LA DISTRIBUCIN NORMAL Teora y ejercicios Una curva

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Teoría y ejercicios

Una curva como límite Este tipo de histograma se repite en muchas situaciones, por eso la curva a la que tiende, si reducimos la amplitud de los intervalos se llama curva normal.

La función de densidad es la línea a la que se aproxima el perfil histograma.

Función de densidad asociada a una variable aleatoria continua

La función de densidad asociada a la curva normal La función de densidad de la curva normal fue descubierta por Carl F. Gauss (1777 -1855), al observar los errores que se producían al medir repetidamente una cierta magnitud. Son numerosos los fenómenos que siguen una distribución normal, los caracteres morfológicos de individuos de una misma especie, como el peso, la altura, el perímetro, caracteres sicológicos, como el cociente intelectual, caracteres fisiológicos como el efecto de una dosis de fármaco, etc. Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ si su función de densidad es, para cada x ∈ R

Características de una N(μ, σ) - El dominio es todo R - Es simétrica respecto de x =μ - El eje X es una asíntota horizontal - Es creciente de (-∞, μ) - Es decreciente de (μ , ∞) - Tiene un máximo en x =μ y= - Tiene dos puntos de inflexión en x=μ+σ y en x =μ- σ

Variación de la curva modificando los parámetros Media constante En esta imagen se ve que al aumentar la desviación típica también aumenta la dispersión de valores. Desviación típica constante La forma de la curva se mantiene pero trasladada.

Características de una N(0, 1) - El dominio es todo R - Es simétrica respecto de x =0 (Eje Y) - El eje X es una asíntota horizontal - Es creciente de (-∞, 0) - Es decreciente de (0 , ∞) - Tiene un máximo en x =μ y= - Tiene dos puntos de inflexión en x=1 y en x = -1

Probabilidad y áreas bajo la curva

Tabla de la distribución N(0, 1) Por costumbre, a la variable aleatoria N(0, 1) se le llama Z. La probabilidad de que la variable Z tome un valor ≤ z 0 es el área señalada en gris en la figura y se puede encontrar en la tabla que en vuestro libro está en la pág 482. En ella en encontramos las probabilidades para valores positivos de la variable de 0 a 3, 69 A partir de ese valor la probabilidad valdría 1 : P(Z ≤ 3, 7)=1

Uso de la tabla de la N(0, 1) Usando la tabla, la simetría de la curva y que el área total bajo la curva es 1, podemos calcular cualquier probabilidad que nos pidan. Veamos distintos casos Ejercicio: Dada una variable Z que se distribuye según una N(0, 1) halla la probabilidad de que - P(Z ≤ 0, 78)=0, 7823 - P(Z ≤ 0, 78) - P(Z ≤ 2, 8)=0, 9974 - P(Z ≤ 2, 8) - P(Z > 2, 8 )=1 -0, 9974=0, 0026 - P(Z > 2, 8 ) - P( Z >0, 78)=0, 2177 - P( Z >0, 78) - P( Z ≤ 1, 52)=0, 9357 - P( Z ≤ 1, 52) - P( Z > 0)=0, 5 - P( Z > 0) - P( Z > 0, 34)= - P( Z > 0, 34) 1 -P(Z≤ 0, 34)=1 -0, 6331=0, 3669

Uso de la tabla de la N(0, 1) Valores negativos de la variable Ejercicio: Dada una variable Z que se distribuye según una N(0, 1), halla la probabilidad de que : • P(Z ≤ -0, 78)= P (Z ≥ 0, 78) = 1 -P(Z ≤ 0, 78) • P(Z ≤ -2, 8)= P(Z ≥ 2, 8) = 1 – P (Z ≤ 2, 8) • P(Z > -2, 8 )= P(Z < 2, 8) • P( Z > -1, 52) = P(Z <1, 52) • P( Z > -0, 34)= P(Z <0, 34)

Uso de la tabla N(0, 1) Cálculo de la probabilidad de que la variable pertenezca a un intervalo [a , b] P(a< Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a) Pág 485

Estandarización de una N(μ, σ) Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución N(μ, σ), entonces la variable sigue una distribución N(0, 1) Ejemplo: Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos de 2º de Bachillerato en un examen de matemáticas siguen una distribución de media 6, 8 y desviación típica 1, 5 a) Probabilidad de obtener una calificación superior a 8, 5 b) Porcentaje de alumnos cuya nota está entre 6 y 7

Aproximación de la binomial por la normal El comportamiento de una distribución binomial B(n, p) es aproximadamente igual al de una distribución normal N(np, √npq) donde q=1 -p cuando ocurre que: - n≥ 30 - n·q ≥ 5 y n ·p ≥ 5 (Al menos 30 intentos y el nº de intentos multiplicado por p y q debe de ser ≥ 5) Pero al aproximar la binomial por la normal hay que hacer un ajuste, llamado corrección de Yates. P(X=k)=P(k-0, 5≤Y≤k+0, 5) siendo Y la variable aleatoria N(np, √npq) Libro pág 491

Ejemplos de aproximación Ejemplo: Si lanzamos una moneda al aire 20 veces. Calcula la probabilidad de obtener a) menos de 9 caras b) Exactamente 8 caras n = 20 p=0, 5 =q n·p=10 >5 por lo tanto aproximo por una B(20, √(20· 0, 5) es decir B(20, 2, 24) a)P(X<9)=P(Y<9 -0, 5) =P(Y<8, 5)(Como no puedo coger el valor 9 elimino su entorno)

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