LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE CAPITOLO 6 LA

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE CAPITOLO 6. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE E I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P ? Per una circonferenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. Ma, in generale, questa definizione non basta. La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P. DEFINIZIONE Retta tangente a una curva La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi 2 /16

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 2. IL RAPPORTO INCREMENTALE DEFINIZIONE Rapporto incrementale Dati una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] , e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c) il numero: . Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi 3 /16

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 4 /16 2. IL RAPPORTO INCREMENTALE ESEMPIO Data la funzione y = f(x) = 2 x 2 – 3 x , e fissati il punto A di ascissa 1 e un incremento h, determiniamo il rapporto incrementale. f (1 + h) = 2(1 + h)2 – 3(1 + h) = = 2(1 + 2 h + h 2) – 3 h = = 2 + 4 h + 2 h 2 – 3 h = = – 1 + h + 2 h 2 , . f (1) = – 1 , Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE Derivata di una funzione Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b], si chiama derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, e si indica con f ' (c), il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c: . La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi 5 /16

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Condizione di esistenza della derivata La derivata di f esiste in c se: - la funzione è definita in un intorno di c; - esiste il limite del rapporto incrementale per h tendente a 0; - il limite è un numero finito. Copyright © 2009 Zanichelli editore Rapporto incrementale e derivata Nel processo di limite il rapporto incrementale diventa il coefficiente angolare della retta tangente. Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi 6 /16

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 7 /16 4. CALCOLO DELLA DERIVATA ESEMPIO Calcoliamo il valore della derivata della funzione: y = x 2 – x in x = 3. Calcoliamo la funzione derivata della funzione: y = 4 x 2. . Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi .

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 8 /16 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE ESEMPIO Derivata sinistra La derivata sinistra di una funzione in un punto c è. Calcoliamo le derivate destra e sinistra della funzione: y = |x| nel punto x = 0. , DEFINIZIONE . Derivata destra La derivata destra di una funzione in un punto c è I valori non coincidono: la derivata completa non è definita in 0. . Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono in c e sono uguali. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 9 /16 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE ESEMPIO Funzione derivabile in un intervallo Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. Riprendiamo la funzione e verifichiamo la derivabilità in y = |x| [0; 2]. Dal calcolo precedente, sappiamo che esiste la derivata destra in 0; nel resto dell’intervallo la funzione è derivabile perché y = x è derivabile in R. La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2]. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 10 /16 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE Nei seguenti esercizi, data la funzione f (x), calcola i valori a fianco indicati. Esprimi l’incremento nel punto c indicato, quando x ha un incremento h. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 11 /16 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE Calcola il rapporto incrementale nel punto c, per l’incremento h indicato a fianco. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 12 /16 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE Determina il rapporto incrementale di f nel punto c indicato a fianco e per un incremento h generico. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 13 /16 7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Calcola la derivata di f nel punto c indicato a fianco, applicando la definizione di derivata. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 14 /16 7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Calcola la derivata di f in un generico punto c. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 15 /16 8. ESERCIZI: LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA Calcola la derivata destra e la derivata sinistra delle seguenti funzioni nei punti indicati. Esamina i seguenti grafici e ricava il valore delle derivate, sinistra e destra, nel punto indicato, utilizzando il significato geometrico di derivata. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 16 /16 8. ESERCIZI: LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA Esaminando i grafici e utilizzando il significato geometrico di derivata, deduci se le seguenti funzioni sono derivabili negli intervalli indicati. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 8 /16 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE ESEMPIO Derivata sinistra La derivata sinistra di una funzione in un punto c è. Calcoliamo le derivate destra e sinistra della funzione: y = |x| nel punto x = 0. , DEFINIZIONE . Derivata destra La derivata destra di una funzione in un punto c è I valori non coincidono: la derivata completa non è definita in 0. . Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono in c e sono uguali. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi PROSEGUI