La notion de Parcours dtude et de Recherche

La notion de Parcours d’Étude et de Recherche (PER) et la rénovation du curriculum mathématique Marianna Bosch & Josep Gascón FUNDEMI – Facultat d’Economia IQS Universitat Ramon Llull (Barcelona)

L’équip de recherche: BAHUJAMA VIGO Cecilio Fonseca FRANCIA HUESCA Pilar Bolea MADRID Tomás Sierra Esther Rodríguez Alicia Ruiz SANTIAGO DE CHILE Lorena Espinoza & col. BARCELONA JAÉN Bernat Ancochea Berta Barquero Marianna Bosch Josep Gascón Noemí Ruiz Munzón Lidia Serrano Luisa Ruiz RÍO CUARTO Higueras (Argentina) Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 Javier García 2

Sommaire 1. L’atomisation des mathématiques scolaires et les ateliers de «pratiques mathématiques » 2. Des «pratiques mathématiques » aux « Parcours d’Étude et de Recherche » (PER) 3. L’expérimentation sur les PER au lycée, au collège et à l’université 4. Conclusions générales et questions ouvertes 3 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

« L’état de l’enseignement secondaire des mathématiques est aujourd’hui calamiteux. Quelques symptômes plus ou moins dissonants résument cette situation de nécrose : monumentalisme, formalisme, inauthenticité épistémologique, oubli du monde et péjoration de ses « besoins » , illusion lyrique, fantasme d’insularité et recherche de la pureté, fuite dans l’insignifiance ludique et la puérilité, foi naïve en une rédemption logicielle « mutualisée » … » Yves Chevallard (2006) Les mathématiques à l’école et la révolution épistémologique à venir 4 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

1. L’atomisation des mathématiques scolaires et les « ateliers de pratiques » Quelques symptômes… § Atomisation des mathématiques enseignées: le savoir enseigné tend à se réduire à une suite d’OM ponctuelles peu connectées entre elles. § Rigidité dans le travail avec ces OM ponctuelles (utilisation des techniques). § Obsession pour la créativité apparente: problèmes « olympiques » isolés + « l’éternel moment exploratoire » . § Mise en avant du discours technologico-théorique (concepts) et réduction des problèmes aux “applications” 5 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Chevallard (1991), Bosch & Gascón (1993) § Nouveau dispositif d’enseignement au premier cycle universitaire de mathématiques de l’Université Autonome de Barcelone: les « ateliers de travaux pratiques » CLASSES DE THÉORIE moment technologico -théorique P CLASSES DE PROBLÈMES P ATELIER DE PRATIQUES moment du travail de la technique E moment exploratoire Routiniser les techniques, les développer et évaluer Sortir du cadre limité du type de problèmes étudié Articuler différentes praxéologies ponctuelles Susciter le questionnement technologico-théorique Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 6

Chevallard (1991), Bosch & Gascón (1993) § Nouveau dispositif d’enseignement au premier cycle universitaire de mathématiques de l’Université Autonome de Barcelone: les « ateliers de travaux pratiques » CLASSES DE THÉORIE moment technologico -théorique P CLASSES DE PROBLÈMES P ATELIER DE PRATIQUES moment du travail de la technique E moment exploratoire TÉ I Donner aux étudiants: V I T A É L’occasion de routiniser les techniques E LA CR D E X O La légitimité pour le faire D A AR P Rendre visible une dimension essentielle de la pratique 7 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Chevallard (1991), Bosch & Gascón (1993) § Nouveau dispositif d’enseignement au premier cycle universitaire de mathématiques de l’Université Autonome de Barcelone: les « ateliers de travaux pratiques » CLASSES DE THÉORIE moment technologico P -théorique CLASSES DE PROBLÈMES P moment exploratoire [Q , q. A , q. B] [TA 1, t’A 1] [TA 2, t. A 2] [TB, t’B] ATELIER DE PRATIQUES Reprendre la construction d’OM locales qui se fait à partir du bloc théorique et situe le bloc pratique au niveau des « applications » , en « remontant » à partir du bloc pratique, par le développement et l’articulation de quelques OM ponctuelles. Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 8

