Kvantitatv mdszerek Dntselmlet Statisztikai dntsek alapelvei II Eddig

Kvantitatív módszerek Döntéselmélet Statisztikai döntések alapelvei II.

Eddig megismert döntési kritériumok Két példa: – RÉF telekvásárlási probléma, – újságos példányszám rendelési probléma Bizonytalan döntések osztálya – Wald – Maximax – Savage Mindkét példán megnéztük – Hurwicz – Laplace Kockázatos döntések osztálya – a priori információk – Legnagyobb valószínűség kritérium Csak újságárus – Várható érték kritérium példa – Várható (elmulasztott) pénzérték kritérium

Bizonytalan döntések osztálya HURWICZ kritérium: optimizmus együttható – a döntéshozó egy φ optimizmus együtthatót határoz meg a [0, 1] intervallumon belül, a pesszimizmus együttható (1 -φ). – Ha egy adott S stratégia u 1 i, u 2 i, . . . , umi hasznosságú következménnyel járhat, akkor a stratégia φ indexe kifejezhető: ahol Mi az uij értékek között a legnagyobbat, az mi pedig a legkisebbet jelenti. – A döntéshozó a φ indexek sorrendjében preferálja az egyes stratégiákat.

Újságárusos példa döntési mátrixa t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 32 32 s=17 29 34 34 s=18 26 31 36 36 s=19 23 28 33 38 38 38 s=20 20 25 30 35 40 40 40 s=21 17 22 27 32 37 42 42 s=22 14 19 24 29 34 39 44 44 44 s=23 11 16 21 26 31 36 41 46 46 s=24 8 13 18 23 28 33 38 43 48

Példa – Hurwicz kritérium Tegyük fel, hogy az újságárus 75%-os optimista, azaz φ=0, 75. A következő táblázatban tüntetjük fel a cselekvési változatokhoz tartozó legnagyobb és legkisebb nyereségeket, a φ indexet (Hurwicz-átlagot), valamint ez utóbbi értékét φ=0, 75 esetén. Legnagyobb nyereség (Mi) s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Legkisebb nyereség (mi) 32 29 26 23 20 17 14 11 8 32 5φ+29 10φ+26 15φ+23 20φ+20 25φ+17 30φ+14 35φ+11 40φ+8 32 32, 75 33, 5 34, 25 35, 00 35, 75 36, 50 37, 25 38 Az újságos döntési problémájában minden φ<0, 6 értékre a 16 példány lesz az optimális, φ>0, 6 esetén pedig a 24 példány a legjobb választás, míg a φ=0, 6 esetén mindegyik cselekvési lehetőséghez ugyanaz a φ(si) érték tartozik.

32 s 24 5φ+29 φ=0, 6 s 16 10φ+26 30 30 20 20 15φ+23 20φ+20 25φ+17 10 10 0 30φ+14 35φ+11 40φ+8 φ 1

Kockázatos döntések osztálya 1. 2. 3. Ha a döntés következményeit befolyásoló lehetséges eseményekre vonatkozóan a döntéshozó csak részleges információval bír, akkor kockázattal áll szemben. A kockázatos döntések osztályába tartoznak mindazok a döntések, amelyek esetében a tényállapotok (vagy következmények) valószínűségei ismertek, azaz ismeretes a valószínűség-eloszlásuk. A döntési probléma megoldása ilyenkor a következő: választ egy döntési kritériumot; értékeli az egyes cselekvési lehetőségeket; a választott kritériumnak megfelelően kiválasztja az optimális cselekvési lehetőséget.

Kockázatos döntések osztálya A priori információk alapján működő döntési kritériumok: – Legnagyobb valószínűség kritériuma (maximum likelihood kritérium) – Várható érték kritérium – Várható (elmulasztott) pénzérték kritérium A priori és új információk ötvözése a tényállapotokra vonatkozó valószínűségek „finomítása” – Bayes-féle kritérium

Kockázatos döntés az elsődleges információk alapján Nézzük a RÉF problémáját újra! Dr. Vizy számára a bizonytalanság azt jelenti, hogy nem tudhatja hogyan dönt a megyei tanács, merre fogják építeni az új utat (azaz t 1 és t 2 tényállapotok közül melyik következik be). Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t 1 t 2 feltételes következmények s 1 1400 -140 s 2 770 700

Kockázatos döntés az elsődleges (a priori) információk alapján Dr. Vizy véleménye: a hőforrás felé vezető út építésére az esély 3 az 1 -hez a másfelé vezető úttal szemben. A két lehetséges tényállapot bekövetkezésének (szubjektív) valószínűsége: P(t 1)=0, 75 P(t 2)=0, 25 Számítsuk ki mindkét cselekvési lehetőség várható pénzértékét!

