La construction du concept de nombre lcole primaire

La construction du concept de nombre à l’école primaire Ce document est disponible à cette adresse : http: //dpernoux. chez-alice. fr/cons. pps A Qu’est-ce qu’un nombre ? (connaissances pour enseignants) B La construction du concept de nombre à l’école maternelle C L’introduction de notre système de numération au cycle 2 D L’introduction de nouveaux nombres au cycle 3 Ajout : Lien vers un exercice concernant les compétences dans le domaine numérique en maternelle (diaporama Powerpoint) D. Pernoux http: //dpernoux. net

A Qu’est-ce qu’un nombre ? (connaissances pour enseignants) Le concept de base est le concept de nombre entier. Ce concept a été introduit comme outil pour résoudre des problèmes ( « Tous les animaux du troupeau sont-ils toujours là ? » , par exemple) A l’école, on étudie d’abord les entiers naturels (entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, …) La notion de nombre entier n’est pas facile à définir : Ces ensembles qu’on peut mettre en correspondance terme à terme ont quelque chose d’abstrait en commun : ils ont le même nombre d’éléments. Le nombre entier permet donc d’indiquer une quantité (aspect cardinal du nombre) Sommaire

Le nombre entier a aussi un aspect ordinal : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Nombres rationnels Au cycle 3, on introduit de nouveaux nombres : = 0, 75 0 1 = 0, 5 67 56 Nombres décimaux = 3, 4 Rappel : il s’agit de connaissances pour l’enseignant Sommaire

B La construction du concept de nombres à l’école maternelle I Quelques remarques concernant le dénombrement Remarque préalable : dénombrer c’est trouver le nombre d’éléments d’une collection quel que soit le moyen utilisé pour trouver ce nombre. 1°) Les différentes manières de dénombrer a) Dénombrement par reconnaissance immédiate des petites quantités b) Dénombrement par comptage un par un : on utilise la comptine numérique Ce qui est difficile c’est de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Première remarque concernant le dénombrement par comptage : Pour réussir à dénombrer les éléments d’une collection par comptage l’enfant doit comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets. Il doit aussi, en amont : - comprendre que la nature des objets à compter n’a pas d’importance - comprendre qu’on peut compter les objets dans n’importe quel ordre. - savoir énumérer les éléments d’une collection c’est-à-dire savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois. - connaître la comptine numérique - savoir associer à chaque élément de l’ensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans l’ordre. Sommaire

Deuxième remarque concernant le dénombrement par comptage : Etant donné les difficultés posées par le dénombrement par comptage, Brissiaud préconise dans son ouvrage « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à l’école maternelle » d’autres activités à pratiquer en PS et début de MS. Dans cet ouvrage des idées fort intéressantes sont développées et des propositions d’activités concrètes pertinentes sont proposées mais, comme Charnay, je ne trouve pas souhaitable de bannir tout dénombrement par comptage en PS et en début de MS. C’est une procédure de dénombrement parmi d’autres, certes difficile, mais c’est précisément parce que c’est une procédure difficile utilisée systématiquement en dehors de l’école qu’il ne me semble pas souhaitable de s’en priver au début de la construction du concept. Ceci étant dit, les activités proposées par Brissiaud ne manquent pas d’intérêts. Sommaire

Les propositions de Brissiaud consistent en un travail sur les liens entre les nombres, les décompositions : Exemple en PS : « un » « quatre » « un » « et un » Sommaire

Troisième remarque concernant le dénombrement par comptage : On peut procéder ainsi : Si les objets sont déplaçables : « trois » « quatre » « un » « deux » Si les objets ne sont pas déplaçables : « quatre » « trois » « deux » « un » Sommaire

c) Dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc. ) qui servent de repères Remarque : On ne peut pas bien concevoir la notion de nombre si on n’est pas conscient des liens qui unissent les nombres : « deux » « et encore un » « ça fait trois » Exemples : « 3 est plus petit que 4 » ; « 3 et 1 ça fait quatre » . Sommaire

II Quelques points concernant la construction du concept de nombre qui semblent importants 1°) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour l’élève) Exemple (niveau GS) inspiré d’une proposition de Dominique Valentin Dortoir Salle de jeu Combien de bébés font encore la sieste dans le Combien de bébés ont fini leur sieste et sont dortoir ? dans la salle de jeux ? Remarque : pour consulter une fiche de préparation concernant cette activité, vous pouvez cliquer ICI (document sur le site du Pôle Départemetal Maternelle 68) Sommaire

