La circonferenza una linea curva e misurarla per

La circonferenza è una linea curva e misurarla, per esempio, con il righello è un procedimento impossibile. Come fare allora? Vediamo di trovare un procedimento adeguato. 1. Procuriamoci un oggetto il cui contorno sia una circonferenza, per esempio una lattina. 2. Segniamo sulla lattina un punto P ben preciso e, a partire da P, avvolgiamola con del nastro fino a ritornare ancora a P. 3. Facciamo un segno sul nastro in corrispondenza di P e distendiamolo. 4. Otteniamo il segmento PA, che si chiama circonferenza rettificata. 5. Basterà quindi con un righello misurare PA per avere la lunghezza della circonferenza. Il mio righello P P A

Procuriamoci qualche oggetto i cui contorni siano delle circonferenze diverse e procediamo a misurare la circonferenza e il diametro. Calcoliamo in rapporto fra la circonferenza e il diametro : C/d, noteremo che questo rapporto rimane costante, è sempre 3, … d 1 C 1 1 diametro C 2 2 3 1 d 2 C 3 2 3 1 d 1 2 circonferenza rettificata in conclusione: Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante. 3

Indicando questa costante con π, potremo scrivere: La lunghezza della circonferenza si ottiene moltiplicando la lunghezza del diametro per = 3, 14 in formule avremo:

Disegnamo una circonferenza e in essa 3 angoli al centro rispettivamente di 45°, 90° e 180° e, in corrispondenza, consideriamo i 3 archi di circonferenza AB, AC, AD. Ci accorgiamo che l’ampiezza degli angoli al centro e la lunghezza degli archi corrispondenti sono grandezze direttamente proporzionali. Infatti se raddoppia l’angolo da 45° a 90°, raddoppia anche l’arco da AB = 1/8 della circonferenza ad AC = ¼. Ricordando che all’angolo al centro di ampiezza 360° corrisponde tutta la circonferenza, possiamo scrivere: Lunghezza arco Ampiezza angolo al centro C 360° l da cui: Ricaviamo:

Disegnamo un cerchio e inscriviamo in esso dei poligoni regolari con un numero di lati via crescente: un triangolo equilatero, un quadrato, un pentagono, …. , un decagono, un dodecagono. Osserviamo che all’aumentare del numero dei lati dei poligoni: • I perimetri tendono a coincidere con la circonferenza; • I rispettivi apotemi tendono a coincidere con il raggio; • Le aree si approssimano sempre più all’area del cerchio. Per un poligono regolare abbiamo: L’area del cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del suo raggio per

Disegnamo un cerchio e in esso due settori circolari corrispondenti a due angoli al centro, uno il doppio dell’altro. Ci accorgiamo che, raddoppiando l’ampiezza dell’angolo al centro, raddoppia l’area del settore circolare corrispondente, cioè le due grandezze sono direttamente proporzionali. Osservando che all’angolo al centro ampio 360° corrisponde l’area di tutto il cerchio, possiamo scrivere: Area settore Ampiezza angolo al centro Ac As 360° α° da cui: 90° O 45°

Confrontiamo le due proporzioni: dal confronto deduciamo che: Sostituendo a C e ad Ac i loro valori 2 π r e π r², avremo: L’area di un settore circolare si può calcolare moltiplicando la misura della lunghezza dell’arco che lo limita per la misura della lunghezza del raggio della circonferenza e divivendo tale prodotto per 2:

Consideriamo due casi: A B 1. Il segmento circolare considerato è quello minore della semicirconferenza. L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza e l’area del triangolo ABO. o A B O 2. Il segmento circolare considerato è maggiore della semicirconferenza. L’area del segmento circolare sarà data dalla somma dell’area del settore circolare corrispondente e dell’area del triangolo ABO. A O B