La Matematica nei Licei non scientifici 18 novembreed

La Matematica nei Licei non scientifici 18 novembreed 2016 Matematica Arte Eva Ferrara Dentice - S. U. N. Dipartimento di Matematica e Fisica

“Simmetria” è un concetto intuitivo Nell’arte: Vitruviano L’uomo In natura In architettura: Basilica di In natura http: //snowflakebentley. com/ Santa Chiara-Napoli

Altre simmetrie… Palazzo della Prefettura-Verona. Galleria Umberto I-Napoli Anche queste decorazioni hanno una loro simmetria ma questa è “evidentemente” diversa da quella degl diapositiva precedente…

Altre simmetrie… Alhambra. Granada 1240

Ancora simmetrie… Volta del Mausoleo di Galla Placidia V sec. Ravenna Disegno egizio Copripiumone Bassetti

Simmetria (dal dizionario Zingarelli) 1. (gener. ) In un oggetto, un corpo, un insieme, una struttura e sim. , disposizione dei vari elementi che lo compongono tale che rispetto ad un dato punto, asse o piano cui si fa riferimento vi sia tra essi piena corrispondenza di forma, dimensione, posizione e sim. 2. (biolog. )Disposizione regolare delle parti di un organismo rispetto ad un piano o ad un asse. 3. Rispondenza nella struttura dei cristalli rispetto a linee rette, o assi o piani. 4. (mus. ) Rispondenza di frasi o periodi nel giro delle melodie, o nella qualità degli accordi, o nella durata delle note. 5. Armonia di proporzioni, combinazioni, disposizioni, e sim. 6. (fis. ) Proprietà di cui godono i sistemi e le leggi fisiche si mantengono invariati a seguito di una trasformazione.

ISOMETRIA = applicazione tra i punti che conserva le distanze Le simmetrie di un oggetto geometrico Un conserva anche gli angoli, X ’isometria sono le isometrie dello spazio chee quindi l’ortogonalità mutano X in sé.

Le simmetrie di un insieme X stituiscono una struttura algebri detta Gruppo

Classificazione delle isometrie del piano identità Chasles (1831) traslazione rotazione riflessione glissosimmetria

I gruppi ornamentali del pian T(G)=Traslazioni simmetrie G • • • nel gruppo T(G)={1} Rosette Groups T(G)=[tu], u≠ 0 Frieze Groups T(G)=[tu, tv], {u, v} non paralleli Wallpaper groups di

E’ fissato soltanto dall’identità G={1} E’ fissato dalla riflessione a G={1, a} a E’ fissato dalla rotazione M, π M G={1, M, π}

I gruppi diedrali Dn , n≥ 3 uppi delle simmetrie dei poligoni regola C a a C D 3=[ , | 2= 3=1, = 2 ] = a = C, 2π/3 D 4=[ , | 2= 4=1, = 3 ] = a = C, π/2 ………. C a π/n Dn=[ , | 2= n=1, = n-1 ] = a = C, 2π/n

Come ottenere altri gruppi di poligoni? Fissato un poligono regolare con n lati Si divide in n parti ciascun lato Si fissa un verso di rotazione e si sceglie il secondo n-simo su ogni lato Si costruisce così un poligono di 2 n lati C 4={1, , 2, 3} = C, π/2 …………. . Cn={1, , 2, 3, …, n-1} = C, 2π/n

Il gruppo delle simmetrie di un poligono con n lati contiene al più 2 n simmetrie Un gruppo di simmetrie finito non contiene né traslazioni, né glissosimmetrie Teorema di Leonardo: Un gruppo finito di simmetrie o è un gruppo ciclico o è diedrale Un Rosone ha per gruppo delle simmetrie un gruppo ciclico o diedrale no E’ ciclico Esistono riflessioni? sì E’ diedrale

C 2 D 3 Santa Chiara-Napoli D 4 Musei Vaticani-Roma

C 6 D 5 D 6

Ma se guardiamo anche alle decorazioni pentagonali all’interno dei sei cerchi… C 2 Il rosone di santa Chiara ha un motivo centrale a base esagonale, ed D 6 D 4 = D 2

Chiesa di Santa Croce-D 24 Lecce C 8 C 3 C 4 Marchio XX sec.

