LA CLASE VIRTUAL LOS NUMEROS COMBINATORIOS NUMEROS COMBINATORIOS

LA CLASE VIRTUAL LOS NUMEROS COMBINATORIOS

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Se recuerda que el factorial del número natural n es el producto de los números naturales de 1 a n, esto es, n!=1 2 3 … n y que por convenio 0!=1

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Se llama permutación de n elementos a 1, a 2, a 3, …, an a cualquier ordenación de los mismos. Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras pqr son pqr, qrp, rpq, qpr, rqp, prq. 4 Teorema: El número de permutaciones de n elementos vale n! 4 En el ejemplo 3!=6

NUMEROS COMBINATORIOS 4 En lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez son pq, pr, qp, rq 4 Teorema: El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez vale n!/(n-k)!.

NUMEROS COMBINATORIOS 4 En nuestro ejemplo 3!/(3 -2)!=6/1=6 4 Nota: Si en las permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admitiera repeticiones el número de tales permutaciones sería nk 4 En nuestro ejemplo 32=9: pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Se llama combinación a una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué elementos la forman 4 Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras pqr, precisamente pqr. Las combinaciones de pqr tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Teorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la expresión 4 El primer miembro de la expresión es la notación del número combinatorio n sobre k definido por el segundo miembro.

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Nota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Ejemplo: El número de combinaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez es y si se admite repeticiones de letras

NUMEROS COMBINATORIOS 4 El número combinatorio se puede calcular también de la forma

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Se justifica lo anterior mediante

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Se tienen las siguientes propiedades:

NUMEROS COMBINATORIOS 4 La última propiedad permite obtener los números combinatorios de forma recursiva, dando origen al llamado triángulo de Pascal o de Tartaglia:

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Los números combinatorios aparecen como coeficientes del binomio de Newton:

NUMEROS COMBINATORIOS 4 Utilizando la anterior expresión se puede probar inmediatamente:

Permutaciones sin repetición Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que: -En cada grupo entran todos los n elementos. - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calculará: Pn=n. (n-1). (n-2). . . 3. 2. 1 a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es: n!=n. (n-1). (n-2). . . 3. 2. 1 Si n = 1, se define 1!=1 Si n = 0 se define 0!=1

EJEMPLOS - ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos Sol: P 8 = en una fila de butacas de un cine? - ¿ De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta? Sol: P 5 = - Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones? Sol: P 6 =

Permutaciones con repetición. Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+. . k = n); todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ). Notaremos a este tipo de permutación como: y se calcularán:

EJEMPLOS: - ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en una estantería 5 libros de lomo blanco, 3 de lomo azul y 6 de lomo rojo? Sol: - ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin sentido se pueden formas con las letras de AMASAS ? Sol: - En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si lo único reseñable de cada corredor es su nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles podrían terminar la carrera? Sol:

Combinaciones Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que: - En cada grupo entren m elementos distintos - Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn, my se calcula: