Kvantitatv mdszerek MINTAVTEL LER STATISZTIKA 2014 szeptember 30

Kvantitatív módszerek MINTAVÉTEL, LEÍRÓ STATISZTIKA 2014. szeptember 30. 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Valószínűségszámítás - Matematikai statisztika n Valószínűségszámítás: a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata o o n n n Tömegjelenség: tetszőlegesen sokszor ismétlődő esemény Véletlen: többféle kimenetel lehetséges Valószínűségelmélet: ismert az eloszlásfüggvény és annak paraméterei valószínűséggel kapcsolatos kérdések megválaszolhatók Valóság: a paraméterek ismerete nélkül a kérdéses valószínűségeket nem tudjuk meghatározni A matematikai statisztika célja: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire. o mintavétel, adatfeldolgozás, leíró statisztika, következtető statisztika (becslés és hipotézisvizsgálat) 2 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Matematikai statisztika lényege Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Következtetés A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók. Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki 2014 ősz Kvantitatív módszerek A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye 3

Mintavétel n Cél: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által n NEM A MINTA KONKRÉT JELLEMZÉSE ÉRDEKEL BENNÜNKET. A MINTA CSAK EGY ESZKÖZ, AMELYNEK SEGÍTSÉGÉVEL KÖVETKEZTETNI KÍVÁNUNK A SOKASÁGRA, ILL. ANNAK TULAJDONSÁGAIRA. n Így részleges megfigyelések eredményéből következtetünk a teljes sokaságra A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat. A statisztikai hiba a statisztika szükségszerű velejárója, és fontos annak számszerűsítési képesssége. n 4 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Mintavételi hiba n Mintavétellel kapcsolatos hibák két nagy csoportja: o Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA n A technika fejlődésével sokféle módon lehet ellene védekezni o A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA n olyan eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen o A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta. 5 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Mintavételi hiba n n n A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől. 6 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Adatfelvételi módok Adatfelvétel Teljes körű – csak véges sokaság esetén (pl. népszámlálás) Kísérleti eredmények gyűjtése reprezentativitás Mintavételes megfigyelés Véletlen(szerű) kiválasztás Részleges Egyéb részleges megfigyelés Nemvéletlen(szerű) kiválasztás Mintavételi hiba ismert vagy meghatározható a sokaság elemeinek számszerűsítési képessége mintába kerülési esélye 2014 ősz Kvantitatív módszerek 7

Véletlen mintavételi eljárások n n Statisztikai minta definíciója: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Független, azonos eloszlású minta (FAE): a minta elemeknek azonos eloszlásúnak és függetlennek kell lennie o o n n homogén és végtelen nagy sokaságból veszünk véletlen, visszatevéses vagy visszatevés nélküli mintát vagy véges sokaságból egyenlő valószínűséggel visszatevéses mintát Gyakorlati alkalmazása: tömegtermelés minőségellenőrzése, általában nem áll teljes lista rendelkezésre, ezért részleges listákkal pótoljuk, ritka a gyakorlatban Mintanagyság meghatározása: 8 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi eljárások n Egyszerű véletlen (EV) mintavétel o o n EV minta készítése: 1. 2. 3. n Homogén, véges elemszámú sokaság esetén, visszatevés nélküli minta, minden lehetséges n elemű minta kiválasztásának azonos valószínűséget biztosítva Társadalmi-gazdasági elemzések esetén ritka, de viszonyítási alap Komplett lista összeállítása Mintanagyság meghatározása (sokaság szóródása, költségek, pontossági követelmények) Kiválasztás tervezett véletlen módon (véletlenszám-generátor, véletlenszám-táblázat) Szisztematikus kiválasztás o o Teljes lista k=N/n lépésköz meghatározása, k 0 véletlen kiindulópont, a k lépésköz n-szeri felvétele Egyszerű, gyors eljárás, a minta mechanikusan kiválasztható Ha a lista a vizsgált ismérv szerint véletlenszerűen van sorba rendezve, akkor megegyezik a véletlen kiválasztással 9 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi eljárások Szisztematikus kiválasztás problémái Nem lesz véletlen a minta, ha: n o o n ha a lista a vizsgált tulajdonság, jellemző szerint nem véletlenszerűen van sorba rendezve, hanem van közöttük sztochasztikus kapcsolat ha a lista a vizsgált ismérv szerint periodikus hullámzást mutat FAE vs. EV minta o o o FAE visszatevéssel, az EV visszatevés nélkül készül Az FAE minta kényelmesebb elméleti tulajdonságokkal rendelkezik, az EV minta a gyakorlat számára hasznosabb. Nagy sokaság esetén e két eljárás közötti különbség elenyésző, egymással helyettesíthetőek 10 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi módok n Rétegzett (R) minta alkalmazása: o o o n Ha a sokaság véges és heterogén, s előzetes információink vannak arra nézve, hogy ezt a sokaságot hogyan lehet homogén csoportokba sorolni Feltétel a rétegképző ismérv és rétegenkénti listák ismerete A sokaságot homogén(ebb) részsokaságokra bontjuk (átfedésmentesen és teljesen), majd a rétegeken belül egymástól függetlenül egyszerű véletlen mintavételt végzünk. Előnye: o o o Azonos mintanagyság mellett kisebb mintavételi hibát eredményez, mint az EV minta (ha jól választunk rétegképző ismérvet) A sokaság rétegeinek száma: M, az egyes rétegeken belül a sokaság N 1, N 2, …. , Nj, …, NM elemet tartalmaz. A minta elemszáma: n, az egyes rétegeken belül n 1, n 2, …. , nj, …, n. M elemű mintát veszünk: 11 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi módok n Rétegzett minta elosztásának formái: a minta teljes elemszámát hogyan osszuk szét az egyes rétegek között? o Egyenletes elosztás: minden rétegbe azonos számú mintaelem kerül n egyszerű eljárás n ha a rétegek egyforma nagyságúak, akkor egyben arányos is lesz n ha az egyes rétegek mutatóira is kíváncsiak vagyunk, akkor az egyes rétegek mintavételi hibáinak összege minimális o Arányos elosztás: a mintába a sokasági arányoknak megfelelően választjuk meg az elemszámot (nagy gyakorlati jelentőség) n n n egyszerű eljárás a mintában ugyanazok a súlyarányok érvényesülnek, mint a sokaságban alapvető mutatók mintavételi hibája minimális (ha a rétegenkénti sokasági szórások nem ismertek, és azonosnak tekinthetők) 12 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi módok o o Neyman-féle optimális elosztás: n Feltételezi a rétegenkénti sokasági szórások ismeretét n Rögzített n mellett kedvezőbb mintát kapunk, ha a nagyobb szórású rétegekből nagyobb mintát veszünk. n a főátlagot ilyen mintából számítva (adott n mellett) minimális mintavételi hibát kapunk n Nehezebb végrehajtás Költségoptimális elosztás: n a sokasági szórások ismerete mellett előre ismerjük az egyes rétegek megfigyelési egységköltségeit is n j-edik rétegen belül egy elem átlagos megfigyelési költsége πj n A teljes felvétel költségfüggvénye: n Előre megadott C esetén az átlag mintavételi hibáját minimalizáló elosztás az n azonos rétegnagyság és szórás esetén minél nagyobb a mintavétel egységköltsége, annál kisebb mintát kell venni az adott rétegből 13 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi módok n Csoportos mintavétel (CS) alkalmazása: o Homogén, véges sokaságok esetén n Nem áll rendelkezésre teljes lista, de nagyobb csoportokra igen n o o o n Egyszerűbb és olcsóbb, mint az azonos nagyságú EV minta Ha a csoporton belüli homogenitás nagy, sok felesleges megfigyelést tartalmaz Ha a csoporton belüli heterogenitás nagy, akkor az EV mintával megegyező pontosságú Lépései: o o n A csoportok koncentráltságuk miatt olcsóbban megfigyelhetők, mint a hasonló számosságú, de nem koncentráltan előforduló egyedek Csoportok közül választunk egyszerű véletlen mintavétellel A kiválasztott csoportot teljes körűen megfigyeljük Megjegyzés: o o R minta esetén a rétegen belüli homogenitás, CS minta esetén a csoportokon belüli heterogenitás a kedvező tulajdonság Az R minta azonos elemszám esetén az EV mintánál kisebb hibát eredményez, nagyobb költséggel, a CS minta nagyobb hibákhoz vezet, kisebb költséggel 14 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Véletlen mintavételi módok n Többlépcsős mintavétel alkalmazása: o o o Kétlépcsős változata: (1) csoportos mintavétel; (2) csoportokból is egyszerű véletlen minta Azonos mintanagyság mellett kisebb hibát eredményez, mint a csoportos mintavétel A mintaelosztás tervezése nem egyszerű feladat Nemvéletlen mintavételi eljárások n n Ebben az esetben nincs biztosítva, hogy a minta a sokaságra valóban jellemző legyen Nem számszerűsíthető a mintavételi hiba Itt is cél, hogy a mintából a sokaságra következtessünk, van reprezentativitásra való törekvés, de az általánosítás kétes. Egyszerű végrehajtás, olcsó eljárások. 15 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Nemvéletlen mintavételi eljárások n Szisztematikus mintavétel: o n Kvóta szerinti mintavétel: o o n A sokaságból egy fontosnak tekintett mennyiségi ismérv szerint azokat veszik a mintába, amelyek a sokaság nagy részét az ismérv szerint koncentrálják. Hólabda kiválasztás: o o n nem véletlenszerű a kiválasztás, de a sokaság bizonyos ismérvek szerinti megoszlását tartani kell. Ezen ismérvek szerint reprezentatív lesz, de más ismérvek szerint a választás önkényes, ez torzítja az összetételt. Koncentrált minta: o n Amennyiben a megfigyelések a listán a vizsgált ismérvtől független sorrendben szerepelnek, akkor egyszerű véletlen mintának is tekinthető. ritka nehezen számba vehető sokaságok esetén Néhány kiválasztott egyedből indulnak, majd ezek mindegyike ismeretségi körében keresi az újabb mintaelemeket és így tovább Önkényes minta: o Teljesen önkényes kiválasztása az elemeknek. 16 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Mintavétel KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA Következtetés LEÍRÓ STATISZTIKA Mintavétel 17 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Statisztikai módszertan ágai n n LEÍRÓ vagy DESKRIPTÍV statisztika o A vizsgálat tárgyát képező jelenség tömör, számszerű jellemzését adja. o Nem lép túl a megfigyelés körén, de a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglaló jellemzésére törekszik. Például: o Népszámlálási adatok feldolgozása, elemzése, a népesség számával, összetételével kapcsolatos jellemzők közzététele, megjelenítése o Gazdasági szervezetek legfontosabb adatainak közzététele statisztikai évkönyvekben o Lakásépítésről, oktatásról készített statisztikai összefoglaló o Vállalat gazdálkodásának vizsgálata 2014 ősz Kvantitatív módszerek 18

Statisztikai módszertan ágai n n KÖVETKEZTETŐ statisztika o Fő célja a mintából való következtetés, általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan. Például: o Minőségellenőrzés o Lakosság jövedelmi különbségeinek elemzése o Ingatlan árbecslések o Befektetési tanácsadások o Könyvvizsgálat o Mezőgazdaság 2014 ősz Kvantitatív módszerek 19

Leíró statisztika n Feladatai: 1. 2. 3. 4. 5. adatgyűjtés adatok ábrázolása adatok csoportosítása, osztályozása adatokkal végzett egyszerűbb aritmetikai műveletek eredmények megjelenítése 20 2014 ősz Kvantitatív módszerek

1. Adatgyűjtés n n Az egyedi mérésekből származó adatok (mennyiségi ismérvek) lehetnek diszkrétek és folytonosak. Egy diszkrét mennyiségi ismérv csak véges vagy megszámlálhatóan sok, egymástól jól elkülöníthető értéket vehet fel. o o o n Háztartások nagysága Gazdálkodó szervezetek nagysága Balesetek száma Mogyorós csokiban a mogyorók száma Adott időszak alatti meghibásodások száma Egy folytonos mennyiségi ismérv valamely adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet. o o Háztartások jövedelme Lakások alapterülete Gépkocsi abroncsok futásteljesítménye Bux index havi hozamadata 2014 ősz Kvantitatív módszerek 21

2. Az adatok ábrázolása n vonaldiagram Eszközei: oszlopdiagram kördiagram sávdiagram 22 2014 ősz Kvantitatív módszerek

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n n n Egy mennyiségi ismérv szerinti rendezés és osztályozás o X mennyiségi ismérv (Xi változatai különbségi vagy arányskálán mért, valamilyen mértékegységgel rendelkező számértékek) o X a továbbiakban változó, Xi (ismérv)érték Rangsor o A rangsor a megfigyelési egységeknek és/vagy azokhoz tartozó Xi ismérvértékeknek monoton nemcsökkenő sorrendben történő felsorolása. o Készítésének célja: megkönnyítse a sokaság egységeinek X változó szerinti osztályozását Osztályozás eredménye o Gyakorisági sor, gyakorisági eloszlás 23 2014 ősz Kvantitatív módszerek

3. Adatok csoportosítása, osztályozása Az X szerint képzett osztály alsó Osztályközép felső Tapasztalati Relatív gyakoriság határa X 10 X 11 X 1* f 1 g 1 X 20 X 21 X 2* f 2 g 2 Xi 0 Xi 1 Xi* fi gi … … … Xk 0 Xk 1 Xk * fk gk N 1 Összesen Osztályközhosszúság: 24 2014 ősz Kvantitatív módszerek

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n X ismérv szerinti osztályozás kérdései: o o n Az X változó diszkrét, és az általa felvehető értékek száma kicsi n Annyi osztályt képezünk ahány különböző X érték lehetséges n az i-edik osztály esetében fennáll az alsó és felső osztályhatár egybeesése Az X változó folytonos, vagy diszkrét ugyan, de az általa felvehető különböző értékek száma nagy n X lehetséges értékeinek tartományát osztályközökre bontjuk n az i-edik osztályköz Xi 1 felső határa nem eshet egybe az (i+1)-dik osztályköz Xi+1, 0 alsó határával Hány osztályt képezzünk? o o A gyakorlatban ehhez 5 -15 osztály használata szinte mindig elegendő. Osztályok számának meghatározása: 25 2014 ősz Kvantitatív módszerek

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n A mennyiségi sorok grafikus ábrázolásának alapját a gyakorisági táblázat készítése jelenti. 1. Osztályba sorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén); 2. gyakoriságok (fi) megállapítása; 3. relatív gyakoriságok (gi) megállapítása 4. összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása; 5. gyakorisági táblázat készítése (fi , gi , fi’ , gi’ adataiból); 6. gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése); 7. grafikus ábrázolás 2014 ősz Kvantitatív módszerek 26

Példa – kevés számú diszkrét adat n A Gazdaságstatisztika c. tárgyat a 2012 őszi félévben felvett hallgatók érdemjegyeinek gyakorisági táblázata Diszkrét ismérv által felvehető értékek pálcikadiagram lépcső alakú diagram 27 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Pálcikadiagram – diszkrét adat Érdemjegy Tapasztalati gyakoriság (fi) 1 68 2 280 3 274 4 91 5 47 Összesen 760 Relatív gyakoriság (gi) 0, 089 0, 368 0, 361 0, 120 0, 062 1 28 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Lépcső alakú diagram Érdemjegy 1 2 3 4 5 Kumulált tapasztalati gyakoriság (fi) 68 348 622 713 760 Kumulált relatív gyakoriság (gi) 0, 089 0, 458 0, 818 0, 938 1 29 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Nagyszámú folytonos adat n A Budapesti Értéktőzsde Részvényindexének (BUX) 2005 márciusától 2013 júniusáig tartó időszak havi hozamainak értékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze. 30 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Gyakorisági táblázat alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen felső határ osztály közép -15, 00% -17, 5% -10, 00% -12, 5% -5, 00% -7, 5% 0, 00% -2, 5% 5, 00% 2, 5% 10, 00% 7, 5% 15, 00% 12, 5% 20, 00% 17, 5% fi gi [%] f’i g’i [%] 2 9 9 23 32 15 8 1 99 2, 02% 9, 09% 23, 23% 32, 32% 15, 15% 8, 08% 1, 01% 100, 00% 2 11 20 43 75 90 98 99 2, 02% 11, 11% 20, 20% 43, 43% 75, 76% 90, 91% 98, 99% 100, 00% Gyakorisági hisztogram v. Gyakorisági vonaldiagram Kumulált (rel. ) gyakorisági hisztogram v. Kumulált (rel. ) gyakorisági vonaldiagram 31 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Gyakorisági hisztogram alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen felső határ osztály gi [%] közép -15, 00% -17, 5% 2, 02% GYAKORISÁGI HISZTOGRAM -10, 00% -12, 5% 9, 09% (tapasztalati (empirikus) sűrűségfüggvény) -5, 00% -7, 5% 9, 09% 0, 00% -2, 5% 23, 23% 5, 00% 2, 5% 32, 32% 10, 00% 7, 5% 15, 15% 15, 00% 12, 5% 8, 08% 20, 00% 17, 5% 1, 01% 100, 00% Gyakoriság vonaldiagramja 32 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Gyakorisági vonaldiagram 50% Relatív gyakoriság 40% 32. 32% 30% 23. 23% 20% 15. 15% 9. 09% Gyakorisági görbe 10% 8. 08% 2. 02% 9. 09% 1. 01% 0% -17. 50% -12. 50% -7. 50% -2. 50% Osztályközép 7. 50% 12. 50% 17. 50% 33 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Kumulált relatív gyakorisági hisztogram alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen 2014 ősz felső határ osztály közép -15, 00% -17, 5% -10, 00% -12, 5% -5, 00% -7, 5% 0, 00% -2, 5% 5, 00% 2, 5% 10, 00% 7, 5% 15, 00% 12, 5% 20, 00% 17, 5% g’i [%] 2, 02% 11, 11% 20, 20% 43, 43% 75, 76% 90, 91% 98, 99% 100, 00% Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Kvantitatív módszerek 34

Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény) Ogiva 35 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Tapasztalati eloszlások jellegzetességei n Középérték mutatók: o n n (Kvantilisek) Ingadozásmutatók: o n n Abszolút és relatív (Momentumok) Alakmutatók: o n Helyzeti és számított Aszimmetria és lapultság (csúcsosság) Középértékekkel szembeni elvárások: o o Közepes helyzetűek Tipikusak Egyértelműen meghatározhatóak Könnyen értelmezhetőek 36 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Medián n me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy helyzeti középérték mutató a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele Akisebb, fele pedig nagyobb, így a rangsorba állított sokasági számértékeket két mediánt tartalmazó osztály bal végpontja. egyenlő gyakoriságú osztályra bontja Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: A mediánt tartalmazó osztály hossza. n Előnye: o o n Hátránya: o n Mindig egyértelműen meghatározható Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem. Nem használható, ha az adatsorban sok az egyforma ismérvérték Egyéb tulajdonsága: ha 37 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Módusz n n n helyzeti középérték, a tipikus ismérvérték diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén a gyakorisági görbe maximumhelye. Előnye: o o n érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ sem az összes, sem a kiugró ismérvértékektől. Hátránya: nem mindig határozható meg egyértelműen, és nem is mindig létezik A móduszt tartalmazó o nagy bizonytalansággal becsülhető o osztály hossza. osztály bal végpontja. n Egyéb tulajdonsága: nyers módusz, osztályköz megválasztása n Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma 2014 ősz Kvantitatív módszerek 38

Számtani átlag n számított középértékfajta az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad. Számítása: n Előnye: n n o n bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden alapadatot felhasznál Hátránya: o érzékeny a szélsőértékekre nyesett átlag 39 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Számtani átlag n Egyéb fontos tulajdonsága: minimális, ha 40 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Harmonikus átlag n számított középértékmutató, az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad n Alkalmazása: ha az értékek reciprokainak összege értelmezhető, leíró statisztikai viszonyszámok és indexszámítás 41 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Mértani átlag n számított középértékmutató, az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad n Alkalmazása: o ha az értékek szorzata értelmezhető, illetve az átlagolandó értékek exponenciálisan nőnek vagy csökkennek o az időbeli fejlődés átlagos ütemének vizsgálatakor o idősor-elemzés 42 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Négyzetes átlag n számított középérték-mutató, az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok négyzetösszege változatlan marad n Hátránya: a kiugróan magas értékekre érzékenyen reagál Alkalmazása: o ha az előjeleknek nincs jelentősége o szórásszámítás n 43 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Kvantilisek n n a rangsorban olyan osztópontok (osztályhatárok), amelyek egyenlő relatív gyakoriságokat fognak közre Az Xi/k i-edik k-ad rendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvértékek i/k-ad része kisebb, (1 -i/k)-ad része pedig nagyobb, ahol k≥ 2 és i=1, 2 , …, k-1. 44 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Ingadozásmutatók n Csoportosításuk: o Az adathalmazban szereplő értékek változékonyságát n n o az egyes értékek egymás közötti különbségein, vagy egyes értékeknek egy kitüntetett értéktől (középérték) való eltérésein keresztül ragadja meg. Mértékegységüket tekintve: n n Abszolút mutatók: mértékegysége megegyezik az alapadatokéval Relatív mutatók: mértékegység nélküli 45 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Terjedelem n n a szóródást az adathalmazban szereplő legnagyobb és legkisebb adat különbségeként jellemzi abszolút ingadozásmutató n Előnye: a könnyű számítás Hátránya: értéke csak a két legszélsőségesebb ismérvértéktől függ, amelyeket sokszor a véletlen szeszélyeinek köszönhetünk. n Interkvantilis terjedelem n o o csökkenti a véletlen szélsőértékeket (legkisebb és legnagyobb értéket) alakító szerepét az adathalmaz két szélső k-adrendű kvantilisének különbsége 46 2014 ősz Kvantitatív módszerek

(Korrigált) tapasztalati szórás n n a szóródást az alapadatoknak egy kitüntetett értéktől (számtani átlagtól) való eltérésein keresztül méri abszolút ingadozásmutató A szórás az egyes Xi ismérvértékek átlagtól vett di eltéréseinek négyzetes átlaga: azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hiba, amit akkor követünk el, ha minden alapadatot a számtani átlaggal helyettesítünk. A számtani átlag tulajdonsága szerint ez a hiba minimális. 47 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Relatív szórás n n n relatív ingadozásmutató az ismérvértékek átlagtól vett átlagos eltérése százalékos formában kifejezve minél kisebb a relatív szórás, a számtani átlag annál jobban jellemzi az alapadatokat a szórás és a számtani átlag hányadosa, csak pozitív értékű alapadatok esetében számítható Alkalmazása: különböző sokaságok vagy ismérvek szóródásának összehasonlítására használják 48 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Átlagos abszolút különbség (G) n n n A szóródást az ismérvértékek egymás közötti különbségein keresztül méri, abszolút ingadozásmutató Azt mutatja meg, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. A minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Kényelmetlen a számítása Alkalmazási területe: koncentráció elemzés 49 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Átlagos abszolút eltérés (Δ) n n n A szóródást az értékeknek egy kitüntetett értéktől való eltéréseire támaszkodva jellemzi abszolút ingadozásmutató Az egyes ismérvértékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag 50 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Momentumok n Yi ismérvértékek vagy a di eltérések helyett a alakú eltérések hatványait átlagolják, ahol A egy tetszőleges állandó. n az Y ismérv vagy gyakorisági eloszlás A körüli r-edik momentumai: 51 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Alakmutatók n Csúcsosság: 52 2014 ősz Kvantitatív módszerek

Aszimmetria n Pearson-féle mutatószám: 53 2014 ősz Kvantitatív módszerek