Chevallard (1991), Bosch & Gascón (1993) § Nouveau dispositif d’enseignement au premier cycle universitaire de mathématiques de l’Université Autonome de Barcelone: les « ateliers de travaux pratiques » CLASSES DE THÉORIE moment technologico P -théorique CLASSES DE PROBLÈMES P moment exploratoire [Q , q. A , q. B] [TA 1, t’A 1] [TA 2, t. A 2] [TB, t’B] ATELIER DE PRATIQUES L’ingénieur-professeur doit réaliser un exercice épistémologique essentiel: étant donné une OML à enseigner, trouver un type de problèmes qui permette de reconstruire l’OML à partir du développement et 9 l’articulation des OMP qui la composent. Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Choix des questions de départ: § Séries entières résoudre des équations différentielles élémentaires (non au programme) en remplaçant les fonctions par leur développement en série entière. § Diagonalisation de matrices formule pour calculer la puissance n-ième d’une matrice carrée. § Convergence d’intégrales et de sommes encadrer les intégrales entre des sommes à valeur ou convergence connue. § Dérivés et théorèmes associés évaluer la vitesse de convergence de différentes méthodes de résolution numérique d’équations. « ordonner » une liste de fonctions selon leur vitesse de convergence. SITUATIONS FONDAMENTALES? 10 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

§ Les étudiants se voient attribuer un rôle (topos) dans la gestion et le développement de certains moments de l’étude qui, dans le contrat didactique habituel, ou bien ne sont pas gérés en classe ou bien le sont sous la responsabilité unique du professeur. § Nous pouvons considérer que les ateliers de pratiques éliminent ainsi une certaine « didacticité » au sens de direction formelle de l’étude: les élèves sont plus mus par des besoins mathématiques que par des besoins du contrat didactique/pédagogique. Or certains aspects importants de l’étude restent dans le topos du professeur : § choix des thèmes et techniques à développer (OML) § choix des problèmes et des milieux (mésogenèse); § planification et progression de l’étude (chronogenèse). 11 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

2. Des « ateliers de pratiques » aux Parcours d’Étude et de Recherche (PER) La notion de Parcours d’Étude et de Recherche permettra de dépasser les limitations des « ateliers de pratiques » tout en complétant ses fonctions didactiques: § Processus d’étude longs § Articulation d’OM ponctuelles en OM locales § Donner une plus grande place à l’élève dans la gestion des différents moments de l’étude § Fonctionnalité mathématique des OM enseignées Mise en avant d’une question problématique comme moteur et raison d’être de l’étude 12 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

L’enseignement des mathématiques est un vieil enseignement, qui peine à trouver un second souffle. De quoi souffre-t-il? Essentiellement de la fuite, de l’exténuation du sens. Les objets enseignés condensent des réponses à des questions que nous avons perdues. Il faut retrouver ces questions. Pourquoi s’intéresse-t-on aux triangles? Pourquoi s’évertuer à simplifier les fractions ou à récrire une expression numérique ou littérale dans une forme canonique? Pourquoi s’intéresser aux propriétés des figures? Autant de questions qui ont perdu leurs réponses dans une culture scolaire devenue muséographie sans vie. …/… Chevallard 2006 Étudier et apprendre en mathématiques: vers un renouveau 13 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

