LA ELIPSE Y LA HIPRBOLA UNIDAD 14 Objetivo

LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA UNIDAD 14

Objetivo general. Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los elementos que caracterizan a la elipse y a la hipérbola en las soluciones de ejercicios y problemas.

ÍNDICE • OBJETIVO GENERAL • Objetivos Específicos • EJEMPLOS • Ejercicios Resueltos • Problemas Propuestos

EJEMPLOS OBJETIVO 1 OBJETIVO 2 OBJETIVO 3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica. 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico, su ecuación en la forma canónica. 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse y de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general. Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano, llamados focos, es una cantidad constante y mayor que la distancia entre los focos.

Se llama eje focal a la recta que pasa por los focos (F y F’) y que corta a la elipse en dos puntos llamados vértices (V y V’). La porción del eje focal comprendida entre los vértices: se llama eje mayor y su longitud se designa como 2 a. La longitud del eje focal es . La recta perpendicular al eje focal en el centro de la elipse se llama eje normal, y corta a la curva en dos puntos, A y A’. El segmento es el eje menor de la elipse y su longitud es 2 b.

La posición del eje focal define la posición de la elipse: horizontal, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje x (Figura 6. 1 a); vertical, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje y (Figura 6. 1 b); o inclinada. Si la posición de la elipse es inclinada, se recurre a la rotación de ejes para analizarla.

Figura 1. 1 a. Figura 1. 1 b.

• La elipse es una curva simétrica con respecto a sus dos ejes, que tiene dos lados rectos: las dos rectas perpendiculares al eje mayor que pasan por los focos y unen dos puntos de la curva. La elipse tiene dos directrices: las rectas perpendiculares al eje focal que se encuentran a la misma distancia de los vértices que los focos, pero en el lado opuesto, es decir fuera de la elipse. • Para determinar la ecuación del lugar geométrico que define a la elipse, en el caso en que la curva tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x, como los focos se encuentran sobre el eje de las abscisas, sus coordenadas son F(c, 0), F’(–c, 0), siendo c una constante positiva.

Si P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse, de acuerdo con la definición de esta curva P debe satisfacer la condición: Al sustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento se tiene: Desarrollando:

: puede ser reemplazada por un número positivo Sustituyendo: Y dividiendo por

Características de la ecuación de una elipse : Centro: C(0, 0) Eje focal: eje x Vértices: V(a, 0) y V’(–a, 0) Focos: F(c, 0), F’(–c, 0) Distancia focal: 2 c Longitud del eje mayor: 2 a Longitud del eje menor: 2 b Longitud de cada lado recto: Excentricidad: En el caso de la elipse la excentricidad siempre será menor a 1 ya que a > c.

Características de la ecuación de una elipse : Centro: C(0, 0) Eje focal: eje y Vértices: V( ) y V’(0, –a) Focos: F(0, c), F’(0, –c) Distancia focal: 2 c Longitud del eje mayor: 2 a Longitud del eje menor: 2 b Longitud de cada lado recto: Excentricidad:

Cuando una elipse tiene su centro en otro punto cualquiera (h, k) del plano y su eje focal es paralelo al eje x, la ecuación que la define se encuentra suponiendo que los ejes se trasladan de manera que el nuevo origen O’ coincida con el centro (h, k) de la curva.

Entonces la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes x’ y y’ es Esta ecuación puede referirse a los ejes originales usando las ecuaciones de transformación de donde Al sustituir estos valores en la expresión de la elipse se obtiene la ecuación referida a los ejes originales:

En este caso, lo único que se modifica son las coordenadas de los focos y de los vértices, Centro: C(h, k) Eje focal: paralelo al eje x Vértices: V(h + a, k), V’(h – a, k) Focos: F(h + c, k), F’(h – c, k) Cuando el eje focal es paralelo al eje y, la elipse es vertical y su ecuación, referida a los ejes x’ y y’, es: Aplicando las ecuaciones de transformación se obtiene

Sus elementos son: Centro: Eje focal: Vértices: Focos: C(h, k) paralelo al eje y V(h, k + a), V’(h, k – a) F(h, k + c), F’(h, k – c) En ambos casos los demás elementos de la curva permanecen igual: Distancia focal: 2 c Longitud del eje mayor: 2 a Longitud del eje menor: 2 b Longitud de cada lado recto: Excentricidad:

EJEMPLOS OBJETIVO 1.

