La fonction RACINE CARRE Dfinition La racine carre

La fonction RACINE CARRÉE

Définition La racine carrée d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x. On note la racine carrée de x. Exemples : Propriétés : car 3 x 3 = 9 ou (3)2 = 9 Attention ! car 7 x 7 = 49 ou (7)2 = 49 - 5 = Ø

Rationalisation du dénominateur Lorsqu’une fraction comporte un nombre irrationnel au dénominateur, la rationalisation consiste à le rendre rationnel. 1 Exemple #1 : Rationnaliser 1 2 = Irrationnel 1 2 . 2 x 2 2 = 2 ( 2 )2 = 2 2 Rationnel

Exemple #2 : Rationnaliser 6 4+ 7 = = Irrationnel = = 6 4+ 7 6 4+ . x 7 6 x (4– (4+ 4– 7 7) 7) x (4– 7) 24 – 6 7 16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )2 24 – 6 7 16 – 7 24 – 6 7 9 8– 2 7 3 Rationnel

Exemple #3 : Rationnaliser 10 11 – 7 = = Irrationnel = = = 10 11 – . 7 10 11 – x 7 11 + 7 10 x ( 11 + ( 11 – 7) 7 ) x ( 11 + 7) 10 11 + 10 7 ( 11 )2 + 11 7 – ( 7 )2 10 11 + 10 7 ( 11 )2 – ( 7 )2 10 11 + 10 7 11 – 7 10 11 + 10 7 4 5 11 + 5 7 2 Rationnel

Équations et graphique f(x) = x (forme générale de BASE) f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = a x – h + k (formes CANONIQUES) f(x) = a - ( x – h ) + k Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet ( h, k). Exemple : f(x) = -2 3 ( x – 1 ) + 4 a b h k a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4

Équations et graphique f(x) = x (forme générale de BASE) x f(x) 0 0 car f(0) = 0 1 1 car f(1) = 1 2 1, 41 car f(2) = 2 = 1, 41 4 2 car f(4) = 4 = 2 9 3 car f(9) = 9 = 3 16 4 car f(16) = 16 = 4 -1 Ø car f(-1) = -1 = Impossible

Équations et graphique f(x) = x (forme générale de BASE) x f(x) 0 0 1 1 4 2 9 3 16 4 25 5 36 6 Sommet 1 1 Sommet (0, 0)

Équations et graphique f(x) = - x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) x f(x) 0 0 1 -1 4 -2 9 -3 16 -4 25 -5 36 -6 Sommet (0, 0) 1 1

Équations et graphique f(x) = -x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) x f(x) 0 0 -1 1 -4 2 -9 3 -16 4 -25 5 -36 6 Sommet 1 1 Sommet (0, 0)

Équations et graphique f(x) = - 2 x – 3 + 4 x f(x) 0 Ø 1 Ø 2 Ø 3 4 4 2 7 0 12 -2 Sommet (3, 4) 1 Sommet 1

Équations et graphique f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE) (h, k) = sommet a : + b : – a : + b : + 1 Sommet (h, k) 1 a : – b : – a : – b : +

Forme canonique <---> générale Exemple #1 : Écrire l’équation f(x) = - 3 4 x + 8 – 2 sous la forme canonique. f(x) = - 3 4 x + 8 – 2 f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2 f(x) = - 3 4 x + 2 – 2 f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2 f(x) = -6 x + 2 – 2 Sommet (-2, -2) 1 1

Exemple #2 : Écrire l’équation f(x) = 12 – 4 x + 6 sous la forme canonique. f(x) = 12 – 4 x + 6 f(x) = - 4 x + 12 + 6 f(x) = - 4 (x – 3) + 6 f(x) = 4 - (x – 3) + 6 f(x) = 2 - (x – 3) + 6 Sommet (3, 6) 1 1

Exemple #3 : Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5 x + 3 sous la forme canonique. f(x) = - 6 - 5 x + 10 + 3 f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3 f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3 f(x) = - 13, 4 - (x – 2) + 3 Sommet (2, 3) 1 1

Recherche de l’équation Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction. Esquisse du graphique P(-1, 7) 2 2 S(8, -5)

Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction. f(x) = a x – h + k f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES) Esquisse du graphique 7 = a - (-1 – 8 ) – 5 7 = a - (-9) – 5 7 = a 9 – 5 7 = a (3) – 5 12 = 3 a 4 = a a : + b : – P(-1, 7) 2 2 S(8, -5) Réponse : f(x) = 4 - ( x – 8 ) – 5

Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4 . 0 = 2 x – 3 – 4 Il faut que x – 3 ≥ 0 4 = 2 x – 3 2 = x – 3 Alors que x ≥ 3 (2)2 = ( x – 3 )2 4 = x – 3 7 = x VALIDATON 0 = 2 (7) – 3 – 4 0 = 2 4 – 4 0 = 4 – 4 Réponse : x { 7 } Esquisse du graphique 0 = 0 1 1 Sommet (3, -4)

Exemple #2 : Résoudre 4 5 – 2 x = 12 . 5 – 2 x = 3 ( 5 – 2 x )2 = (3)2 5 – 2 x = 9 - 2 x = 4 x = - 2 Il faut que 5 – 2 x ≥ 0 Alors que x ≤ 5/2 Esquisse du graphique - 2 x + 5 = 3 - 2 (x – 5/2) = 3 VALIDATON 4 5 – 2(-2) = 12 4 5 – -4 = 12 4 9 = 12 4 (3) = 12 12 = 12 Réponse : x { - 2 } y = 3 1 1 Sommet (5/2, 0)

Exemple #3 : Résoudre 2 x + 4 = 0 . 2 x = - 4 x = - 2 ( x )2 = (- 2)2 x = 4 Il faut que x ≥ 0 Esquisse du graphique À rejeter VALIDATON 2 4 + 4 = 0 2 (2) + 4 = 0 4 + 4 = 0 8 0 Réponse : x { } Sommet (0, 4) 1 1 Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution !

Résolutions d’inéquations Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2 x Esquisse du graphique Sommet (-1, 0) 1 1

Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2 x f(x) = g(x) x + 1 = 2 x Il faut que x + 1 ≥ 0 Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2 x)2 Esquisse du graphique x + 1 = 4 x 2 0 = 4 x 2 – x – 1 x = -b b 2 – 4 ac 2 a x = -1 1 (-1)2 – 4(4)(-1) 2(4) x = -3 17 8 x 1 ≈ -0, 39 et Sommet (-1, 0) x 2 ≈ 0, 64 1

Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2 x f(x) = g(x) x + 1 = 2 x Il faut que x + 1 ≥ 0 Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2 x)2 Esquisse du graphique x + 1 = 4 x 2 0 = 4 x 2 – x – 1 Sommet (-1, 0) -0, 39 ≈ x 1 0, 64 ≈ x 2 À rejeter VALIDATON de x 1 VALIDATON de x 2 (-0, 39) + 1 = 2(-0, 39) (0, 64) + 1 = 2(0, 64) 0, 61 = -0, 78 1, 64 = 1, 28 0, 78 -0, 78 1, 28 = 1, 28 1 1 Réponse : x ] 0, 64, + ∞

Exemple #2 : Résoudre f(x) ≥ g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2 x f(x) = g(x) x + 1 = 2 x Il faut que x + 1 ≥ 0 Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2 x)2 Esquisse du graphique x + 1 = 4 x 2 0 = 4 x 2 – x – 1 Sommet (-1, 0) -0, 39 ≈ x 1 0, 64 ≈ x 2 À rejeter Réponse : x [ -1 ; 0, 64 ] 1 1