C’est cette culture qu’il faut restaurer et faire revivre dans les classes. Comment cela ? En mettant au principe de l’apprentissage des mathématiques l’étude de questions, que l’on prend au sérieux (au contraire d’une certaine culture d’opérette qui badine avec un concret sans consistance épistémologique) et auxquelles on s’efforce véritablement de répondre. De ce travail émergent les objets mathématiques, qui naissent alors, non de façon formelle et immotivée, mais poussés en avant par le rôle qu’ils jouent dans une certaine aventure intellectuelle. Chevallard (2006) Étudier et apprendre en mathématiques: vers un renouveau 14 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Préoccupation inhérente à la TSD: Situation fondamentale § Reconstruction fonctionnelle des connaissances mathématiques: elles se définissent par ce qu’elles permettent de faire (agir, formuler, prouver). Contre le « monumentalisme » et la perte de sens Épistémologie rénovée et expérimentale § L’activité mathématique s’engendre et se développe par l’interaction avec un milieu. § Le « contrat didactique-mathématique » est distingué du « contrat pédagogique » . 15 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

L’École doit forcer la rencontre de: § Questions “vives” Q § Certaines réponses préétablies R ◊ oeuvres culturelles § Élaboration, évaluation et diffusion des réponses apportées R ♥ Deux notions pour modéliser les processus didactiques « fonctionnels » : § Activités d’Étude et de Recherche (AER) § Parcours d’Étude et de Recherche (PER). Nous pouvons considérer les AER et PER comme conformant un « modèle didactique de référence » des processus didactiques, c’est-à-dire une base pour décrire les processus d’étude, analyser ceux qui existent et étudier les « conditions de possibilité » de nouveaux types de processus. 16 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Activités d’Étude et de Recherche (AER) On part d’une OM locale à enseigner et on cherche une situation dont la résolution permette la reconstruction de l’OML § C’est le professeur qui propose la question initiale à étudier § Le passage d’une AER à une autre n’est pas motivé SITUATION MATHÉMATIQUE + DIDACTIQUE Parcours d’Étude et de Recherche (PER) On part d’une question Q “vive” pour le groupe d’étude § La recherche d’une solution va au-delà de la reconstruction d’une OM locale § Elle peut nécessiter le “passage” par plusieurs AER (R ◊) § Le parcours n’est pas déterminé à l’avance: la question Q est prioritaire SITUATIONS À RENCONTRE HAUTEMENT PROBABLE 17 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Les Parcours d’Étude et de Recherche (1) Le point de départ est une question Q 0 « vive » et qui est prise au sérieux (on doit pouvoir « faire quelque chose » avec la réponse): Q 0 n’est pas le moyen mais une fin en soi. (2) Q 0 évolue au long du processus et donne lieu à de nouvelles questions, parfois « cruciales » : ouverture du PER. Le travail de production de R♥ peut se décrire comme une arborescence de questions Qi et de réponses (Ri = OMi) interreliées entre elles (modélisation progressive et récursive). (3) N’importe quelle R◊ est bonne si elle permet de produire un élément de réponse R♥ les OM du parcours ne sont pas « purement mathématiques » , les questions Qi apparaissent aussi bien dans les modèles que dans les systèmes modélisés. 18 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Les Parcours d’Étude et de Recherche (4) La mise en marche du processus d’étude requiert des média pour la récupération de R ◊ ainsi que des milieux pour la construction et validation de R ◊ et R ♥. La « dialectique des média et des milieux » (à développer) apparaît ainsi comme un élément clé de la réforme épistémologique. Elle est associée à l’ « étudiabilité » d’une question: il faut pouvoir se donner les bons milieux et avoir accès aux média. (5) Nouveau contrat didactique: - Le professeur agit comme un « guide » (directeur de l’étude). - La communauté d’étude partage les responsabilités dans la gestion des différents moments et dans la topogenèse, chronogenèse et mesogenèse du parcours. 19 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

