l ie c i l y m S

l ie c i l ś y m S w ó A s R a O z c G h A c T e I P wsz

Urodził się on na wyspie Samos w 572 roku p. n. e. i pozostał na niej do 40 roku swojego życia. W tym wieku wyruszył z Jonii w podróż podczas Której niewątpliwie nabył wiele nowych doświadczeń. Po pewnym czasie postanowił wykorzystać i przekazać je w Krotonie w Grecji zakładając związek pitagorejski. Ten właśnie moment można uznać za początek kariery Pitagorasa.

Sam osławiony filozof i matematyk z Sanie pozostawił po sobie żadnych pism ani innego typu śladów świadczących o jego geniuszu. Jedyną, aczkolwiek najpotężniejszą, pozostałością po nim stała się organizacja pitagorejczyków. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p. n. e. , będąc m. in. spadkobiercą idei Ferekydesa z Syros i Hermodamasa z Samos. Od ok. 509 p. n. e. przebywał w Metaponcie, choć według niektórych tylko 40 dni. Wykłady odbywały się w jego domu, a na swoich uczniów wybierał osoby zdolne do milczenia, które byłyby w stanie zachowywać w tajemnicy jego nauki.

Słowo się rzekło… Trudno odróżnić poglądy Pitagorasa od przemyśleń następców ze szkoły pitagorejskiej często przypisywanych przez nich mistrzowi. Pitagoras cenił bardzo przyjaźń i mimo, że Diogenes przypisał sentencję zupełnie innym filozofom greckim, podobno "On to pierwszy powiedział, że przyjaciele powinni mieć wszystko wspólne i że przyjaciel jest [dla człowieka] drugim ja". Pochodzenie nazwy matematyka Wśród uczniów szkoły Pitagorasa wyróżniono trzy kategorie: • akuzmatyków, którzy byli jedynie słuchaczami jego wykładów, • polityków będących najbardziej zaawansowanymi, ogarniającymi całość wspólnotowości w polis, • matematyków(czyli matematyka)zainteresowanych rozważaniami spekulatywnymi, od których pochodzi nazwa matematyka.

Pitagorejczycy Wyznawcy doktryny rozwiniętej przez Pitagorasa i jego następców w szkole religijno-filozoficznej, którą założył w Krotonie w Wielkiej Grecji, w południowych Włoszech.

Pitagorejczycy uważali, że "wszystko jest liczbą"; każdemu bytowi można było przyporządkować liczbę np. mierząc czy ważąc. 10 była przedstawiana jako "arcyczwórka" – trójkąt, na którego każdym boku mieściły się cztery kamyki, pozostawiał miejsce na dziesiąty wewnątrz. Pogląd o tym, że w środku Wszechświata miał znajdować się ogień, a Ziemia jest tylko jedną z ruchomych gwiazd okrążających Słońce znajdujące się w pobliżu ognia centralnego, zaś swoim ruchem dokoła osi rotacji wytwarza dzień i noc, powstał w greckiej kolonii w południowej Italii i został sformułowany przez Filolaosa. Prócz tego doszukiwali się istnienia jeszcze jednej planety obiegającej Słońce po tej samej orbicie co Ziemia nazywanej przeciw. Ziemią. Ich autorstwa jest koncepcja kulistości Ziemi, o czym wiadomo od Arystotelesa.

Najbardziej pewnym źródłem informacji o moralności Pitagorasa mogłyby być "Złote wiersze", których jest co najmniej przypuszczalnym autorem, choć nie wiadomo jak wiele z tej treści pozostało takie, jak w wersji oryginalnej. Badania nad muzyką Pitagorejczycy znacznie przyczynili się też teorii muzyki - ich badania nad właściwościami strun (dokonywane na monochordzie) wykazały, że: struna skrócona w 1/2 brzmi o oktawę wyżej (stosunek liczbowy 1: 2) struna skrócona w 2/3 brzmi o kwintę wyżej (stosunek liczbowy 2: 3) struna skrócona w 3/4 brzmi o kwartę wyżej (stosunek liczbowy 3: 4) struna skrócona w 3/5 brzmi o tercję wielką wyżej (stosunek liczbowy 3: 5).

ORFIZM Bogowie znani z mitologii stanowili zewnętrzne formy jednej boskiej istoty. Religia, jaką wyznawał Pitagoras, była politeistyczna, o czym wnioskować można na podstawie Złotych wierszy, ale to jemu oddawano we wspólnocie cześć boską, co zresztą zanikło po tym, jak zmarł, a stało się bezpośrednim argumentem podżegającym do pogromu. Także moralność Pitagorasa stanowiła wyzwanie dla obyczajowości ówczesnych Greków. Nurt religijny w starożytnej Grecji powstały w VII wieku p. n. e. , związany z kultem Dionizosa, cechujący się wiarą w wędrówkę dusz i ich wyższości nad ciałem.

Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Posługiwał się twierdzeniem nazwanym współcześnie jego imieniem, ale dowód tego matematycznego faktu sformułowany został znacznie później. Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też: 1. dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym, 2. wprowadzenie średniej arytmetycznej, 3. konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego, 4. muzyczny strój pitagorejski (to zupełnie co innego niż komat) – harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych.

W odróżnieniu od uczniów szkoły Pitagorasa, czyli pitagorejczyków, współczesnych interpretatorów i naśladowców tej antycznej filozofii nazywa się pitagorystami. Oto kilka przykładów przypuszczalnie bardziej współczesnych sentencji, które można by uznać za pitagorejskie, ale ich źródłem nie są Złote Wiersze i nie wiadomo kiedy ani przez kogo zostały wymyślone. Jedynie kilka z nich można odnaleźć w Żywotach Pitagorasa Porfiriusza, a inne w dziele Diogenesa. „Zły język zdradza złe serce” „Istnieje źródło dobra, które stworzyło porządek, światło i człowieka – i źródło zła, które stworzyło chaos, ciemność i kobietę. ” „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy” „Najkrótsze odpowiedzi "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia„ „Milcz albo mów rzeczy lepsze od milczenia. „ Maksymy takie można znaleźć także w miejscach użyteczności publicznej, jak np. na kominku ratusza gdańskiego. Według niektórych sentencje takie miałyby być dowodem stosowania przekazu symbolicznego, bo metoda taka stosowana była wówczas w Egipcie i tam Pitagoras pobierał swe nauki. Mogły być to jednak jedynie

Badania własności liczb 1. występujących w muzyce (Pitagoras zbudował jednostrunowy instrument, za pomocą którego badał zależności pomiędzy dźwiękami) i odkryli, że skrócenie struny w stosunku 1: 2, 2: 3 i 3: 4 daje przyjemne współbrzmienie (te interwały muzyczne nazywamy dziś oktawą, kwintą i kwartą), 2. parzystych i nieparzystych, 3. doskonałych (są równe sumie swoich dzielników mniejszych od samej liczby, np. 6, 28, 496), 4. zaprzyjaźnionych (pary liczb, w których suma dzielników jednej daje drugą i na odwrót, np. 220 i 284, 1184 i 1210, 6232 i 6368, 9363584 i 9437056), 5. występujących w geometrii, np. liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych oraz liczb gnomicznych (tzn. dających równoramienną literę L - są to wszystkie liczby nieparzyste), o tych ostatnich udowodnili, że są różnicami kolejnych liczb kwadratowych, 6. złotej i figur, w których występuje, ? trójek pitagorejskich (odkryli wzór opisujący wszystkie takie liczby).

Wśród zagadnień geometrycznych badali własności 1. wielokątów foremnych (wykazali, że płaszczyznę można wyparkietować tylko kwadratami i trójkątami lub sześciokątami foremnymi, określali sumę kątów dowolnego wielokąta, znali konstrukcję n-kątów foremnych dla n = 3, 4, 5, 15 i ich iloczynów przez dowolne potęgi dwójki), 2. wielościanów foremnych (każdemu przypisali jeden żywioł: czworościanowi foremnemu - ogień, sześcianowi - ziemię, ośmiościanowi - powietrze, dwudziestościanowi - wodę, dwunastościan, który został odkryty dużo później, symbolizował wszechświat), 3. koła i kuli, 4. figur i brył podobnych.

Ciekawostki i anegdoty W młodości Pitagoras był utalentowanym pięściarzem i zapaśnikiem. Zdobywał laury olimpijskie, wygrywając wszystkie walki. Z wdzięczności dla bogów za udowodnienie twierdzenia nazywanego jego imieniem Pitagoras miał złożyć hekatombę, czyli ofiarę ze stu byków. W przypadku wyrzucenia kogoś ze wspólnoty pitagorejczyków kopano odrzuconemu grób. Pozostawał on pusty i był symbolem śmierci tej osoby dla wspólnoty. Pitagoras wprowadził termin "filozofia" (tzn. umiłowanie mądrości) dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a człowiekowi dostępne jest jedynie jej umiłowanie. Pitagoras miał zalecać swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: Jaki błąd popełniłem? Co zdziałałem? Jakiego obowiązku zaniedbałem?

Pitagorejczycy pierwsi używali terminów: "filozofia" (na oznaczenie wszelkiej działalności naukowej) i "matematyka" (na oznaczenie tych dziedzin, które uprawiane były w sposób dedukcyjny - Tales. To, co dziś zaliczamy do matematyki, nazywane było wtedy (i później, aż do XIX w. ) "geometrią". Podobieństwo jest jednym z najbardziej intuicyjnych pojęć matematycznych. Nawet w przedszkolu, gdy pani rysuje kółko na tablicy i każe dzieciom w zeszytach zrobić to samo, to rysują one kółko w dużym pomniejszeniu i są przekonane (podobnie jak i pani), że rzeczywiście narysowały to samo. Pitagoras był prawdopodobnie wegetarianinem. Pitagorejczycy wierzyli w reinkarnację. Pitagorejczycy, badając figury podobne, umożliwili wykonywanie rysunków w skali, planów i map (nie istniały one w kulturach narodów pozaeuropejskich), czemu zawdzięczamy późniejsze wielkie odkrycia geograficzne, rewolucję przemysłową i wiele innych osiągnięć.

Czcij jak prawo zaleca Bogów nieśmiertelnych I przysięgę. W ślad idąc bohaterów dzielnych, Niech sprawiedliwe będą wszystkie twoje czyny Wdzięcznie szanuj rodziców i bliższych z rodziny, Cnotliwych poważanie zjednaj własną cnotą, Ich rad słuchaj życzliwie i z serca ochotą. Z małych przyczyn niech zwada w serce twe niewchodzi, Masz-li władzę pamiętaj, władza z nędzą chodzi, Na to bacząc przywykaj abyś każdą dobą, Nad stołem, snem, roskoszą i miał moc nad sobą. Gniew zaciekły powściągaj, namiętnościom panuj Nic szpetnego nie czyniąc, sam się w sobie szanuj. Bądź prawym równie w słowach jak i w każdym czynie Nawykaj, miéć rostropność na celu jedynie, Pomnij że trzeba kiedyś śmierci dług opłacić, A pieniądz można zyskać, lecz można i stracić. Troski różne na ludzi przeznacza los boski, Mężnym zatém umysłem znoś wszelakie troski; Niezaradzaj im podle, w cnocie chowaj statek, Choć niewielu cnotliwym daje los dostatek. Mało zechcą na dobre, wielu na złe radzić,

Trwaj w dobrém, i z cnot drogi nie daj się sprowadzić. Nieodstrasz się od prawdy, na kłamstwa niezważaj Ale słowa następne w myśl rozstropną wrażaj: Groźbą ani przymusem niedaj się nakłonić Byś to działał, czem późniéj mógłbyś się zapłonić. Źle nie chcąc robić, pomyśl, a dopiero zaczniéj. Głupiego czynić prędko i mówić mniéj baczniéj. To czyń czego sam późniéj nie mógłbyś żałować, Co niewiesz nie czyńumysł do mądrości prowadź, Ucz się, a tak ci życie przyjemnem się stanie. I o zdrowiu pamiętaj baczne miéć staranie, Miej miarę, w pracy nawet, w jedzeniu i w piciu. Zwę miarą, co nieszkodzi zdrowiu ani życiu. Noś ubior zawsze czysty, ale nie zbytkowy; Niepodniecaj zawiści czynem ani słowy. Nieczyń marnych wydatków, nędza bywa z zbytkiem, Lecz nie skąp. Miara w wszystkiem jest tylko z pożytkiém, Nim zamiar jakiweźmiesz rozważ go dokładnie, Gnuśnego snu na oczy nie przypuszczaj snadnie, Wprzód trzykrotnie rozbieraj pracę dnia całego, Pomyśl co ja zrobiłem, czym nie minął czego?

Oto kilka zadań, które pomogą Ci jeszcze bardziej zrozumieć Twierdzenie Pitagorasa i jak używać go w zadaniach. Zad. 1 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 cm i 3 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? Zapisujemy równość wynikającą z tzw. Pitagorasa. Ponieważ x to długość odcinka, więc rozpatrujemy tylko dodatnie rozwiązanie równania x 2=13 Wykonujemy rysunek pomocniczy; Przez x oznaczamy szukaną długość odcinka. 2 cm 22 + 32 = x 2 4 + 9 = x 2 13 = x 2 -x 2 = -13|: (-1) X 2 = 13|: √ X=√ 13[cm] x 3 cm

Zad. 2 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 9, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. Wykonujemy rysunek pomocniczy; przez x oznaczamy szukaną długość przyprostokątnej. Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa. x 9 X 2 + 62 = 92 Pierwiastek z 45 możemy rozłożyć (z boku np. X 2 + 36 = 81 na marginesie) na czynniki pierwsze, gdyż jest X 2= 81 -36 to liczba parzysta. X 2 = 45|: √ X = √ 45 = √ 9 x 5 X = 3√ 5 6

Zad. 3 Oblicz długość trzeciego boku trójkąta przedstawionego na rysunku. Wykonujemy rysunek pomocniczy; przez x oznaczamy szukaną długość przyprostokątnej 7 6 Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa. x

Zad. 4 Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 4 i 16 oraz ramionach długości 10. 16 E Wykonujemy rysunek pomocniczy; wysokość trapezu oznaczamy literą h. 10 Obliczamy długości odcinków AE i FB Stosujemy tw. Pitagorasa dla trójkąta AED Obliczamy pole trapezu F h D 10 4 |AE|=|FB|=16 -4: 2=6 h 2+|AE|2=102 h 2+62=102 h 2=64|: √ h=8 P=(16+4)*8: 2=80 C

Zad. 5 Oblicz długość odcinka o końcach w punktach P=(-1, -3) i R=(4, 3). Rysujemy odcinek PR w układzie współrzędnych, znajdujemy punkt S taki, że trójkąt PSR jest prostokątny, i odczytujemy długości odcinków PS i RS R P |PS|=5 |RS|=6 Stosujemy twierdzenie Pitagorasa S

Zad. 6 Przekątna kwadratu ma długość 4. Jaką długość ma bok tego kwadratu? a- szukana długość boku a√ 2=4 a=4/√ 2=4√ 2/2=2√ 2 Stosujemy wzór na długość przekątnej kwadratu. Wyznaczamy a Usuwamy niewymierność z mianownika

Zad. 7 Bok rombu ma długość 5, a jeden z kątów ma 60 o. Oblicz długości przekątnych tego rombu. D 5 C Wykonujemy rysunek pomocniczy 5 5 60 o A 5 Trójkąt ABD jest równoboczny. Długość odcinka AE obliczamy ze wzoru na wysokość trój. równobocznego. B |BD|=5 |AC|=2|AE|=2*5 √ 3/2=5√ 3

Zad. 8 W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 45 o przeciwprostokątna ma długość 7. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta. Trójkąt jest równoramienny; oznaczamy literą x długości przyprostokątnych. Przeciwprostokątna ma długość x√ 2. x 7 Obliczamy długość przyprostokątnej. 45 o x x√ 2=7 Usuwamy niewymierność z mianownika. x=7/√ 2 x=7√ 2/2

Zad. 9 Oblicz długość odcinka oznaczonego literą z. z Boki z i 4 to przyprostokątne, bok o długości 3√ 2 jest przeciwprostokątną. 4 3√ 2 Wybieram dodatnie rozwiązanie równania z 2=2, czyli z =√ 2

Zad. 10 Budowa domów drewnianych wykonanych w technologii szkieletowej polega na wykonaniu drewnianego szkieletu, który służy jako rusztowanie do dalszej budowy, co ilustruje rysunek. W celu wzmocnienia budowli przed niszczącym działaniem wiatru stosuje się tzw. zastrzały, czyli ukośne belki, które zabezpieczają budowlę przed wykrzywieniem. Oblicz długość skośnej belki zaznaczonej na czarno. Stosując twierdzenie Pitagorasa zapisujemy…. 0, 52+2, 82=d 2 0, 25+7, 84=d 2 8, 09=d 2 d 2=8, 09|: √ d=√ 8, 09~2, 84

Zad. 11 Oblicz obwód kwadratu o przekątnej 6. Jeśli przekątna ma 6, to przyprostokątne trójkąta, które są w kwadracie (boki kwadratu)mają x. 6 x x x 2+x 2=62 2 x 2=36|: 2 x 2=18|: √ x=√ 18=3√ 2 Obw=4*x Obw=4*3√ 2=12√ 2

Zad. 12 W trapezie równoramiennym przekątna o długości 13 cm tworzy z ramieniem kąt prosty. Oblicz pole tego trapezu, jeśli górna podstawa wynosi 1 dm, i jest dwa razy dłuższa od wysokości.

Zad. 13 W trójkącie równoramiennym wysokość o długości 4 cm jest opuszczona na podstawę o długości 10 cm. Oblicz obwód tego trójkąta. 42+52=x 2 16+25=x 2 X 2=41 X=41|: √ X=√ 41 Obw=a+b+c Obw=√ 41+10=10+2√ 41

Zad. 14 Romb zbudowany jest z 2 trójkątów równoramiennych o bokach 6, 6, 8. Podaj długości przekątnych tego rombu. 6 6 d 1=8 d 2=x 42+x 2=62 16+x 2=36 -16 x 2=20|: √ x=√ 20=2√ 5 d 2=2*2√ 5=4√ 5

Zad. 15 Kłodę drewna o średnicy 20 cm pocięto na deski o grubości 5 cm każda. Oblicz szerokość pierwszej deski po odcięciu.

Po wytłumaczeniu wszystkich zadań nadszedł czas, abyś teraz sam spróbował rozwiązać zadania z treścią. Naciskając na strzałkę poniżej przejdziesz dalej.

Zadania - odpowiedzi do zadań 1. Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest prostokątny. a)7 cm, 13 cm, 12 cm c)0, 5 m, 2 dm, 40 cm b)14 cm, 18 cm, 20 cm d)26 cm, 2, 4 dm, 0, 1 m 2. a)Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 4. b)Jaką długość ma przekątna prostokąta o bokach 5 i 10? c)Oblicz długość boku rombu o przekątnych długości 10 i 6. 3. Oblicz pole prostokąta, którego przekątna ma długość 7 cm, a jeden z boków ma długość 3√ 2 4. Bok rombu ma długość 13 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz długość drugiej przekątnej. 5. W równoległoboku dłuższy bok ma 10 cm, a krótsza przekątna ma 6 cm i dzieli równoległobok na dwa trójkąty prostokątne.

6. Oblicz obwód prostokąta, którego przekątna ma długość 5, a jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. 7. Obwód prostokąta wynosi 42 cm, a stosunek długości boków jest równy ¾. Oblicz długość przekątnej prostokąta. 8. W trójkącie ostrokątnym ABC boki AC i BC mają długości √ 13 i 5, a wysokość poprowadzona z wierzchołka C ma długość 3. Oblicz pole tego trójkąta. 9. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 48 cm², a podstawa ma długość 12 cm. Oblicz obwód tego trójkąta. 10. Jaką wysokość ma romb o przekątnych długości 12 cm i 16 cm?

Klucz odpowiedzi: 1. a)nie b)nie c)nie d)tak 2. a)4√ 2 b)5√ 5 c)√ 34 3. 3√ 62 cm² 4. 10 cm. 5. 36 cm. 6. 6√ 5. 7. 15 cm. 8. 9, 6 cm. 9. 9 10. 32 cm. .

Prezentację przygotowały: Katarzyna Retz ; ) Agata Golańska ; ) Martyna Krajewska ; ) Kl. IIa