Kockázatos döntés az elsődleges információk alapján Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t 1 VP kiszámítása t 2 feltételes következmények s 1 1400 -140 1400· 0, 75 -140· 0, 25=1015 s 2 770 700 tényállapotok valószínűségei 0, 75 0, 25 770· 0, 75+700· 0, 25= 752, 5 A telekvásárlás várható pénzértéke 1 015 000 Ft. A bankbetétbe helyezés várható pénzértéke 752 500 Ft. A VP kritérium alapján a telekvásárlás az optimális cselekvési lehetőség, ehhez a maximális VP 1 015 000 Ft. Ez a rendelkezésre álló információk alapján hozott döntés várható pénzértéke.

Bayes-féle kritérium Az optimális várható érték kritérium Abban az esetben, ha a döntési problémában az „esélyeknek”, azaz valószínűségeknek szerepe van, akkor a döntést hozók az optimális várható érték alapján döntenek. Azt a cselekvési változatot választják, amelyiknek a „várható kilátása” a legjobb. VP és VEP kombinált kritériumok: egyszerre veszik figyelembe mind a pénzügyi következményeket, mind pedig a lehetséges események bekövetkezésének valószínűségeit. A döntéshozó megpróbál újabb információt szerezni a bizonytalanság csökkentése érdekében. Mennyit érdemes új információkra költeni? A megszerzett új információ hogyan befolyásolja a döntéshozó jövőbeli cselekvéseit, valamint azok következményeit?

Teljes információ A döntési problémában fennálló bizonytalanság nem szűnt meg a VP-k meghatározásával. A valódi nyereség értéke attól függ, hogy t 1 és t 2 közül melyik következik be. Mi az ami egyedül meg tudja szüntetni a bizonytalanságot? – A tökéletes előrejelzés Létezik a megyében egy „főszakértő”, aki 100%-os biztonsággal meg tudja mondani, hogy Réz megye tanácsa hogyan fog dönteni az útépítés ügyében, – Ez az információ pénzbe kerül! Dr. Vizy nem rohan azonnal a „főszakértőhöz”, végiggondolja, hogy mennyit volna érdemes érte fizetni?

Teljes információ „Ha felkeresném a főszakértőt és egyeztetnék vele, akkor nyilvánvalóan nem döntök a cselekvési lehetőségek kérdésében, amíg meg nem mondja, melyik esemény fog bekövetkezni. Ha azt mondja, hogy az utat a hőforrás felé építik (vagyis t 1 tényállapot következik be), akkor a nyereségem 1, 4 m. Ft, vagy 770000 Ft aszerint, hogy melyik cselekvési lehetőséget választom. Természetesen úgy döntök, hogy a RÉF megveszi a telket, mivel ez hozza a nagyobb nyereséget, ha az új út a hőforrás felé vezet. Ha viszont a főszakértő előrejelzése szerint az új út nem a hőforrás felé épül (vagyis t 2 tényállapot következik be), akkor vagy 140000 Ft veszteségem lesz, vagy 700000 Ft nyereségem aszerint, hogyan döntök a cselekvési lehetőségekről. Nyilvánvalóan bankba teszem a pénzt, hiszen csak így jutok nyereséghez, ha az új út nem a hőforrás felé vezet. ” Dr. Vizy elhatározta, hogy a főszakértő előrejelzése szerint melyik cselekvési lehetőséget választja. Amennyiben a tökéletes előrejelzés t 1, úgy s 1 cselekvési lehetőséget választja, ha az előrejelzés t 2, akkor s 2 cselekvési lehetőséget választja.

Teljes információ „Miután a főszakértő előrejelzései teljesen biztosak, ő akkor és csak akkor mondja, hogy t 1 következik be, ha valóban t 1 következik be. Valamint akkor és csak akkor lesz t 2 az előrejelzés, ha valóban t 2 következik be. Ebből az következik, hogy annak a valószínűsége, hogy a főszakértő előrejelzése t 1 lesz, ugyanannyi, mint a t 1 tényállapot bekövetkezésének a valószínűsége. P(a tökéletes előrejelzés t 1)=P(t 1) Ugyanígy a másik lehetséges tényállapotra vonatkozóan is: P(a tökéletes előrejelzés t 2)=P(t 2) Mivel szerintem a t 1 bekövetkezésének valószínűsége 0, 75 és t 2 valószínűsége 0, 25, ezért annak a valószínűsége, hogy a főszakértő előrejelzése t 1 lesz, szintén 0, 75, míg annak valószínűsége, hogy t 2 -t mond, 0. 25. Már eldöntöttem, hogy t 1 esetén s 1 -et választom, így biztos 1, 4 m. Ft nyereséghez jutok, és t 2 bekövetkezése esetén s 2 -őt, mivel biztos 700000 Ft nyereséghez jutok. Ez azt jelenti, hogy 0, 75 valószínűséggel 1, 4 m. Ft nyereségem lesz, és 0, 25 valószínűséggel 700000 Ft nyereségem lesz. A főszakértő tökéletes előrejelzésének megszerzése esetén a várható nyereségem Ft-ban: 1400000· 0, 75+700000· 0, 25=1225000

Teljes információ Lehetséges előrejelzés Optimális cselekvés, ha ti következik be Az optimális cselekvés pénzértéke Az előrejelzés valószí-nűsége A VP(TI) kiszámítása t 1 s 1 1400 0, 75 1400· 0, 75=1050 t 2 s 2 700 0, 25 700· 0, 25=175 1, 00 VP(TI)=1225 Összeg A 1225 ezer Ft nem mást, mint a Dr. Vizy döntéséhez tartozó VP(TI), ha úgy határoz, hogy felkeresi a főszakértőt és megszerzi a tökéletes előrejelzést. Az ilyen várható értéket nevezzük a teljes információ birtokában hozott döntés VP-jének. 1225 ezer Ft (teljes információ birtokában, VP(TI)) > 1015 ezer Ft (rendelkezésre álló információk birtokában, VP(RI))

Teljes információ várható értéke = legfeljebb mekkora összeget érdemes kifizetnie a döntéshozónak a tökéletes előrejelzésért A teljes információ alapján hozott döntés várható pénzértéke: VP(TI)=1225000 Ft A rendelkezésre álló információ birtokában hozott döntés várható pénzértéke: VP(RI)=1015000 Ft A két pénzérték különbsége: 210000 Ft. Azaz legfeljebb 210000 Ft-ot fizethet a főszakértőnek. Ha a főszakértő ennél kisebb összegért hajlandó nyilatkozni, akkor érdemes vele előrejeleztetni. A teljes információ várható értéke (TIV) a két várható érték különbsége. Kiszámításakor a teljes információ birtokában hozott döntés VP-jéből kivonjuk a rendelkezésre álló információ birtokában hozott döntés VP-jét.

Teljes információ várható értéke Ha a főszakértő valóban létezne, akkor a döntéshozó előbb megkérdezné, hogy melyik tényállapot következik be, és azután választana a lehetséges cselekvések közül. Mivel a teljes információ valószínűleg nagyon sokba kerül, így a főszakértő megkérdezése nélkül kell a döntéshozónak kiszámítania a VP(TI) értéket, hogy elképzelése legyen arról, hogy mennyit ér a teljes információ. Ez azt jelenti, hogy a VP(TI) kiszámításakor a döntéshozó nem tudja, hogy melyik esemény következik be, hiszen még nem kapta meg a teljes információt, vagyis a bizonytalanság nem változik a VP(TI) kiszámításával.

Új (teljes) információk hatása a valószínűségekre Az „a priori” valószínűségek az alábbiak voltak: P(t 1)=0, 75; P(t 2)=0, 25. Hogyan változtatná meg a teljes információ Dr. Vizy a priori valószínűségeit? Ha a főszakértő előrejelzése t 1, akkor Dr. Vizy biztos lehet abban, hogy t 1 bekövetkezik és ugyanúgy biztos lehet abban is, hogy t 2 nem következik be. P(t 1| a főszakértő előrejelzése t 1)=1 P(t 2| a főszakértő előrejelzése t 1)=0 Mivel ezek a valószínűségek a teljes információ megszerzése után keletkeztek, a posteriori valószínűségeknek nevezzük őket. Ezek szintén teljes eseményrendszert alkotnak.

Új (teljes) információk hatása a valószínűségekre Ha a teljes információ t 1 bekövetkezését állítja, az eseményekhez rendelt valószínűségek megváltoznak: az a priori valószínűségek szerepét az a posteriori valószínűségek veszik át. A priori P(t 1)=0, 75 A posteriori P(t 1| tökéletes előrejelzés: t 1)=1 P(t 2)=0, 25 P(t 2| tökéletes előrejelzés: t 1)=0 Összeg: 1, 00 1 Ha a tökéletes előrejelzés t 2, akkor a döntéshozó biztos lehet abban, hogy t 2 bekövetkezik, és t 1 nem következik be. A priori A posteriori P(t 1)=0, 75 P(t 2)=0, 25 Összeg: 1, 00 P(t 1| tökéletes előrejelzés: t 2)=0 P(t 2| tökéletes előrejelzés: t 2)=1 1

Új (teljes) információk hatása a valószínűségekre A főszakértő kétféle előrejelzésének megfelelően két különböző a posteriori valószínűségeloszlást kaptunk. Az a tény, hogy az a posteriori valószínűségek értéke mindenütt 1 vagy 0, azt mutatja, hogy a teljes információ birtokában a döntési problémában megszűnt a bizonytalanság. A nem teljes (részleges) információ alapján az a posteriori valószínűségeket Bayes-tétele alapján számíthatjuk ki.

Kockázatos döntés a pótlólagos információk alapján Dr. Vizy megpróbál a teljes információ helyett egyéb kisegítő információkat szerezni: közvélemény-kutatóra támaszkodik 115000 Ft-ért, melynek jelentése valamelyik tényállapot előrejelzésével zárul. A közvélemény-kutató előrejelzése azonban hibával terhelt: – amennyiben a megyei tanács határozata alapján az utat a hőforrás felé vezetik, 80% a valószínűsége, hogy a közvéleménykutató előrejelzése is a hőforrás felé vezető út lesz. 90%-os valószínűséggel jeleznek nem a hőforrás felé vezető útépítést, ha az út valóban nem a hőforrás felé épül. Mivel a közvéleménykutató nem teljes információt szolgáltat, el kell eldönteni, hogy nem túl drága-e az új információ.

Új (részleges) információk hatása a valószínűségekre A t 1 és t 2 tényállapotokhoz rendelt a priori valószínűségek rendre 0, 75 és 0, 25. z 1: a közvéleménykutató előrejelzése szerint az új út a hőforrás felé épül z 2: a közvéleménykutató előrejelzése szerint az új út nem a hőforrás felé épül – Teljes eseményrendszert alkotnak. – z 1 -et és z 2 -őt az információ lehetséges kimeneteleinek nevezzük, ezt a döntéshozó nem befolyásolhatja.

Új (részleges) információk hatása a valószínűségekre Az ismert valószínűségek: t 1 a priori valószínűsége: P(t 1)=0, 75 t 2 a priori valószínűsége: P(t 2)=0, 25 t 1 bekövetkezése esetén a z 1 előrejelzés valószínűsége: P(z 1|t 1)=0, 80 t 1 bekövetkezése esetén a z 2 előrejelzés valószínűsége: P(z 2|t 1)=1–P(z 1|t 1)=1– 0, 80=0, 20 t 2 bekövetkezése esetén a z 2 előrejelzés valószínűsége: P(z 2|t 2)=0, 90 t 2 bekövetkezése esetén a z 1 előrejelzés valószínűsége: P(z 1|t 2)=1–P(z 2|t 2)=1– 0, 90=0, 10

Új (részleges) információk hatása a valószínűségekre Tény-állapotok t 1 t 2 Lehetséges előrejelzések z 1 z 2 P(z 1|t 1)=0, 80 P(z 2|t 1)=0, 20 P(z 1|t 2)=0, 10 P(z 2|t 2)=0, 90 a priori valószínűség 0, 75 0, 25 Kétféle a posteriori valószínűségeloszlást kell figyelembe vennie ahhoz, hogy értékelhesse a közvéleménykutató jelentését. Az egyik a posteriori valószínűség z 1 előrejelzése esetén adódik, a másik pedig z 2 esetén. Az a posteriori valószínűségeloszlásokat Bayes-tétel segítségével számítjuk ki, miután adott P(zk|ti) és P(ti) valószínűségekből a P(ti| zk) valószínűségeket kell számítanunk.

