LA ARMONIA EN LA NATURALEZA EL NUMERO AUREO

LA ARMONIA EN LA NATURALEZA: EL NUMERO AUREO La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa. Kepler Jaime Bravo Febres 2007

El número designado con letra griega = 1, 61803. . . (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea

La sección áurea y el número de oro La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él la división indicada anteriormente.

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es: ESTE ES EL NUMERO AUREO

El rectángulo áureo Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo R A o B Q C

Construcción del rectángulo áureo: Para realizar esta construcción, necesitaremos regla y compás. Procederemos de la siguiente manera: 1. Construimos un cuadrado de lado 2 a 2 a 2 a

2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales, y trazamos la diagonal del segundo rectángulo: 2 a a a Por el teorema de Pitágoras se tiene:

3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene: B C ABCD, ES RECTANGULO AUREO 2 a A a a D

Como determinar cuando un rectángulo es áureo. N P D C x y A x B y Como los triángulos rectángulos ABC y AMN son semejantes resulta: M POR TANTO ABCD ES RECTANGULO AUREO

ESPIRAL AUREA O ESPIRAL DE DURERO Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo

Otra espíral gnómica basada en el número áureo es la que se construye tomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°. A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles cuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior. Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tiende hacia el número de oro. La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos. El resultado es otra similar cuya pulsación, el factor de crecimiento es el número áureo. Espiral de Durero

EN LA NATURALEZA La espiral (El número de oro) está en los moluscos como el NAUTILIUS,

En el huevo de las aves se encontrado también relaciones del numero áureo.

Está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc EN EL GIRASOL EN LAS FLORES

En las aves En las hormigas

En las Plantas En las flores

Galaxias del Universo

Galaxias Lenticulares

En el Tsunami de Asia

EN LA ECONOMIA Su carnet de identidad es un rectángulo áureo, y por tanto las tarjetas de crédito, y en gran parte de las tarjetas que utilizamos así como el frente de casi todas las cajetillas de tabaco.

a b En los objetos caseros

EN EL SER HUMANO EL PRIMERO EN ESTUDIAR LA RELACION DEL NUMERO AUREO EN EL HOMBRE FUE LEONARDO DA VINCI LUCA PACIOLI A LA PROPORCION AUREA LA DENOMINO PROPORCION DIVINA POR SUS PROPIEDADES.

LEONARDO DA VINCI ENCONTRO EL NUMERO AUREO EN RELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO. VITRUBIO

Este sería a juicio de un artista el rostro más perfecto de mujer

En la mano humana, la distancia entre las falanges están en razón áurea. Es áurea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los mismos. Cuando los dientes no están juntos, la linea de los labios divide la parte inferior del rostro según la proporción áurea.

Un detalle curioso conocido por los clásicos es que la distancia del ombligo al suelo es justamente la razón áurea de su altura.

Para verificar las medidas antropométricas en el ser humano podemos llenar la tabla siguiente, recordando que dos razones geométricas de igual valor pueden dar origen a una proporción geométrica. ESTUDIANTE Estatura a Longitud del ombligo hasta la planta del pie b Longitud de la cima de la cabeza hasta el ombligo (a – b) C a/b b/c

Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo Esta espiral se encuentra en un gran nº de moluscos como el Nautilus de la foto. El número de oro está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc

EN EL ARTE LA GIOCONDA LEONARDO DA VINCI LA SAGRADA FAMILIA MIGUEL ANGEL

Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

LEDA ATOMICA

Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres esculturas griegas como el Hermes de Praxíteles (390 -330 a. C. )

Aparece en la Venus de Milo Museo del Louvre, París

EN LA ARQUITECTURA Desde tiempos muy remotos el hombre ha realizado bellas y armoniosas construcciones teniendo en cuenta la proporción áurea EL PARTENON GRIEGO

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un Tumba Rupestre de Mira pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es

Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habian enseñado que las proporciones establecidas en la Gran Pirámide eran tales que: El cuadrado de la altura de la piramide es igual al área de cada una de las caras triangulares. Es decir: ( 1 ) Por el teorema de Pitágoras en el triángulo POM: Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y dividiendo por se tiene: Tenemos la ecuación del numero Áureo:

Pitágoras y el número de oro Pitágoras (c. 582 -c. 500 a. C. ), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a. C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro. Así La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal están en proporción áurea.