1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5. La ecuación de la curva es del tipo , para la cual se necesita tener el valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c, b se determina de la expresión que las relaciona:

2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y representarla en el plano coordenado: Centro: C(0, 0) Eje focal: eje y Vértices: V(0, 5) y V’(0, – 5) Focos: F(0, 3), F’(0, – 3) Distancia focal: 2 c = 6 Longitud del eje mayor: 2 a = 10 Longitud del eje menor: 2 b = 8 Longitud de cada lado recto: Excentricidad:

GRÁFICA EJEMPLO 2

3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(– 4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente manera: Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x, y que a = 4. Por la definición de la excentricidad: por lo tanto, , y c = 3. Entonces La ecuación es

4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la fórmula Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (4, 3): Para (6, 2): Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a y b. Para resolverlo se puede despejar b 2 de las dos ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a 2:

Cont…. ejemplo 4. De (1): De (2):

Cont…. ejemplo 4. Igualando (3) y (4): Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4): La ecuación de la elipse es: Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.

Cont…. ejemplo 4. Los elementos de la elipse son: Centro: C(0, 0) Eje focal: Eje x Vértices: V( Focos: F( Distancia focal: Longitud del eje mayor: Longitud del eje menor: Longitud de cada lado recto: Excentricidad: , 0) y V’( , 0), F’( , 0)

Cont…. ejemplo 4. GRÁFICA

5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(– 2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F’(– 1, 4), encontrar su ecuación, elementos y gráfica. Como los vértices y los focos tienen la misma ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es: El centro de la elipse está en el punto medio de los vértices (y de los focos) por lo tanto sus coordenadas son

Cont…. . ejemplo 5 • La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que: • Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos: • Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b:

Para x=0 (0, 6. 3) (0, – 1. 7) y 1 = 6. 3 y 2 = – 1. 7 Para (4, 6. 3) x=4 y 1 = 6. 3 y 2 = – 1. 7 (4, – 1. 7) Para x=2 (2, 6. 65) (2, 1. 35) y 1 = 6. 65 y 2 = 1. 35

Cont…ejemplo 5. GRÁFICA

6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (– 3, 7) y (– 3, – 1) y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus elementos y su gráfica Como los vértices tienen la misma abscisa la elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le corresponde es: El centro es el punto medio del eje mayor Su abscisa es la misma de los vértices y su ordenada es

Cont…. . ejemplo 6. La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices: Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene: y la longitud de su eje menor es 2 b = 4 La ecuación de esta elipse es: Para determinar las coordenadas de los focos se calcula el valor de c a partir de la expresión:

Cont…. ejemplo 6. • Por lo tanto, los focos son los puntos: • su excentricidad es:

Cont…ejemplo 6. GRÁFICA

7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6), Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es: Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2): Hay que determinar a 2 y b 2.

Cont…. ejemplo 7. Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación: Para obtener una ecuación con una sola incógnita, se hace la sustitución

Cont…ejemplo 7. Para determinar su gráfica se localizan los vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje mayor mide 2 a = 2(4) = 8 y su eje menor, de manera que los puntos de intersección de la elipse con su eje menor son Cada uno de sus lados rectos mide: Otros puntos de la elipse, con valores aproximados de la ordenada, son:

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica. • Definición. La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante menor que la distancia entre los focos.

Se llama eje focal de la hipérbola a la recta de longitud 2 c que pasa por los focos F y F’ y que corta a la curva en dos puntos V y V’ llamados vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices se llama eje transverso. El punto medio del eje transverso es el centro de la hipérbola y se denota como C ver figura.