Új (részleges) információk hatása a valószínűségekre z 1 előrejelzése esetén a P(ti) a priori valószínűségekből milyen P(ti|z 1) a posteriori valószínűségek adódnak Tényáll. t 1 t 2 Összeg A priori val. Feltételes val. P(ti) P(z 1|ti) 0, 75 0, 80 0, 25 0, 10 1, 00 Együttes val. P(ti∩z 1) 0, 6 0, 025 0, 625=P(z 1) A posteriori val. P(ti|z 1) 0, 6/0, 625=0, 96 0, 025/0, 625=0, 04 1, 00

Új (részleges) információk hatása a valószínűségekre A z 2 esetén adódó a posteriori valószínűségek: Tényáll. t 1 t 2 Összeg A priori val. P(ti) 0, 75 0, 25 1, 00 Feltételes val. P(z 2|ti) 0, 20 0, 90 Együttes valószínűségek P(ti∩z 2) 0, 150 0, 225 0, 375=P(z 2) A posteriori val. P(ti|z 2) 0, 150/0, 375=0, 4 0, 225/0, 375=0, 6 1, 0 A két táblázatból látható, hogy P(z 1)+P(z 2)=0, 625+0, 375=1, 000, mivel az információ lehetséges kimenetelei teljes eseményrendszert alkotnak.

Új (részleges) információk hatása a valószínűségekre Tényáll. ti A priori val. P(ti) t 1 t 2 Összeg 0, 75 0, 25 1, 00 A posteriori valószínűségek P(ti|zk) z 1 z 2 0, 96 0, 40 0, 04 0, 60 1, 00 Ha az előrejelzés szerint az új utat a hőforrás felé építik (z 1), akkor a t 1 tényállapot bekövetkezésének a posteriori valószínűsége nagyobb lesz, mint az a priori. A döntéshozó számára a bizonytalanság nem szűnt meg! (csak „finomodtak” a tényállapotokra vonatkozó ismeretei)

Várható pénzérték kiszámítása nem teljes információ esetén Na de melyik az optimális cselekvési stratégia? Amennyiben a közvéleménykutatási jelentés szerint az új utat a hőforrás felé építik (z 1), a módosult tényállapot valószínűségek: P(t 1|z 1)=0, 96 P(t 2|z 1)=0, 04 Posteriori VP-k z 1 előrejelzése esetén: VP(s 1|z 1)=O 11·P(t 1|z 1)+O 12·P(t 2|z 1)=1400· 0, 96+(– 140)· 0, 04=1338, 4 VP(s 2|z 1)=O 21·P(t 1|z 1)+O 22·P(t 2|z 1)=770· 0, 96+700· 0, 04=767, 2 A telekvásárlás az optimális stratégia.

Várható pénzérték kiszámítása nem teljes információ esetén Amennyiben a közvéleménykutatási jelentés szerint az új utat a nem a hőforrás felé építik (z 2), a valószínűségek: P(t 1|z 2)=0, 40 P(t 2|z 2)=0, 60 Posteriori VP-k z 2 előrejelzése esetén : VP(s 1|z 2)= =O 11·P(t 1|z 2)+O 12·P(t 2|z 2)=1400· 0, 40+(– 140)· 0, 60=476 A bankbetét az optimális stratégia. VP(s 2|z 2)= =O 21·P(t 1|z 2)+O 22·P(t 2|z 2)=770· 0, 40+700· 0, 60=728

Kockázatos döntés az etikai neutralitás alapján Ha egy kockázatos döntési probléma esetében a döntést hozó közömbös (etikailag neutrális) a cselekvési változatok között, akkor a cselekvési változatok várható értékei számára azonosak. Ekkor a közömbösség azt jelenti, hogy a döntéshozó számára a két cselekvési változat várható értéke azonos, tehát: Az ismeretlen valószínűségeket jelöljük a következőképpen:

Kockázatos döntés az etikai neutralitás alapján Ekkor az etikai neutralitás elve alapján felírt várható értékek azonossága kifejtve a következő: t 1 t 2 s 1 1400 -140 s 2 770 700 Így P(t 1)=57, 1% és P(t 2)=42, 9%, M(s 1)=M(s 2)=739 970 Ft Ez azt is jelenti, hogy abban az esetben, ha a t 1 tényállapot valószínűsége 57, 1%-nál nagyobb, a telekvásárlás, mint cselekvési változat mindig előnyösebb, mint a pénz bankba helyezése.

Biztos döntések osztálya Biztosan tudjuk, hogy egy cselekvési változat esetében melyik következmény lesz az eredmény, döntéshozó minden olyan tényezőt pontosan ismer, amely tényezők a következményeket befolyásolják. – biztosan (tehát 1 valószínűséggel) tudjuk, hogy melyik tényállapot következik be – a cselekvési változathoz tartozó egyetlen eredmény (következmény) bekövetkezését tekintjük biztosnak A döntéshozó biztosan tudja, hogy a lehetséges események közül melyik következik be. Pontosan meg tudja határozni, hogy az egyes cselekvési lehetőségekhez milyen következmények tartoznak. Eszköze: matematikai programozás