Remarque : pour des idées de problèmes, voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et l’ouvrage de l’équipe ERMEL pour la GS : (vous pouvez cliquer sur chacune des images pour plus de précisions) Sommaire

2°) Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs représentations et qu’il faut savoir passer d’une représentation à une autre Sommaire

Ce qui sera poursuivi au cycle 2 : Et au cycle 3 : Sommaire

Remarques concernant les représentations : - Il semble souhaitable de ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts - La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (remarque : si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) 3°) Ne pas oublier que le nombre a aussi « un aspect ordinal » : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Exemple d’activité : Boîte contenant un objet « Comment faire comprendre dans quelle boîte se trouve l’objet, sans montrer cette boîte » Sommaire

Remarque : les activités permettant de faire le lien entre «aspect cardinal» et «aspect ordinal» du nombre sont intéressantes (exemple avec le calendrier : faire comprendre qu'un numéro de jour représente aussi une quantité de jours écoulés). d) Le choix des différentes contraintes (ou variables didactiques) permet de prendre en compte la diversité des élèves. Exemple (situation de référence proposée par R. Charnay) On dispose d’un nombre donné de bouteilles et de bouchons (en nombre plus important que le nombre de de bouteilles) ; l’élève doit préparer juste ce qu’il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Première variante : le nombre de bouteilles est assez important mais les bouchons sont à proximité des bouteilles (il s’agit de s’approprier la situation et de faire en sorte que la contrainte « un bouchon pour chaque bouteille » soit respectée). Deuxième variante : il y a 5 à 6 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont proches mais il faut préparer les bouchons sur un plateau avant de les mettre sur les bouteilles. Troisième variante : il y a 4 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés ; l’élève doit aller cher les bouchons avec un plateau en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). Quatrième variante : il y a jusqu’à dix bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois bouchons ; l’élève doit aller cher les bouchons en plusieurs fois puis en une seule fois. Sommaire

III Exemples d’activités « rituelles » possibles 1°) Les activités rituelles traditionnelles, des occasions pour poser des problèmes mathématiques a) La gestion des absents/présents - On dénombre les présents on doit trouver le nombre d’absents. - On compare le nombre d’absents hier et aujourd’hui - Les élèves qui arrivent accrochent leur étiquette dans l’ordre sous une file numérique. On peut ensuite poser des questions : Qui est arrivé en premier ? Qui est arrivé en deuxième ? Qui est arrivé avant Eric ? Qui est arrivé après Nadia ? - Utilisation de cartes à points Remarque préalable : Les cartes à points sont une représentation des nombres qui peut être utilisée au cycle 1 et au cycle 2 et qui est intéressante au niveau de la liaison GS/CP (en particulier pour approcher la notion de dizaine). Pour plus de précisions, voir, par exemple : http: //perso. orange. fr/jean-luc. bregeon/Page%208. htm Sommaire

Un exemple d'utilisation : Tableau des absents-présents dans une classe de MS-GS (document Jean-Luc Brégeon ; source : http: //pagesperso-orange. fr/jean-luc. bregeon/Page%208. htm) Sommaire

Ensuite, on se compte et on trouve qu’on est 23. Certains élèves peuvent alors éventuellement faire le lien entre le 2 et le nombre de cartons pleins et entre le 3 et les trois points du dernier carton. . . Sommaire

Problème : Voici le tableau des présents dans une autre classe ? Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ? Sommaire

b) L’utilisation du calendrier 17 On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusqu’à l’anniversaire de Pierre ? Sommaire

Travail sur la feuille du mois : quel jour était le 1 er du mois ? Combien y a-t-il eu de mardis le mois dernier ? Quel jour de la semaine était le 20 ? Recherche de la durée (en jours) d’un événement (vacances, absence d’un élève) sur le calendrier. c) Le goûter - Des assiettes sont disposées sur une table. Problème : mettre un gobelet en face de chacune des assiettes. Variantes de la situation : - le nombre d’assiettes est assez important mais les gobelets sont à proximité des assiettes (il s’agit de s’approprier la situation et de faire en sorte que la contrainte « un verre pour une assiette » soit respectée). - il y a 5 à 6 assiettes (à adapter au niveau) ; les gobelets sont proches mais il faut préparer les gobelets sur un plateau avant de les mettre en face des assiettes. - il y a 4 assiettes (à adapter au niveau) ; les gobelets sont éloignés ; l’élève doit aller cher les gobelets avec un panier en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). - il y a jusqu’à dix assiettes (à adapter au niveau) ; les gobelets sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois gobelets ; aller cher les gobelets en plusieurs fois puis en une seule fois. Sommaire

