LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARBOLA UNIDAD 13 Ejercicios

LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA UNIDAD 13 Ejercicios Resueltos

OBJETIVOS OBJETIVO

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

1. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2, 4) y B(6, -2) C(h, k) = punto medio de Radio = distancia de C a A

Cont…ejercicio resuelto 1 Ecuación de la circunferencia:

2. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo centro está situado en la recta Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k): C(h, k) es un punto de la recta por lo tanto satisface su ecuación:

Cont…. . ejercicio resuelto 2. Se resuelven las ecuaciones (1) y (2) simultáneas:

Cont…. . ejercicio resuelto 2. La ecuación de la circunferencia es o, en la forma general,

3. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: �El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. �Ver la siguiente figura

Cont…. ejercicio resuelto 3 �Ecuación de la bisectriz �Ecuación de la (1) del ángulo que forman las rectas R 1 y R 2 : bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R 1 y R 3:

Cont…. . ejercicio resuelto 3 � Con estas dos bisectrices se encuentra el punto = donde se intersectan las tres, que es el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k): � De la bisectriz (2): � En la bisectriz (1): � El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R 3: �La ecuación de la circunferencia es: Índice

Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.

Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una circunferencia real, un punto o ningún lugar geométrico real. 1. Como r 2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real. 2. Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(– 1, 1) y radio 2.

3. Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4). Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3): De (4):

Cont…. ejercicio resuelto 3 De (5): Sustituyendo h: El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2) En (1): Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es: Índice

Objetivo 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la parábola tiene: Vértice en (0, 0) Foco en Directriz Eje de la parábola y = 0 Lado recto

2. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta eje horizontal y que pasa por los puntos (3, – 5) y Eje horizontal → El punto (3, – 5) pertenece a la parábola → El punto pertenece a la parábola → V(h, k) pertenece a la recta →

Cont…. ejercicio resuelto 2 Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se debe resolver el sistema de ecuaciones: en el que dos de las ecuaciones son de segundo grado. Al restar una de otra se pueden eliminar los términos en k 2 y en ph, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:

Cont……. . ejercicio resuelto 2. En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del sistema original se puede despejar h en función de k:

Cont…. ejercicio resuelto 2. Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en la segunda) queda:

Cont…. ejercicio resueltos 2. Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas: a) k = – 1, h = 1, 4 p = 8; Ecuación: b) L Ecuación:

3. Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8 m del centro del arco parabólico que tiene 18 m de altura y 24 m de base. Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el origen el punto medio de la base, como la base mide 24 m los dos puntos en que el arco cruza al eje x son ( – 12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto situado a 8 m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)

Cont…. ejercicio resuelto 3. La ecuación es de la forma: La curva pasa por (12, 0), de modo que Ecuación de la parábola: Altura del arco a 8 m del centro: Altura: 10 m Índice

Objetivo 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.

1. Determina el lugar geométrico que representa la ecuación �En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma canónica es: de modo que el vértice es: Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y. Índice