3. L’expérimentation des PER: au lycée, au collège et à l’université Esther Rodríguez Quintana (2005) Thèse doctorale (Psychologie Éducative – U. C. Madrid) Métacognition, résolution de problèmes et enseignement des math. Expérimentation d’un PER sur la comparaison de tarifs de téléphones portables en 1 e (lycée) Deux expérimentations: 03/04 et 04/05 “Atelier” en horaire extra-scolaire et volontaire Deux centres de Madrid, groupes de 12 -15 élèves La professeure de l’atelier est la chercheure Question de départ: quel type de tarif nous convient? Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 20

GÉNÉRATIVITÉ POTENTIELLE DE LA QUESTION (analyse a priori) Travail avec des formules et des inégalités algébriques Prix appel = connexion + prix/seconde /fraction de minute Modélisation fonctionnelle: algébrique numérique graphique 21 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

La réalite est plus complexe… 22 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

AU-DELÀ DE LA MODÉLISATION FONCTIONNELLE… Excel Création de sites web Statistique Stratégies commerciales Politique du consommateur 23 CARACTÈRE MULTIDISCIPLINAIRE Séminaire National (Paris) –DES Janvier. PER: 2007 LES “MATHÉMATIQU

OBJECTIF DE L’EXPÉRIMENTATION (thèse) Viabilité des PER: première mise en oeuvre Étudier la puissance du dispositif didactique: (1) Capacité du PER pour provoquer des connections entre connaissances: interprétation de la connaissance métacognitive comme le passage d’OM ponctuelles à des UE OM locales ou régionales pour étudier un Q I T MA É H AT problème complexe. M E L (2) Incidence du PER sur la régulation métacognitive: nouveau partage de responsabilités dans la gestion des moments de l’étude institutionnalisation UE évaluation Q I T AC D I planification LE D Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 24

RÉSULTATS OBTENUS Des aspects du processus d’étude considérés traditionnellement comme “très didactiques” ont acquis une fonctionnalité mathématique indéniable EXEMPLES: Ø Développement du travail de la technique pour comparer différentes modalités de tarifs. Ø La recherche de renseignements a conduit les élèves à proposer des « énoncés d’exercices » plus simples que la réalité mais assez variés pour en aborder la complexité. Ø Institutionnalisation à travers la proposition de préparer un site web pour présenter les résultats obtenus (réponse). Ø Validation des modèles trouves à partir d’une étude statistique des factures apportées par chaque élève. 25 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

RÉSULTATS OBTENUS: Cession de responsabilité didactique aux élèves EXEMPLES: Résistences de la part du professeur-cherch Ø Ø Ø ü ü Planifier temporellement le processus (programmer) Partager les tâches entre les groupes d’élèves Poser de nouvelles questions et prioriser leur étude Institutionnalisation Validation Travail de la technique Justification technologico-théorique 26 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Autres PER expérimentés Javier García (U. de Jaén): Les “plans d’épargne” au Collège Tomás Sierra (U. C. de Madrid): Les systèmes de numération en formation de maîtres Berta Barquero (U. A. de Barcelona) Les modèles de populations en 1 r année universitaire de sciences Noemí Ruiz Munzón (U. A. de Barcelona) La modelisation algebrico-fonctionnelle au Lycée: “Comment gagner de l’argent en vendant des T-shirts” Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 Años Tamaño de la población 1937 8 1938 26 1939 85 1940 274 1941 800 1942 1800 27

Javier García (2005) Thèse doctorale (Didactique des Sciences et des Math. – U. Jaén) La modélisation comme outil d’articulation des mathématiques scolaires. De la proportionnalité aux relations fonctionnelles Expérimentation d’un PER sur l’établissement de « plans d’épargne » en 2 e (fin du collège) Une expérimentations: 04/05 “Atelier” en horaire scolaire Collège-lycée de Jaén (Andalousie), groupe 15 élèves Le professeur du cours est le chercheur Question de départ: comment économiser de l’argent pour payer le voyage de fin d’études? 28 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