- 12 enfants ; des yaourts par packs de 4 dans le frigo; combien faut-il aller cher de packs de yaourts? Fatima Ahmed Sonia Paul Louise Dylan Luc Jean Seppi Ali Habib Et si on est 14 ? Sarah Sommaire

- On veut commander des galettes des rois pour un goûter. Combien doit-on commander de galettes ? (remarque : on peut faire en sorte qu’ensuite un enfant commande réellement les galettes par téléphone. . . ) d) La météo Combien y a-t-il eu de jours d’école avec du soleil durant le mois ? Sommaire

2°) Intégrer un petit moment d’activités mathématiques quotidiennes dans les rituels - Comptines de Brissiaud (travail sur les décompositions et les doubles) - « Le rituel du dé » (PS et MS) Tous les matins, un élève lance un dé et doit aller cher une quantité d’objets correspondant à la quantité indiquée par le dé. Variables : - taille des nombres représentés sur les faces du dé et types de représentations - objets à proximité ou éloignés - si les objets sont éloignés possibilité ou pas d’emporter avec soi un référent (étiquette avec constellation par exemple) - etc. - Greli-grelo Un enfant met un certain nombre de cailloux (moins de 5) dans une des mains de l‘enseignant en les comptant à haute voix. Un autre enfant fait de même dans l'autre main. L’enseignant rassemble les deux mains en les fermant et tout le monde dit : "Greli-grelo, combien j'ai d'sous dans mon sabot? " Propositions puis validation par comptage. Sommaire

- Le soir on met des objets dans une boîte. Le lendemain on doit se souvenir de ce qu’il ya dans la boîte (s’il y a beaucoup d’objets, les enfants peuvent noter ce qu’ils veulent sur un bout de papier ; la lecture d’un papier écrit par un camarade peut conduire à la nécessite d’élaborer un code commun) Sommaire

- « Jeux de doigts variés » : « Montrez-moi 4 doigts » « Montrez-moi 4 doigts avec 2 mains » « Montrez-moi 3 doigts avec 1 main, maintenant avec 2 mains » etc. . . Source des photos : http: //math. maternelle. free. fr/fiches/32 minute_math. html Page d’entrée du site : http: //math. maternelle. free. fr Sommaire

- Situation additive Combien de jetons sont cachés ? Sommaire

Autre exemple : On ajoute trois jetons. On ajoute quatre jetons. Combien y a-t-il de jetons dans la boîte ? On peut ensuite vérifier en vidant la boîte. (la réflexion précède ici la manipulation qui sert à vérifier si le résultat qu’on a trouvé est exact) Boîte opaque Sommaire

On peut utiliser le matériel proposé par Brissiaud (PS, MS et GS) PS MS-GS GS (cliquer sur les images pour plus de précisions) Sommaire

On peut utiliser les exercices du site pepit. be (exercices sous forme d’animations flash qu’on peut utiliser en ligne ou qu’on peut télécharger) : http: //pepit. be/exercices/maternelle/mathematique/compter/page. html

C L’introduction de notre système de numération au cycle 2 Le passage au cycle 2 va être caractérisé dans le domaine de la construction du concept de nombre par : - le fait qu’on va donner du sens à chacun des chiffres d’une écriture comme 24 (ce qui nécessite, bien sûr, que l’élève ait compris le sens des écritures 2 et 4) - le passage progressif du comptage au calcul (quand on calcule, on ne dispose plus d’objets ; on travaille uniquement avec des écritures symboliques). Ce qui est important ce n'est pas seulement que l'élève fasse des paquets de dix puis des paquets de cent puis … mais surtout qu'il comprenne l'intérêt de faire de tels paquets L’utilisation d’une file numérique (collective ou individuelle) puis d'un tableau de nombres aide à la compréhension de la numération L'utilisation d'un compteur est également une aide précieuse. Les activités où on est amené à comparer deux entiers permettent de travailler sur la signification des différents chiffres intervenant dans les écritures des nombres. Au début de l'apprentissage de la numération au CP, il est souhaitable de privilégier les activités de groupement ( « on met dix jetons dans une boîte » ) par rapport aux activités d'échanges ( « 1 jeton rouge vaut 10 jetons jaunes » ). Sommaire

