La mthode dEuler pas pas Au dpart il

La méthode d’Euler pas à pas Au départ, il y a : - une équation différentielle du premier degré y’(t) = d(y(t))/dt = fonction de y(t) qu’on ne sait pas nécessairement résoudre. . . - une condition initiale : c’est à dire une valeur que l’on connaît : Par exemple : y(0) = y 0

Un peu de math. . . Par définition, y’(t) = lim. Dt-->0 ([y(t+Dt) - y(t)]/Dt) En physique, pour un intervalle de temps Dt suffisamment petit (mais fini et défini) : y’(t) [y(t+Dt) - y(t)]/Dt d ’où y(t+Dt) y(t) + y’(t). Dt on note Dy(t) = y(t +Dt) - y(t) Dy(t) y’(t). Dt

A partir de là : quand le mathématicien écrit le physicien écrit = ; mais ne perdez pas de vue que le résultat est approché ! Reprenons : Dy(t) = y(t +Dt) - y(t) Dy(t) = y’(t). Dt y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) Tout cela à chaque instant t. . .

Et n’oublions pas que nous connaissons une équation différentielle du premier degré : donc. . . y’(t) = fonction de y(t) Dy(t) = y’(t). Dt y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) Et nous connaissons aussi une valeur de y(t) : c’est la condition initiale : y(0) = y 0

Condition initiale y(0) y’(t) = fonction de y(t) Dy(t) = y’(t). Dt Je connais y(0), je calcule y’(0) Je fixe un Dt (petit) Je connais y’(0), je calcule Dy(0) y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) Je connais y(0) et Dy(0), je calcule y(0+Dt) Maintenant je connais aussi y(t 1) avec t 1 = 0 + Dt

Je connais y(t 1) je calcule y’(t 1) Je connais y’(t 1) je calcule Dy(t 1) Je connais y(t 1) et Dy(t 1) je calcule y(t 1+Dt) Maintenant je connais aussi y(t 2) avec t 2 = t 1 +Dt On continue ?

y(t 2) Dy(t 2) y’(t 2) y(t 2 +Dt) Maintenant je connais aussi y(t 3) avec t 3 = t 2 +Dt Et ainsi de suite : c’est une méthode itérative

Le mieux est encore d’utiliser un exemple concret La décharge d’un condensateur chargé

La loi des tensions permet d'écrire à chaque instant que u. C + u. R = 0 (avec les conventions du schéma) soit u C + RC du. C/dt = 0

Condition initiale u. C(0) u. C’(t) = - (1/RC). u. C(t) u. C’(0)= - (1/RC). u. C(0) Du. C(t) = u. C’(t). Dt Je fixe un Dt (petit) Du. C(0) = - (1/RC). u. C(0). Dt y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) u. C(0+Dt) = u. C(0) - (1/RC). u. C(0). Dt t 1 = 0 + Dt u. C(t 1) est connu

Et si on voyait ça avec un tableur ? Ouvrir le fichier Excel