La Distribucin de Poisson Walter Lpez Moreno MBA

La Distribución de Poisson Walter López Moreno, MBA, c. DBA Módulo Instruccional Preparado para el Centro de Competencias de la Comunicación Universidad de Puerto Rico en Humacao ©Todos los derechos son reservados 2006 -07

Tabla de contenido Introducción Objetivos de la Presentación Instrucciones de cómo usar la presentación Dato Histórico Utilidad Propiedades de un Proceso de Poisson La Distribución de Poisson La Función Ejemplos La Tabla de la Probabilidad de Poisson Ejemplos Ejercicio de Redacción La media y la Desviación Estandar Resumen Ejercicios de Prueba Video de Repaso de Conceptos Glosario de Términos Referencias

Introducción En este módulo se describe el uso de la distribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta. Se recomienda haber estudiado primero los módulos de las Reglas de Probabilidad, el de Distribución Normal y luego el de Distribución Binomial. Este módulo va dirigido a todos los estudiantes de Administración de Empresas en sus distintas concentraciones.

Objetivo General del Módulo Esperamos que cuando termines esta presentación puedas determinar cómo y cuándo se debe utilizar la Distribución de Poisson para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional.

Objetivos Específicos Además esperamos que puedas: 1. Identificar las propiedades de una distribución poisson. 2. Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades. 3. Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándard utilizando las varibles de la Distribución de Poisson.

Instrucciones de cómo usar la presentación La presentación inicia con las características que definen un proceso de Poisson. Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabajas la presentación. Siempre que se presente la siguiente figura: puedes presionarla para navegar adecuadamente a través de toda la presentación.

Instrucciones de cómo usar la presentación Durante la lectura del módulo tendrás la oportunidad de enlazar el glosario de términos y regresar al lugar de origen presionando: También encontrarás comentarios de apoyo y retroalimentación en recuadros como el siguiente: Notas de apoyo y retroalimentación Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.

Dato Histórico La Distribución de Poisson se llama así en honor a su creador el francés Simeón Dennis Poisson (1781 -1840), Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.

Utilidad w La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. w Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. w Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. w Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.

Ejemplos de la Utilidad w La llegada de un cliente al negocio durante una hora. w Las llamadas telefónicas que se reciben en un día. w Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. w Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado. La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

Propiedades de un Proceso De Poisson 1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamano de muestra n es constante. 2. El evento debe considerarse un suceso raro. 3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución de Poisson.

La Distribución de Poisson La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de Distribución de Poisson. Se tiene que cumplir que: p < 0. 10 p * n < 10

La Función P(x=k) A continuación veremos la función de Probabilidad de la Distribución de Poisson. Donde: P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k. λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc. ). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2. 711828 K es el número de éxitos por unidad

Ejemplo 1 de la función F(x=k) La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0. 02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0. 1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0. 02 = 6), entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson: Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0. 0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8. 9%.

Ejemplo 2 de la función F(x=k) La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0. 012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0. 1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson: El resultado es P (x = 5) = 0. 04602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4. 6%.

Tablas de Probabilidad de Poisson Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto usted debe saber los valores X y λ. X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K. λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc. ). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n. Del ejemplo 1: λ = 0. 02 * 300 = 6 Del ejemplo 2: λ = 0. 012 * 800 = 9. 6

Tabla de Probabilidad de Poisson Obtenga mas información de cómo asignar probabilidades utilizando las Tablas. Cuando llegue al enlance lea las páginas 4 a la 6. Estudie los ejemplos y luego practique con los ejercicios 2. 1 y 2. 2

Ejemplo 3 uso de tablas Busque en los tres enlaces las tablas de probabilidad de Poisson Resuelva el ejercicio 1 y el 2 por medio de las tablas. Para el Ejemplo 1: accidentes λ=6 yk=3 Para el Ejemplo 2: defectos λ = 9. 6 y k=5

Ejemplo 4 uso de calculadora virtual Compruebe el cómputo utilizando una calculadora de probabilidad de Poisson Cuando llegue al enlace, entre los valores respectivos de cada ejercicio: K en “poisson random variable” λ en “average rate of success” Repace los ejemplos adicionales

Ejercicio de Redacción con Experiencia Interactiva Observe el cambio de la distribución variando el parametro λ Presente una descripción escrita de las observaciones que obtiene al variar el valor de lambda. ¿Qué características tiene una distribución de poisson y cuándo se aplica? Cuando llegue al enlance precione el “+” y el “ - ”

La Media μ y la Varianza σ2

En Resumen En este módulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante el uso de la función de Poisson, las tablas de distribución y la calculadora del enlace. Además aprendimos que: 1. La Distribución de Poisson se forma de una serie de experimentos de Bernoulli. 2. La media μ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual a 3. La varianza (σ2 ) en la distribución de Poisson tambien es igual a λ. 4. La desviacion estándar es la raiz de λ.

Ejercicios de Prueba Los siguientes ejercicios de prueba fueron resueltos utilizando la Distribución Binomial en el módulo con ese mismo nombre. Refiérase a los ejercicios en ambos módulos y compare la diferencia de cada pregunta. ¿Puede responder por qué se resuelven esta vez utilizando la Distribución de Poisson? Demuestre su razonamiento.

Ejercicio de Prueba #1 Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja esta descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que. a) las 4 estén descompuestas. b) de 1 a 3 estén descompuestas Para resolver la pregunta “b” repace el módulo de las reglas de probabilidad. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0. 1494 + 0. 2240

Ejercicio de Prueba #2 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0. 04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos. La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

Ejercicio de Prueba #3 Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuosos, c) al menos dos salgan defectuosos d)mas de tres estén con defectos Para la pregunta “d” puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

Ejercicio de Prueba #4 La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0. 95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio de Prueba #5 Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción

Repaso de Conceptos Observe un video de repaso de la distribución de probabilidad de Poisson Cuando llegue al enlace haga clic en la columna izquierda en “Poisson” Nota: en el video el parametro λ lo sustituyen en la fórmula por μ. Como mencionamos anteriolmente λ=μ

Glosario de Términos w Aleatorio – que ocurre al azar. w Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli. w Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados. w Experimento Independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.

Glosario de Términos w Resultado Discreto – Son resultados con un número finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5 etc. ) w Suceso Raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia. w Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de muestra ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida. w Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar. w Variable Discreta – Variable que puede obtener un número finito de valores como 0, 1, 2, 3.

Referencias Anderson, Sweeney, Estadísticas para administración y economía, 8 tva edición, Thomson, México 2006 Newbold P. , Statistics for Business And Economics, Prentice Hall, 5 ta edición, New Jersey, 2003. Bluman, Allan G. Statistics, 6 ta edición, Mc Graw Hil, New York, 2007. http: //cyber. gwc. cccd. edu/faculty/jmiller/Binom_Tab. pdf http: //stattrek. com/Tables/poisson. aspx#calculator http: //www. udc. es/dep/mate/estadistica 2/documentos-pdf/dmtablas. pdf http: //karnak. upc. es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules. pdf http: //www. capdm. com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist/usage. html http: //www. uv. es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson. pdf http: //www. matematicas. net/paraiso/download. php? id=formula/fr_poisson. zip