Motivo ornamentale paraguaia Motivo ornamentale musulmano XIX sec C 2 C 4 Motivo peruviano epoca precolombiana C 2 Pianta della Basilica di San (Bramante) D 4

D 8 D 3 Basilica di Santa Chiara-Assisi Duomo Orvieto di

Fregi Galleria Umberto INapoli Villa comunale-Napoli Palazzo della Prefettura-Veron

Fregio (ancora dal dizionario Zingarelli) Fascia ornamentale ad andamento orizzontale; parte della trabeazione compresa tra l’architrave e la cornice, decorata a rilievo con figure o con motivi geometrici o più o meno stilizzati. (arch. ) Ogni decorazione, specialmente in rilievo, con andamento orizzontale, a forma di fascia Insieme X di punti del piano contenente una retta c e verificante le seguenti condizioni: 1) Le traslazioni che fissano X costituiscono un gruppo c 2) Ogni simmetria di X fissa la retta c.

c è l’asse del fregio c ha la direzione del vettore u u =tu c A N M N’ A 1 N 1 M 1 N’ 1’ A 2 N 2 M 2 N’ 2 A 3

Come sono fatte le isometrie di un fregio? Sia X un fregio, ed F il suo gruppo delle simmetrie c A N M N’ A 1 N 1 M 1 N’ 1’ A 2 N 2 M 2 N’ 2 A 3 Le traslazioni di F sono del Le di F hanno centro uno dei punti Ai, tiporotazioni n Mi ed angolo π. (Ribaltamenti) Le riflessioni di F hanno asse c, oppure una delle rette perpendicolari a c. Anche le glissosimmetrie di F sono “speciali”

F 1=[ ] A F 2=[ ] A F 11=[ c] A M M M F 21=[ c] F 12=[ a] F 22=[ n] F 13=[ ] A M

Come classificare il gruppo di un fregio? Contiene rotazioni? no sì Contiene la riflessione di asse c? Contiene la riflessione di no sì Contiene riflessioni di asse ortogonale no a c? sì F 12 Contiene glissosimmetrie? no F 1 sì F 13 F 11 no Contiene riflessioni di asse sì ortogonale a c? no F 22 sì F 21

SSSSSSS Arte precolombiana-Perù Fregio arabo DDDDDD F 2 Fascia ornamentale cilena F 11

Fascia decorativa (J. Hoffmann) FFFFFFF Fregio egizio AAAAAA Fregio tipografico moderno F 1 Fascia ornamentale fenicia F 12

Arte indiana IIIIIIIII Arte precolombiana MWMWMW F 21 F 22

MDWDMDW Arte minoica, II sec a. C. F 13 F 1

F 1 F 2 F 12

Gruppi delle carte da parati (Gruppi cristallografici piani) Sono i gruppi delle isometrie piane il cui sottogruppo delle traslazioni è generato da n-centro due traslazioni di vettori non Un punto P è un per un gruppo G di isometrie proporzionali. se le rotazioni di centro P formano un gruppo ciclico Teorema di Restrizione Cristallografica: Se P è un n. C n. centro di un wallpaper group W, allora n=2, 3, 4, 6. In un gruppo cristallografico piano ci sono rotazioni di angoli p, 2 p/3, p/2, p/3.

Teorema di Fedorov (1891) Nessun ncentro W 11 cm W 12 pm W 13 pg Solo 2 -centri p 1 W 2 4 -centri p 2 W 4 W 21 cmm W 22 pmm W 23 pmg W 24 pgg Solo 3 centri p 4 W 3 W 41 p 4 m W 42 p 4 g 6 -centri p 3 W 6 W 31 p 3 m 1 W 32 p 31 m p 6 W 61 p 6 m

Alhambra. Granada 1240