También se definen el eje normal, que es la recta perpendicular al eje transverso en C y el eje conjugado, que es un segmento del eje normal que tiene a C como punto medio (más adelante se precisa la localización de los puntos A y A'). La hipérbola tiene dos lados rectos que son las rectas perpendiculares al eje focal que pasan por los focos y unen dos puntos de la curva. La hipérbola es una curva simétrica con respecto a sus ejes y tiene dos asíntotas que se cortan en el centro de la hipérbola.

Para determinar la ecuación del lugar geométrico que define a la hipérbola, en el caso en que la curva tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x, como los focos se encuentran sobre el eje de las abscisas a c unidades a la derecha y a la izquierda del centro, sus coordenadas son , donde c es una constante positiva. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la hipérbola, por la definición se debe satisfacer la condición: Esta expresión es equivalente a

Al sustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento, en ambas expresiones, se tiene: Simplificando la expresión (1):

Como puede remplazarse por un número positivo, b 2, que al sustituirse en la última expresión deja:

Y dividiendo por Se puede comprobar que a partir de la expresión (2) y siguiendo el procedimiento anterior la ecuación que se obtiene es la misma: En el caso de la hipérbola, las constantes a, b y c están ligadas por la relación: por lo que

Del análisis del lugar geométrico que define la ecuación se obtiene: 1. Es una curva simétrica con respecto a los ejes coordenados y al origen. 2. En el intervalo no existen valores reales para y. 3. La longitud de cada lado recto es 4. La excentricidad, , es mayor que la unidad ya que c > a

La hipérbola tiene dos asíntotas. Para el caso que se está presentando, si se despeja a y de la ecuación

Si x aumenta indefinidamente, la curva se prolonga hacia el infinito a partir del vértice y el cociente tiende a cero, por lo que el radicando tiende al valor de 1 y la curva se acerca cada vez más a las rectas: que son las ecuaciones de las dos asíntotas de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola Centro C(0, 0) Eje focal El eje x Vértices V(a, 0) y V’(–a, 0) Focos F(c, 0), F’(–c, 0) Distancia focal 2 c Longitud del eje transverso 2ª Longitud del eje conjugado* 2 b Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas =

Cuando el eje focal coincide con el eje y la hipérbola es vertical, las coordenadas de los focos son F(0, c), F’(0, –c), las de los vértices: V(0, a) y V’(0, –a), y su ecuación:

Sus características y elementos son: Centro C(0, 0) Eje focal el eje y Vértices V( ) y V’(0, –a) Focos F(0, c), F’(0, –c) Distancia focal 2 c Longitud del eje transverso 2ª Longitud del eje conjugado* 2 b Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas

TIPOS DE HIPÉRBOLAS Dependiendo de la relación entre los ejes transverso y conjugado, se definen dos tipos particulares de hipérbolas: a. Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado tienen la misma longitud, es decir a = b, y su ecuación se reduce a

Las asíntotas de esta curva: reducen su expresión a: Como estas rectas son perpendiculares entre sí, la curva también recibe el nombre de hipérbola rectangular.

b) Se llaman hipérbolas conjugadas a dos hipérbolas en las que el eje transverso de una es igual al eje conjugado de la otra, por lo que también se dice que cada hipérbola es conjugada de la otra. Si la ecuación de una hipérbola es: la ecuación de su hipérbola conjugada es: Dos hipérbolas conjugadas tienen un centro común, dos asíntotas comunes y todos sus focos equidistan del centro.

La ecuación de una hipérbola cuyo centro no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, puede obtenerse mediante traslación de los ejes cartesianos de manera que el origen del sistema coordenado coincida con el centro de la curva. Si las coordenadas del centro de la hipérbola son (h, k) y su eje transverso es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola con respecto a los nuevos ejes coordenados x’ y y’ es

dado que la traslación de ejes es tal que Al sustituir en la ecuación se obtiene:

Características de la Hipérbola Centro C(h, k) Eje focal paralelo al eje x Vértices V(h + a, k) y V’(h – a, k) Focos F(h + c, k), F’(h – c, k) Distancia focal 2 c Longitud del eje transverso 2ª Longitud del eje conjugado 2 b Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas

EJEMPLOS OBJETIVO 2.