Au moment de l’apprentissage, l’enseignant ne peut se permettre un langage approximatif (ne pas confondre les mots « chiffre » et « nombre » par exemple). Il faut faire en sorte que peu à peu l’enfant arrive à comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 mais c'est un objectif à "long" terme et il faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté. On peut utiliser un matériel de numération construit par les élèves et auquel on donne du sens en le construisant. L’utilisation systématique de couleurs pour les différents chiffres (le chiffre des unités est écrit en utilisant toujours la même couleur, le chiffre des dizaines en utilisant toujours une autre couleur, etc. ) est-il à déconseiller ? Il s’agit d’un surcodage qui risque d’amener l’élève à ne pas s’intéresser à la position des différents chiffres. Pourtant, si les couleurs utilisées sont en rapport avec le matériel utilisé (ce qui leur donne du sens) ce peut être, éventuellement, une aide provisoire pour des élèves en difficulté Enfin, et c'est peut-être le plus important, il faut être conscient qu'une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale : en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc. ). Sommaire

Remarques : a) dans le document d’application du programme du cycle 2 de 2002, on disait d'accepter de travailler avec des nombres qu'on ne sait pas encore lire. b) on peut envisager de s’inspirer des propositions de Stella Baruk ( « Comptes pour petits et grands » Tome 1 édité chez Magnard) et de Rémi Brissiaud (Livre du maître du fichier « J’apprends les maths avec Tchou CP » édité chez Retz). Pour Brissiaud, on peut consulter http: //ame. 95. free. fr/divers/Brissiaud-Copirelem-Tours. pdf et http: //www. reunion. iufm. fr/dep/mathematiques/PE 2/Cycle 2/Intro. Tchou/introtchou. html (extraits vidéo) c) on peut aussi utiliser les cartons Montessori EN NOIR Sommaire

EN VERT d) Voir quelques propositions pour évaluer un élève dans le domaine de la numération à cette adresse : http: //pernoux. pagesperso-orange. fr/evalnum. htm Sommaire

D L’introduction de nouveaux nombres au cycle 3 Quoi qu’on fasse il y a une rupture au moment de l’introduction des écritures à virgule. Certaines propriétés, certaines techniques de calcul qui étaient valables avec les entiers restent valables, d’autres ne le sont plus : Le nombre qui a l’écriture la plus longue n’est pas nécessairement le plus grand (2, 123 < 2, 45) mais ça arrive (2, 456 > 2, 3). Pour multiplier par 10, on n’ajoute pas un 0 à la fin : 1, 6 × 10 ne vaut pas 1, 60. Remarque : au cycle 2, il semble important de donner du sens à la multiplication par 10 (25× 10 c’est 25 « paquets de dix » et 25 « paquets de dix » ça s’écrit 250). Une écriture à virgule ce n’est pas « la juxtaposition de deux entiers » et, pourtant de nombreux élèves font comme si c’était le cas : 2, 17 < 2, 125 car 17 < 125 2, 95 × 2 = 4, 190 « Il n’y a pas de nombre entre 1, 16 et 1, 17 » (car il n’y a pas d’entiers entre 16 et 17) etc. Sommaire

Ce qui me semble important : Essayer de faire en sorte que l’élève établisse des liens ECRITURES FRACTIONNAIRES Pour l’élève, représente-t-il aussi un nombre où uniquement quelque chose qui permet « d’opérer sur les grandeurs » c’est-à-dire de faire des calculs du type ? L’élève établit-il un lien ? AUTRES ECRITURES A VIRGULE 8 : 4 1, 25 L’élève établit-il un lien ? L’élève voit-il qu’on peut passer de à Pour l’élève, l’écriture 1, 25 représente-t-elle un nombre ou uniquement une juxtaposition de deux entiers (1, 25 € = 1€ 25 c) ? en divisant 5 par 4 ? Sommaire

On peut introduire les fractions dans une situation où les élèves peuvent se rendre compte, par eux-mêmes, que les entiers ne suffisent plus pour répondre au problème posé , par exemple une situation de mesurage de longueurs à l’aide d’une unité u puis introduire les fractions particulières que sont les fractions décimales puis introduire les écritures à virgule à partir de ces fractions décimales. Ce qui semble important, quelle que soit la manière choisie pour introduire les fractions et les écritures à virgule, c’est de ne pas oublier qu’on veut arriver à faire comprendre que : Sommaire

On pourra consulter : http: //www. reunion. iufm. fr/dep/mathematiques/PE 2/Resources/Fract. PDF. zip http: //www. reunion. iufm. fr/dep/mathematiques/PE 2/Cycle 3/Frac. CM 1 Ermel/presentation. html (vidéos en ligne) Sommaire