / (3/8) = 7/12 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La lettera attesa Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO. Ricevo una lettera da quella provincia, del il timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La lettera attesa Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO. Ricevo una lettera da quella provincia, dal timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO? Entrambe le località sono nomi formati da sette lettere; in ognuna si possono avere 6 coppie di lettere consecutive: BO – ON – ND – DO – ON - NE CO - ON – ND - DI – IN - NO La probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO è 1/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

QUADRATILANDIA Sono in visita a Quadratilandia. Parto da un incrocio e vado verso Nord (vedi la figura). Ad ogni incrocio lancio una moneta: se viene Testa giro a destra, se viene Croce giro a sinistra. Qual è la probabiltà che dopo aver lanciato 7 volte la moneta e percorso 8 tratti, mi ritrova nell’incrocio da cui sono partito? FRASCATI, 16 ottobre 2011

QUADRATILANDIA Indichiamo con +i uno spostamento unitario verso Si fa ritorno al Nord, con –i uno spostamento unitario verso Sud, punto di partenza con +1 uno spostamento unitario verso Est e con -1 se la somma uno spostamento unitario verso Ovest. degli otto Gli otto possibili spostamenti unitari sono, nell’ordine: movimenti è 0. +i, ± 1, ±i, ± 1. La somma dei diversi i (+i, ±i, ±i) si può scrivere in 23=8 modi diversi e 3 di questi hanno somma 0: (+i, -i, -i) (+i, -i, +i, -i) (+i, -i, +i) La somma dei diversi 1 (± 1, ± 1) si può scrivere in 24 =16 modi diversi e 6 di questi hanno somma 0: (+1, -1, -1) (+1, -1, +1, -1) (+1, -1, +1) (-1, +1, -1) (-1, +1, -1, +1) (-1, +1, +1) La probabilità che mi ritrova al punto di partenza è 3/8 x 6/16 = 9/64 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le scelte di Ali-Baba Il sultano disse ad Ali-Baba: “Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”. Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi. Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le scelte di Ali-Baba Il sultano disse ad Ali-Baba: “Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”. Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi. Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi? (1/2)x 1 + (1/2)x 12/25 = 27/50 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Triangoli Ci sono cinque segmenti lunghi rispettivamente 2, 4, 6, 8, 10 cm. Scegliendo a caso tre segmenti, che probabilità abbiamo di poter costruire un triangolo? Le terne possibili sono 1 Solo le terne (4, 6, 8) – (4, 8, 10) – (6, 8, 10) soddisfano la condizione per costruire un triangolo. La probabilità è 3/10 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Divisori M è un numero intero che ha la proprietà che se scegliamo a caso un numero x dall’insieme dei primi 1000 numeri interi positivi, la probabilità che x sia un divisore di M è 1/100. Se M≤ 1000, trovare il massimo valore che può assumere. Il numero deve avere esattamente 10 divisori, la sua scomposizione in fattori primi deve essere tale che abbia due soli fattori, uno con eponente 4 e l’altro con esponente 1. Il fattore elevato alla quarta potenza deve essere < 5 perché 54=625 (che dovremmo poi moltiplicare per il secondo fattore primo). Restano due soli casi possibili: 24 x 61=976 (24 x 67=1072) 34 x 11=891 (34 x 13=1053) M=976 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno Bob è stato invitato ad una serata a casa di Alice, una amica matematica. Quando Bob arriva alla festa, Alice lo accoglie calorosamente con queste parole: “Grazie al tuo arrivo, ora siamo in numero sufficiente affinchè la probabilità che almeno due dei presenti festeggino il loro compleanno nello stesso giorno è maggiore di ½, escludendo naturalmente il caso che uno sia nato il 29 febbraio”. Qual è la probabiltà che almeno uno dei presenti festeggi il compleanno nello stesso giorno di Bob? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno Probabilità che due persone non siano nate nello stesso giorno: Probabilità che tre persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 x 363/365 Probabilità che quattro persone 364/365 x 363/365 x 362/365 non siano nate nello stesso giorno: FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno NUMERO DI AMICI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 ULTIMO FATTORE 364 363 362 361 360 359 358 357 356 355 354 353 352 351 350 349 348 347 346 345 344 343 342 341 340 339 338 337 336 335 334 333 332 331 330 329 328 327 326 325 324 323 322 321 320 319 318 317 316 315 314 313 312 311 310 309 308 307 306 305 304 303 302 301 PRODOTTI SUCCESIVI 364 132132 47831784 17267274024 6, 21622 E+12 2, 23162 E+15 7, 98921 E+17 2, 85215 E+20 1, 01536 E+23 3, 60454 E+25 1, 27601 E+28 4, 50431 E+30 1, 58552 E+33 5, 56517 E+35 1, 94781 E+38 6, 79785 E+40 2, 36565 E+43 8, 20881 E+45 2, 84025 E+48 9, 79886 E+50 3, 37081 E+53 1, 15619 E+56 3, 95416 E+58 1, 34837 E+61 4, 58445 E+63 1, 55413 E+66 5, 25296 E+68 1, 77025 E+71 5, 94803 E+73 1, 99259 E+76 6, 65525 E+78 2, 2162 E+81 7, 35778 E+83 2, 43542 E+86 8, 0369 E+88 2, 64414 E+91 8, 67278 E+93 2, 836 E+96 9, 24536 E+98 3, 0047 E+101 9, 7354 E+103 3, 1445 E+106 1, 0125 E+109 3, 2502 E+111 1, 0401 E+114 3, 3178 E+116 1, 0551 E+119 3, 3446 E+121 1, 0569 E+124 3, 3292 E+126 1, 0454 E+129 3, 272 E+131 1, 0209 E+134 3, 1749 E+136 9, 8422 E+138 3, 0412 E+141 9, 367 E+143 2, 8757 E+146 8, 7995 E+148 2, 6839 E+151 8, 1589 E+153 2, 4722 E+156 7, 4659 E+158 2, 2472 E+161 POTENZE DI 365 PROBABILITA’ DATA DIVERSA 365 0, 99726 133225 0, 991796 48627125 0, 983644 1, 77 E+10 0, 972864 6, 48 E+12 0, 959538 2, 36 E+15 0, 943764 8, 63 E+17 0, 925665 3, 15 E+20 0, 905376 1, 15 E+23 0, 883052 4, 2 E+25 0, 858859 1, 53 E+28 0, 832975 5, 59 E+30 0, 80559 2, 04 E+33 0, 776897 7, 45 E+35 0, 747099 2, 72 E+38 0, 716396 9, 92 E+40 0, 684992 3, 62 E+43 0, 653089 1, 32 E+46 0, 620881 4, 83 E+48 0, 588562 1, 76 E+51 0, 556312 6, 43 E+53 0, 524305 2, 35 E+56 0, 492703 8, 57 E+58 0, 461656 3, 13 E+61 0, 4313 1, 14 E+64 0, 401759 4, 16 E+66 0, 373141 1, 52 E+69 0, 345539 5, 55 E+71 0, 319031 2, 03 E+74 0, 293684 7, 39 E+76 0, 269545 2, 7 E+79 0, 246652 9, 85 E+81 0, 225028 3, 59 E+84 0, 204683 1, 31 E+87 0, 185617 4, 79 E+89 0, 167818 1, 75 E+92 0, 151266 6, 38 E+94 0, 135932 2, 33 E+97 0, 12178 8, 5 E+99 0, 108768 3, 1 E+102 0, 096848 1, 1 E+105 0, 08597 4, 1 E+107 0, 076077 1, 5 E+110 0, 067115 5, 5 E+112 0, 059024 2 E+115 0, 051747 7, 3 E+117 0, 045226 2, 7 E+120 0, 039402 9, 8 E+122 0, 03422 3, 6 E+125 0, 029626 1, 3 E+128 0, 025568 4, 8 E+130 0, 021995 1, 7 E+133 0, 018862 6, 3 E+135 0, 016123 2, 3 E+138 0, 013738 8, 4 E+140 0, 011668 3, 1 E+143 0, 009878 1, 1 E+146 0, 008335 4, 1 E+148 0, 007011 1, 5 E+151 0, 005877 5, 5 E+153 0, 004911 2 E+156 0, 00409 7, 3 E+158 0, 003396 2, 7 E+161 0, 00281 9, 7 E+163 0, 002317 PERCENTUALE DATA UGUALE 0, 273973 0, 820417 1, 635591 2, 