1) Para encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(3, 0) y V’(– 3, 0) y sus focos F(5, 0), F’(– 5, 0) se puede proceder como sigue. Por las coordenadas de los vértices y los focos se sabe que la hipérbola tiene su centro en el origen y su eje focal está sobre el eje x, por lo tanto, su ecuación es de la forma La distancia de los vértices al centro es de 3 unidades, a = 3, y la distancia de los focos al centro es de 5 unidades, c = 5, por lo que

b 2 = c 2 – a 2 b 2 = (5)2 – (3)2 = 25 – 9 = 16 b = 4 • La ecuación de la hipérbola es:

Características de la hipérbola Distancia focal 2 c = 10 Longitud del eje transverso 2 a = 6 Longitud del eje conjugado 2 b = 8 Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas

HIPÉRBOLA EJEMPLO 1

2) Si los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0, 3) y (0, – 3) y la longitud de cada lado recto es 6, entonces de las coordenadas dadas (que corresponden a los puntos A y A') se sabe que la hipérbola tiene su centro en el origen, que su eje focal está sobre el eje x, y que su semieje conjugado, b, es igual a 3. Para determinar la ecuación se debe conocer el valor de a, el semieje transverso, que puede encontrarse con el dato de la longitud del lado recto ya que

Entonces la ecuación de la hipérbola es: Su excentricidad es:

3) Para una hipérbola con centro en el origen y eje conjugado sobre el eje x, su ecuación es del tipo Si la longitud de cada lado recto es y pasa por el punto (-1, 2), se puede encontrar su ecuación de la siguiente manera: El punto (-1, 2) pertenece a la curva, por lo tanto satisface su ecuación: Por otra parte, Al sustituir la expresión para b 2 en la ecuación de la hipérbola:

y resolviendo esta ecuación se obtiene: El valor negativo de a se descarta dado que a es una longitud. Entonces a = 1 y: Con estos valores la ecuación de la hipérbola es:

FIGURA EJEMPLO 3

4) Para la hipérbola su hipérbola conjugada es Para que es horizontal, a 2 = 9, b 2 = 16, y sus asíntotas son Para que es vertical, y sus asíntotas son que son las mismas asíntotas de la primera hipérbola.

Continuación ejemplo 4 El semieje focal tiene la misma longitud en ambas hipérbolas: Por lo tanto, los focos de la hipérbola son F(5, 0) y F’(– 5, 0) y los de la hipérbola conjugada son F(0, 5) y F’(0, – 5)

FIGURA EJEMPLO 4.

5) Para obtener la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en (– 4, 1) un vértice en (2, 1) y su semieje conjugado es igual a 4, como el centro y el vértice tienen la misma ordenada, la hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje x, y la ecuación será Su semieje conjugado es b = 4, y la distancia del centro al vértice es De modo que su ecuación es

6) Los demás elementos de la hipérbola del ejemplo anterior se pueden obtener a partir de que h = – 4; k = 1; a = 6, b = 4; Vértices V(2, 1), Focos F(– 4 + , 1), Distancia focal Longitud del eje transverso 12 Longitud del eje conjugado 8 Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas V’(– 10, 1) F’(– 4 – , 1)

7) Si una hipérbola tiene excentricidad de y sus vértices son los puntos (2, 1) y (2, – 3), como los vértices tienen la misma abscisa, la hipérbola tiene su eje transverso paralelo al eje y, y su centro está en el punto medio de este segmento: C(2, – 1). La longitud del semieje transverso es: Como entonces c = 3. Con estos valores se puede calcular La ecuación de la hipérbola es las coordenadas de los focos son F(2, 2) y F’(2, – 4) y la longitud del lado recto

Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse y de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola. • De la forma canónica de la ecuación de una elipse o de una hipérbola es posible obtener la forma general desarrollando las operaciones indicadas por los cocientes y los binomios al cuadrado (si la curva tiene su centro fuera del origen), para después semejantes e igualar a cero la ecuación. reducir términos

En el caso de una elipse en la que el eje mayor sea horizontal: Comparando esta ecuación con la forma general de una ecuación de segundo grado, en que no aparezca el término en xy:

Comparando esta ecuación con la forma general de una ecuación de segundo grado, en que no aparezca el término en xy: se obtiene que: Un desarrollo similar para la elipse con eje mayor vertical lleva a que: Así, la ecuación cuadrática de la forma , con A ≠ C, pero con el mismo signo, corresponde a una elipse. Si la elipse es horizontal y si , es vertical.

Una ecuación de segundo grado con A ≠ C pero del mismo signo representa, en general, a una elipse, pero también puede ocurrir que sea sólo un punto, o incluso que no represente un lugar geométrico real. Esto dependerá del valor de la expresión como se indica: a) Si , la ecuación representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados. b) Si c) Si geométrico real. , representa un punto , no representa ningún lugar

y, como cada uno de los dos términos del primer miembro es positivo, se tiene una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como Al igualar cada uno de los factores a cero se obtienen dos rectas que se cortan. En ocasiones a este par de rectas se les llama hipérbola degenerada.

En ocasiones, la ecuación con y de signos diferentes, no representa a una hipérbola sino a un par de rectas que se cortan. Si en esta ecuación, cuando A > 0 y C < 0, se hace , entonces será positivo. Al completar los cuadrados perfectos en Si el segundo miembro de esta ecuación es positivo o negativo, la ecuación representa una hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados; pero si el segundo miembro es igual a cero, la expresión tiene la forma

Como se sabe, tanto para la circunferencia como para la parábola, se requieren tres condiciones para determinar su ecuación, porque cada una tiene tres parámetros independientes que deben conocerse. En el caso de la elipse, de cualquiera de sus ecuaciones: se observa que son cuatro los parámetros que la definen: h, k, a y b. Por tanto, para determinar la ecuación de una elipse se necesitan cuatro condiciones, por ejemplo cuatro puntos de la curva. De la misma manera, para el caso de la hipérbola se necesitan también cuatro condiciones para determinar su ecuación puesto que, igualmente, en cualquiera de sus ecuaciones aparecen cuatro parámetros.

EJEMPLOS OBJETIVO 3.

1) Para la elipse donde A = 1; C = 4; D = 2; E = – 12; F = 6 encontrar sus elementos. • Como A y C son diferentes pero del mismo signo y A < C, la elipse es horizontal tiene, es decir, su eje mayor paralelo al eje x. • Para determinar sus elementos se puede obtener la ecuación en la forma canónica, para lo cual se completan los trinomios y se iguala a 1 la ecuación.

Continuación ejemplo 1 De aquí se sabe que: a) Su centro está en b) Como a 2 = 4, a = 2, y los vértices son

Continuación ejemplo 1 c) De y los focos están en d) La longitud del eje mayor es 2 a = 4; la longitud del eje menor es 2 b = 2; y la longitud de cada lado recto es e) La excentricidad es

2) Dada la ecuación de la elipse , se pueden determinar todos sus elementos sin pasar por la forma canónica. Para obtener las coordenadas del centro, los vértices, los focos, las longitudes de sus ejes y de sus lados rectos, y la excentricidad, se deben conocer los valores de h, k, a, b y c, a partir de los de A, C, D, E y F. De la ecuación: Como A > C, la elipse tiene su eje mayor vertical por lo que:

Continuación ejemplo 2 ; Con estos valores se determinan: a) Centro: (h, k) = (0, 1) b) Vértices: (h, k ± a) → V(0, 1 + 3) = (0, 4) y V’(0, 1 – 3) = (0, – 2) c) Focos: (h, k ± c) → d) Eje mayor: 2 a = 6 e) Eje menor: 2 b = 4 f) Lado recto (cada uno): g) Excentricidad: y

3) La ecuación no representa una elipse puesto que: Si bien A = 4, C = 1, 4 ≠ 1 y ambos son positivos, como D = – 4, E = 3, , entonces Este resultado indica que la ecuación no representa un lugar geométrico real.