On prévoit différent possibles plans d’épargne pour que chaque élève puisse choisir celui qui lui convient le mieux. Total après n paiements: Sn = F(n, C 0, Cn) On décrit chaque plan par un modèle algébrique qui permet d’exprimer l’amont total économisé après les n périodes: § Plans à versements constants: Cn = C (modèle linéaire) § Plans à versements croissants: Cn = Cn -1 + K (modèle quadratique) Cn = K · Cn -1 (modèle exponentiel), K>1 § Plans à versements décroissants: Cn = Cn -1 · K (modèles exponentiels) ), 0<K<1 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 29

Le PER permet de parcourir, en les reliant, différents modèles fonctionnels qui sont faiblement connectés dans le curriculum Plans d’épargne Modèles Question OM régionale intégrant les différents modèles fonctionnels 30 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

QUELQUES RÉSULTATS OBTENUS: § Dépasser l’isolement et l’atomisation de la relation de proportionnalité telle qu’elle est enseignée au collège en la situant par rapport au reste de modèles fonctionnels § Exemple paradigmatique de rénovation de l’épistémologie scolaire pour dépasser l’ « autisme thématique » du professeur (et du chercheur!): leçon de la TSD peu entendue par la communauté § Viabilité des PER en conditions scolaires « normales » et contraintes de différents niveaux de détermination: – Séances trop courtes (50’) – Petit nombre d’élèves – Professeur = chercheur (moins soumis aux contrat institutionnel) 31 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

Berta Barquero Farràs (2006) Mémoire de DEA (Mathématiques – U. Autonome de Barcelone) Les PER et l’enseignement de la modélisation mathématique en première année universitaire de sciences Expérimentation d’un PER sur l’étude de la dynamique de populations en 1 e année de DEUG - Sciences Une expérimentations: 05/06 “Atelier” en horaire extra-scolaire, volontaire Évaluation: + 1 point / 10 à l’examen final Année Taille de la population Groupe 12 - 17 élèves 1937 8 Le professeur du cours est le chercheur 1938 26 Question de départ: Comment prévoir l’évolution de la taille d’une population? Quelles données? Quelles hypothèses? Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 1939 85 1940 274 1941 800 1942 1800 32

Étude de la dynamique d’une population (X) Q 0 Modèles discrets t=nєN OM D 2 G. mélangées Suites récurrentes d’ordre ≥ 2 Modèles continus tєR Generations separées OM C 1 OM C 2 Étude de EDO d’ordre ≥ 2 OM D 1 Étude de rn = Suites récurrentes d’ordre 1 DEUXIÈME PER Étude de {xt} E. D. O. d’ordre 1 Systèmes D’E. D. O. TROISIÈME PER PREMIER PER Séminaire National (Paris) – Janvier 2007 33

QUELQUES RÉSULTATS OBTENUS: § Les 3 PER permettent de « recouvrir » le curriculum officiel § Enseignement explicite du processus de modélisation: – Explicitation des hypothèses et lien avec les modèles – Validation des modèles et mise en avant des limitations pour en construire de nouveaux ( réponses partielles) – Institutionnalisation des modèles et des systèmes § Nouveaux dispositifs didactiques pour l’institutionnalisation: – rédaction de rapports provisoires – besoin de discours technologico-théoriques « ad hoc » § Incidence sur les autres dispositifs d’enseignement: la classe de théorie et de problèmes se subordonnent au fur et à mesure à l’atelier de modélisation 34 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007

4. Conclusions générales et questions ouvertes § Viabilité des PER en conditions scolaires « normales » essais avec des professeurs non-chercheurs § Rigidité du contrat didactique habituel dans la gestion de nombreux aspects des PER: topo, chrono et mésogenèse besoins en praxéologies didactiques § Légitimité à créer de nouveaux discours technologiques « ad hoc » pour institutionnaliser les résultats des PER besoins en praxéologies mathématiques § Possibilité de « couvrir » un programme annuel nouveau pacte curriculaire autour de questions 35 Séminaire National (Paris) – Janvier 2007