713557 4, 046248 5, 62357 7, 433529 9, 462383 11, 69482 14, 11414 16, 70248 19, 44103 22, 31025 25, 29013 28, 3604 31, 50077 34, 69114 37, 91185 41, 14384 44, 36883 47, 56953 50, 72972 53, 83443 56, 86997 59, 82408 62, 68593 65, 44615 68, 09685 70, 63162 73, 04546 75, 33475 77, 49719 79, 53169 81, 43832 83, 21821 84, 8734 86, 40678 87, 82197 89, 12318 90, 31516 91, 40305 92, 39229 93, 28854 94, 09759 94, 82528 95, 47744 96, 0598 96, 57796 97, 03736 97, 4432 97, 80045 98, 11381 98, 3877 98, 62623 98, 83324 99, 01225 99, 1665 99, 29894 99, 41227 99, 50888 99, 59096 99, 66044 99, 71905 99, 76831 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno Scegliendo a caso 24 persone quale ritenete sia la probabilità che due o più di esse abbiano lo stesso giorno di nascita? 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La suddivisione dei bastoni Se rompiamo un’infinità di bastoni, qual è la probabilità che almeno uno sia rotto esattamente a metà? (Lewis Carrol) Immaginiamo di dividere ogni bastone in (n+1) parti con n numero dispari e che gli n punti abbiano tutti la stessa probabilità di essere punto di rottura. FRASCATI, 16 ottobre 2011

La suddivisione dei bastoni La probabilità che 1 bastone non sia diviso nel suo punto centrale è (n-1)/n. La probabilità che con n bastoni nessuno sia diviso nel suo centro è ((n-1)/n)^n = (1 -1/n)^n. La probabiltà che con n bastoni almeno uno sia diviso al suo centro è: 1 - (1 -1/n)^n. Al tendere di n all’inifnito si ha: lim (n→ ∞) (1 -1/n)^n) = 1 - 1/e ≈ 0, 632 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il paradosso di Pietroburgo Si lancia una moneta da 1 centesimo. Se viene testa il lanciatore paga 1 dollaro all’avversario; se viene croce il lancio viene ripetuto e se ora viene testa il lanciatore paga 2 dollari. Se viene croce si ripete il lancio e se viene testa il lanciatore paga 4 dollari. In breve, la posta viene raddoppiata ad ogni lancio e si continua sinchè non viene richiesto il pagamento. Quanto dovrebbe mettere di posta l’avversario per avere il privilegio di giocare a questo gioco? L’avversario ha sempre il diritto di scegliere se iniziare una nuova partita o di finire il gioco. (Daniel Bernoulli) 1$ T C C T C T FRASCATI, 16 ottobre 2011 2$ 4$ 8$

Il paradosso di Pietroburgo Qualsiasi somma, diciamo pure un milione di dollari per ogni singola partita. In ogni singola partita si ha la probabilità: ½ di vincere 1 $ ¼ di vincere 2 $ 1/8 di vincere 4$ ……. La vincita totale prevedibile è. (1 x 1/2)+(2 x 1/4)+(4 x 1/8)…. . La somma di questa serie illimitata è infinita Qualsiasi somma pagasse in anticpito per ogni singola partita l’avversario vincerebbe alla fine giocando un sufficiente numero di partite. 1$ T C C T C T Si suppone che si disponga di un capitale illimitato e che si possa giocare un numero illimitato di partite. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- ) e uno è nero (- ) Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ anche questo è bianco (- ). ) e si estrae un gettone: Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- ) e uno è nero (- ) Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ anche questo è bianco (- ). ? ± ) e si estrae un gettone: ? ? ± ± Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- ) e uno è nero (- ) Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ anche questo è bianco (- ). ? ± ) e si estrae un gettone: ? ? ± ± Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? FRASCATI, 16 ottobre 2011