+ 4) El lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 1) y (-5, 1) sea igual a 10 es una elipse, como se muestra a continuación: Distancia de P a (3, 1) = Distancia de P a (-5, 1) = La suma de las distancias es igual a 10: + = 10 Para simplificar esta ecuación, se puede pasar un radical al segundo miembro, elevar al cuadrado toda la ecuación, desarrollar los binomios cuadrados y reducir términos semejantes:

Continuación ejemplo 4 Se puede dividir por cuatro toda la ecuación, elevar nuevamente al cuadrado para eliminar el radical, volver a desarrollar los binomios cuadrados y reducir términos semejantes:

Continuación ejemplo 4 Ésta es la ecuación del lugar geométrico. Por las características de A y de C parece ser una elipse con eje mayor paralelo al eje x (horizontal). Para comprobarlo se evalúa como A = 9, C = 25, D = 18, E = – 50, F = – 191: Por lo tanto el lugar geométrico es una elipse.

Continuación ejemplo 4 Siguiendo un procedimiento similar al que se siguió en el caso de la elipse, para la ecuación de una hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x: al desarrollar cuadrados, eliminar denominadores e igualar a cero se obtiene:

Continuación ejemplo 4 Al comparar esta ecuación con la forma general de una ecuación de segundo grado, sin el término en xy: se obtiene que: Para una hipérbola vertical con centro en (h, k), se obtiene que: En general, si los coeficientes de A y C difieren en signo, una ecuación de segundo grado, sin término en xy, representará una hipérbola cuyos ejes son paralelos a los coordenados. Si A es positivo, se tratará de una hipérbola horizontal, si A es negativo será una hipérbola vertical.

5) En la hipérbola como el término positivo es el de x 2, la hipérbola es horizontal (su eje focal es paralelo al eje x). Determinar sus elementos Para determinar sus elementos se pueden completar los trinomios cuadrados e igualar a 1 la ecuación: Para igualar a 1 se divide entre 20 la ecuación: De esta ecuación se obtiene que:

Continuación ejemplo 5 Centro C(2, – 1) Eje focal Paralelo al eje x Vértices Focos F(5, – 1) y F’(– 1, – 1) Distancia focal 6 Longitud del eje transverso Longitud del eje conjugado Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas 4

6) En la hipérbola el coeficiente de y 2 es positivo, por lo tanto la hipérbola es vertical y la relación entre los coeficientes de la ecuación en la forma canónica y la forma general es: Longitud del eje transverso: longitud del eje conjugado: 2 b = 4, y: Para las coordenadas del centro: D = – 6 = 2 a 2 h ; E = – 24 = – 2 b 2 k; El centro es Los vértices son: V(– 1, 3 + ), V’(– 1, 3 – ) Los focos son: F(– 1, 3 + ), y F’(– 1, 3 – )

7) ¿En la ecuación , se representa una hipérbola? Entonces A´= 4 por lo que la ecuación representa a dos rectas que se cruzan.

8) La ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos (– 6, 4), (– 8, 1), (2, – 4), y (8, – 3), por la ubicación de los puntos en el plano, corresponde a una en la que el eje focal es paralelo al eje x.

Continuación ejemplo 8. Cada uno de los puntos por los que pasa la curva satisface su ecuación. Entonces, en la ecuación se sustituyen los puntos: • (– 6, 8): • (– 8, 1): • (2, – 4): • (8, – 3):

Continuación ejemplo 8. y se obtiene entonces un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que se puede resolver con algún paquete de cómputo. La solución es: C = 4, D = – 4, E = – 8, y F = – 92 por lo que la ecuación de la elipse es: y en la forma canónica: