Kvantitatv mdszerek MBA s Szmvitel mesterszak Szigorlati ttelek
Kvantitatív módszerek MBA és Számvitel mesterszak Szigorlati tételek 1
1. A valószínűségszámítás tárgya, alapfogalmai 2. Leíró statisztika 3. Hipotézisvizsgálatok 4. Elméleti eloszlások 2
A valószínűségszámítás tárgya, alapfogalmai – A valószínűségszámítás tárgya, a valószínűség és a valószínűségi változó fogalma, jellemzői – A valószínűségszámítás axiómarendszere – Valószínűségszámítási tételek (feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel) 3
A valószínűségszámítás tárgya • Véletlen (sztochasztikus) jelenség fogalma • Tömegjelenség fogalma 4
A valószínűség fogalma (statisztikai) A n f(A) 5
A valószínűségi változó • A valószínűségi változó fogalma – Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű függvényt, vagyis minden kimenetelhez rendeljünk hozzá egy valós számot. • A valószínűségi változó jellege – Diszkrét – Folytonos 6
A valószínűségi vált. jellemzői • • Eloszlásfüggvény Valószínűségeloszlás fv. Sűrűségfüggvény Várható érték Elméleti szórás Medián Módusz Diszkrét Folytonos F(k) pk F(x) — — f(x) M( ) D( ) me, Me mo, Mo 7
Kolmogorov axiómák 1. axióma 0 P(A) 1 2. axióma P( ) = 1, 3. axióma Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) = P(A) + P(B) 8
Feltételes valószínűség Egy esemény bekövetkezése milyen mértékben befolyásolja egy másik esemény bekövetkezését. Valószínűbb-e egy A esemény bekövetkezése, ha a B esemény már bekövetkezett? 9
A teljes valószínűség tétele Ha B 1, B 2, … Bn teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)>0 (k=1, 2, …. n), A pedig egy tetszőleges esemény, akkor 10
Bayes-tétel Az okok valószínűségének tétele Ha B 1, B 2, … Bn teljes eseményrendszer és P(Bk)>0 (k=1, 2, …. n), A pedig egy tetszőleges esemény és P(A)>0, akkor 11
Leíró statisztika – Mintavétel, mintavételi hiba, a minta adatainak feldolgozása – A grafikus ábrázolás alapjai – A legfontosabb középérték mutatók, ingadozásmutatók és alakmutatók jellemzői, az alkalmazás előnyei és hátrányai 12
Matematikai statisztika tárgya F(x), M( ), D( ) …. Sokaság Fn(x), x, Statisztikai minta A vizsgálat képező valamelytárgyát változóra s, s* Következtetés egységek összességét, vonatkozó véges számú halmazát statisztikai független megfigyelés sokaságnak nevezzük. eredménye. Mintavétel 13
Statisztikai leírás alapjai Adatgyűjtés • A statisztikai leírás célja, módszerei Kísérleti eredmények Részleges Mintavételes megfigyelés Véletlen Nem véletlen Grafikus kép Statisztikai leírás mutatói Teljeskörű Egyéb részleges Fontos: a mintavételi hiba számszerűsítésének képessége! Középértékek Ingadozásmutatók Egyéb mutatók Diszkrét és folytonos adatok Kvantitatív módszerek 14
Adatok rendezése, ábrázolása Osztályba sorolás Gyakoriságok (fi) megállapítása Relatív gyakoriság (gi) megállapítása Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív gyakoriságok (fi’; gi’) Gyakorisági táblázat Grafikus ábrázolás 15 Kvantitatív módszerek
Gyakorisági eloszlások jellegzetességei Középérték-mutatók: helyzeti és számított Ingadozásmutatók: abszolút és relatív Alakmutatók Középértékek Középérték elvárások: 1. Közepes helyzetűek 2. Tipikusak 3. Egyértelműen meghatározhatóak 4. Lehetőleg könnyen értelmezhetőek Helyzeti Számított módusz Számtani átlag Mértani átlag medián Harmonikus átlag Négyzetes átlag 16 Kvantitatív módszerek
Ingadozásmutatók • terjedelem • átlagos abszolút eltérés • szórás • relatív szórás • (momentumok) 17 Kvantitatív módszerek
Alakmutatók • A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el a normális eloszlástól • Eltérés lehet: – Bal ill. jobb oldali aszimmetria – Csúcsosság vagy lapultság 18 Kvantitatív módszerek
Hipotézisvizsgálatok – A hipotézisvizsgálatok lényege, fajtái, a következtetés hibái – A hipotézisvizsgálatok általános menete – Paraméteres és nemparaméteres próbák, alkalmazásuk feltételei, módszerei 19
Hipotézis Statisztikai hipotézisen a vizsgált sokaság(ok)ra (valószínűség-eloszlásra) vagy ennek paramétere(i)re vonatkozó valamilyen feltevést értünk. 20
Következtetés hibái H 0 Minta-1 igaz Mintából következtetünk !!! nem igaz Döntésünk H 0 -ról Minta-2 nem Minta-3 Nincs hiba Másodfajú hiba el !!! Hibát követhetünk Elsőfajú hiba Elsőfajú ( ) hiba Másodfajú Nincs hiba e hiba ( ) 21
Fajtái • Paraméteres próbák (normális eloszlás) – középérték(ek)re vonatkozó – szórás(ok)ra vonatkozó – egyéb • Nemparaméteres próbák – – illeszkedésvizsgálat homogenitásvizsgálat függetlenségvizsgálat egyéb 22
Általános menet röviden • Hipotézisek (H 0, H 1) felállítása • Próba kiválasztása, mintavétel, minta feldolgozása, elsőfajú hiba, kritikus érték meghatározása • Próbastatisztika kiszámolása • Összehasonlítás • Döntés a nullhipotézisről 23
“Szakácskönyv” Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2 próbával H 0: F=F 0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Variancia analízis H 0: μ 1=μ 2=…=μn σ1=σ2=…=σn Egymintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Egymintás z-próba H 0: μ=μ 0 σ ismert, vagy n>30 Egymintás t-próba H 0: μ=μ 0 σ ismeretlen 25 Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Cochran-féle C próba H 0: σ1=σ2=…=σr n 1=n 2=…=nr=n Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére χ2 -próba a szórásnégyzetre H 0: σ2=σ20 Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Független minták esetén Kétmintás z-próba H 0: μ 1=μ 2 σ1, σ2 ismert, vagy n 1, n 2>30 Kétmintás t-próba H 0: μ 1=μ 2 σ1, σ2 ismeretlen, σ1 = σ2 Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Páros minták esetén F-próba H 0: σ21 =σ22
Elméleti eloszlások és statisztikai döntéselmélet – A valószínűségi változó fogalma, az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény – Diszkrét elméleti eloszlások (binomiális, Poisson) alkalmazási területei, tulajdonságai – Folytonos elméleti eloszlások (exponenciális, Gauss) alkalmazási területei, tulajdonságai 26
A valószínűségi változó • A valószínűségi változó fogalma – Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű függvényt, vagyis minden kimenetelhez rendeljünk hozzá egy valós számot. • A valószínűségi változó jellege – Diszkrét – Folytonos 27
Eloszlásfüggvény F(x) = P( < x ) Tulajdonságai: Monoton növekvő: F(x 1) F(x 2), ha x 1 < x 2 Balról folytonos, szakadáshelyein a függvényérték a baloldali határértékkel egyezik meg. 28
f(x) sűrűségfüggvény f(x) = F’(x) Tulajdonságai: f(x) 0 29
Elméleti eloszlások • Diszkrét eloszlások – Karakterisztikus eloszlás – Diszkrét egyenletes – Binomiális – Poisson • Folytonos eloszlások – Folytonos egyenletes – Exponenciális – Normális (Gauss-) – Weibull – Student-, F-, Khi-négyzet, stb. 30
Binomiális eloszlás • Kétkimenetelű események • n megfigyelést, kísérletet végzünk • Az egyes megfigyelések, kísérletek függetlenek egymástól. • Például: – – – Pénzfeldobásnál a fejdobások számát figyeljük. Kétkimenetelű az eseménytér: fejet vagy írást dobunk. A fej dobásának valószínűsége: 0, 5. 10 megfigyelést végzünk. A kísérletek egymástól függetlenek. Mekkora a valószínűsége, hogy a kísérlet végén éppen öt fejet dobtunk? 31
Poisson-eloszlás A kis valószínűségű, vagyis ritka események eloszlástörvényének is nevezik. Adott időszak alatt bekövetkező egymástól független véletlen események számát írja le. Illetve az ún. véletlen pontelhelyezkedések számát, adott felületen, hosszon, térfogatban stb. Binomiális eloszlás helyettesítése: ha n és p 0 valamint np = áll. , akkor a binomiális eloszlás helyettesíthető np = paraméterű Poisson-eloszlással. 32
Exponenciális eloszlás • • Véletlen hosszúságú időtartamok eloszlása Emlékezetnélküli vagy örökifjú Szórása egyenlő a várható értékével A várható érték nem a leggyakoribb érték! – Alkatrészek, berendezések hibamentes működési ideje 33
Normális eloszlás • A leggyakoribb eloszlás a menedzsmentben • Központi határeloszlás tétele – Arányos skálán mérhető termékjellemzők és technológiai paraméterek – Több tényező összegződése révén előálló mennyiség eloszlásának modellezése – Véletlen jellegű mérési hibák matematikai leírása – Technológiai folyamatok irányítási algoritmusának kialakítása • Standardizálás jelentősége! 34
- Slides: 33