A M N F G Considerando el lado del pentágono regular la unidad, (AG = 1), se tiene: MF = NG = 1; MG = De donde se tiene: Cuya raíz positiva es:

¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ? . Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional , de cuya existencia tuvieron conciencia antes que, tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en el dibujo que Leonardo da Vinci, hizo para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Paccioli, editado en 1509. Leonardo da Vinci "Huye de esos estudios cuyo resultado muere con el que los hace. “ Luca Paccioli

Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. b a Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo Es decir: Vitrubio

El NUMERO DE ORO EN LA MEDICINA Conocemos desde la antiguedad la ubicación exacta de los puntos energéticos (Xue) utilizados en Medicina Tradicional China para el tratamiento de las enfermedades del hombre a través de la acupuntura. Conocemos también los efectos de cada uno de ellos y sabemos cómo utilizarlos; Pero, porqué los puntos tiene la ubicación que tienen ? A qué ley o regla obedece la uniformidad en la distribución? Y también, porqué esa ubicación es invariablemente la misma en cada ser humano? Así, la ubicación de los puntos chinos de acción energética específica responde a la ley geométrica y aritmética conocida, desde la antiguedad clásica, como : "sección áurea" (según leonardo Da Vinci), "sección divina"(según Kepler) o "divina proporción"(según Luca Pacioli) y cuyo valor numérico, denominado "Número de oro“.

En el caso que nos ocupa, diremos que el rostro humano visto de frente, puede encuadrarse en el interior de un rectángulo ABCD. Dr. Marcelo Manneti Médico Acupunturista

La sucesión de Fibonacci y el número áureo. La serie de Fibonacci proviene de considerar la serie que se forma mediante (comenzando la serie por 1, se tiene) : 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, . . . , 8 + 13 = 21, . . La serie de Fibonacci queda establecida mediante la serie numérica siguiente: Leonardo de Pisa 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . Cada número es la suma de los dos números anteriores

La sucesión formada por los cocientes de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … • f 2 / f 1 = 1 / 1 = 1 • f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 • f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5 • f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66. . . • f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 • f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5 • f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61. . . • f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76. . . • f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05. . . Finalmente se tiene:

Al dividir dos números consecutivos de la serie de Fibonacci, el resultado converge a 0, 618 ó 1, 618 13 / 21 = 0. 619047619 21 / 34 = 0. 617647058 34 / 55 = 0. 61818 Adviértase que, 1 / 0, 618 = 1, 618 21 / 13 = 1. 615384615 34 / 21 = 1. 619047619 55 / 34 = 1. 617647059 1 / 1, 618 = 0, 618

La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por la izquierda y la derecha de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … 1 1. 5 1. 615. . 1. 625. . 1. 66. . 1. 618…. 2

Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.

Verdes – 5, Naranjas – 8 Verdes – 8, Rojas – 13

Otra espiral de Fibonacci

LA SERIE DE FIBONACCI EN LA ECONOMÍA La experiencia ha demostrado con rotundidad que en la práctica las medias móviles funcionan mejor cuando los periodos de tiempo elegidos para el cálculo de las medias móviles son números de la Serie de Fibonacci. Estos números de Fibonacci se ajustan bastante bien a periodos y ciclos bursátiles. Elliott escribió un libro llamado "Las leyes de la naturaleza" donde se refiere específicamente a la serié numérica de Fibonacci como la base matemática para el principio de lo que conocemos como la teoría de las "Ondas de Elliott". Esta teoría analiza el comportamiento de los mercados, pudiendo predecir los movimientos en ciclos de largo, mediano y corto plazo. Libro de alberto moreno-internet: www. finanzas. com

LA SERIE DE FIBONACCI Y LA BOLSA Se puede observar las siguientes reglas se que cumplen siempre en esta serie: 1. La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es siempre del 61, 80%. 2. La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente (n+2) en la serie es siempre del 38. 19%. Una de las aplicaciones prácticas de la serie es el análisis de las correcciones técnicas de la bolsa. Cuando los mercados están en tendencia alcista o bajista, se ha podido comprobar que las correcciones generalmente coinciden en porcentaje con las proporciones de Fibonacci. Cuando un mercado ha empezado a corregir después de una tendencia claramente alcista o bajista, se pueden establecer objetivos de corrección del 38% o del 62% del movimiento. Esta aplicación es de especial interés a la hora de aplicar la teoría de Elliott. Son las llamadas lineas de Fibonacci, que suelen representar lineas de soporte o resistencia.

Las Lineas de Fibonacci son muy similares a las lineas de velocidad. Para trazarlas solo tenemos que seleccionar dos puntos significativos del grupo, por ejemplo, desde el inicio del alza hasta la primera parada, con un pequeño inicio de caída. Desde éste segundo punto trazamos la proyección hasta la altura del primer punto y dividimos esta distancia en dos lineas especiales: siguiendo las proporciones en la linea del 62% y la linea del 38%.

RECTÁNGULO ÁUREO CON CABRI Proporción Áurea AD/AB=1, 6180339. . . . =(1+ raiz(5))/2 Veamos como se hace el dibujo: 1. Se traza el segmento AB. 2. Se traza dos perpendiculares al segmento AB, una que pase por A y otra por B. 3. Con ayuda de la circunferencia de centro B y radio AB obtenemos el punto E. 4. Trazando una paralela al segmento AB obtenemos el punto F. 5. Señalamos el punto medio del segmento AF y tomándolo como centro se traza la circunferncia que pasa por el punto B obteniéndose en la prolongación de AF, el punto D. 6. Trazando un paralela al segmento AB que pase por D se obtiene el punto C.

(UN ALGORITMO CON Matlab) Introduzca la definición de razón áurea: r=(sqrt(5)-1)/2. Sus potencias verifican la relación de recurrencia: raurea=(sqrt(5)-1)/2; r^(n+1)=r^(n-1)-r^n. r=linspace(0, 0, 100) ; r(1)=1; r(2)=raurea ; for n=2: 100 r(n+1)=r(n-1)-r(n); end fprintf(' n r^n raurea^nn'), fprintf(' ______________n'), for n=1: 101 fprintf('%3 i, %10. 5 f, %gn', n, r(n), raurea^n) end

n r^n raurea^n ___________________ 1 1. 00000, 0. 618034 11 0. 00813, 0. 005025 21 0. 00007, 4. 08563 e-05 31 0. 00000, 3. 32187 e-07 41 -0. 00000, 2. 70089 e-09 51 -0. 00000, 2. 19599 e-11 61 -0. 00008, 1. 78548 e-13 71 -0. 01034, 1. 4517 e-15 81 -1. 27202, 1. 18032 e-17 91 -156. 44857, 9. 59676 e-20 101 -19241. 90183, 7. 80276 e-22

ALGUNAS EXPRESIONES INFINITAS DEL NUMERO Fi Sabemos que: De donde: Por lo que , lo obtenemos a través de la expresión infinita:

Otra expresion infinita de , es a través de las Fracciones: y sustituyendo, en forma reiterada, por su valor en esta ecuación tenemos:

Poema al Número Áureo Rafael Alberti A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.

Espero que nuestros nietos me estarán agradecidos, no solamente por las cosas que he explicado aquí, sino también por las que he omitido intencionadamente a fin de dejarles el placer de descubrirlas. Descartes (Geometría)