Kvantitatv mdszerek Dntselmlet Statisztikai dntsek alapelvei Bevezets Dntsi

Kvantitatív módszerek Döntéselmélet Statisztikai döntések alapelvei

Bevezetés Döntési problémáink a következőkkel jellemezhetők: – – Kitűzünk egy bizonyos célt, amelyet adott körülmények között el kell érnünk. A cél elérése érdekében kettő vagy több cselekvési lehetőség közül választhatunk. Bizonytalanságban vagyunk. A bizonytalanság foka csökkenthető valamilyen információ megszerzésével, de ez az információ pénzbe kerül. Hogyan fogunk haladni? 1. 2. Megvizsgáljuk, hogy milyen döntési körülmények között lehet dönteni: bizonyosság, kockázat, bizonytalanság és a konfliktus A döntési probléma megoldását segítő kritériumok körének megismerése.

Esetpéldánk A Réz Megyei Fürdőigazgatóság (RÉF) egy hőforrás környékén megvehetne 10 ha területet 14 m. Ft-ért. A RÉF szakértője, Dr. Vizy a következő pénzügyi évet vizsgálva úgy látja, hogy a 14 m. Ft befektetésére nincs más, különlegesen jó lehetőség. Ha nem veszik meg a telket, akkor a Réz Megyei Bankba (RMB) teszik a pénzt. Dr. Vizynek, mint döntéshozónak a telekvásárlási problémában két cselekvési lehetősége van: 1. a RÉF megveszi 14 m. Ft-ért a 10 ha területet; 2. betétbe teszi a 14 m. Ft-ot a bankban. Réz megye tanácsának határozatától függ, hogy építenek-e utat a hőforrás felé, vagy sem. Dr. Vizy szerint a telkek értéke már az első évben 10%-ot emelkedik, ha az út a hőforrás felé épül, viszont 1%-kal csökken, ha a tanácsi határozat szerint másfelé lesz útépítés.

Esetpéldánk Az RMB különleges bank, neki magának is érdeke fűződik a hőforrás felé vezető úthoz, mivel óriási területeket bérel a hőforrás környékén. Így az RMB-nél elhelyezett betétek különbözőképpen kamatoznak: az RMB 5, 5% kamatot fizet évente, ha az új út a hőforrás felé vezet, és a szokásos 5%-ot fizeti, ha az út nem a hőforrás felé vezet. Dr. Vizy számára még egyszerű bankbetét esetén sem mindegy, hogy a lehetséges események közül melyik következik be. Bármelyik cselekvési lehetőségének pénzügyi következménye a két lehetséges tényállapot bekövetkezésétől függ, ahol: §az új út a hőforrás felé vezet; §az új út nem a hőforrás felé vezet. Milyen döntést hozna Dr. Vizy, ha nincs információja, ha tökéletes információval rendelkezik, és ha közvéleménykutatók jelentésére támaszkodik?

Döntési alapmodell Döntés : – az egyén vagy csoport, azaz a döntést hozó legalább két cselekvési változat (cselekvési mód) közötti választás problémájával áll szemben. A döntési alapmodell elemei: – Döntéshozó: az a személy (vagy csoport), aki a cselekvési változatok közül választ egyet célja(i) van(nak) – Cselekvési változatok, stratégiák (si, i=1, 2, …, n): a döntéshozó hatáskörébe tartozó szabályozható változók együttese, illetve a rendelkezésére álló erőforrások bizonyos formában való felhasználása n n a cselekvési változatoknak különböző következményeik/eredményeik vannak nem határozzák meg egyértelműen a következményeket, a tényállapotok is hatással vannak következményekre, eredményekre

Döntési alapmodell Tényállapotok (tj): a tényállapotok olyan eseményeknek tekinthetők, amelyek nem a cselekvési változat tényezőinek hatására következnek be, de a cselekvési változat következményére hatással vannak. A döntéshozó által nem (vagy csak részlegesen) szabályozható változók együttese. Következmények, eredmények (oij, i-edik cselekvési változat és jedik tényállapot együttes következménye): egy következmény egy cselekvési változat és egy tényállapot együttes hatásának eredménye, P(tj)=P(oij), ha a tényállapot és cselekvési változat független. Tényállapotok valószínűségei P(tj): rendszerint nem tudjuk biztosan megmondani, hogy milyen tényállapot (esemény) van jelen, illetve milyen következik be később. Megállapításaink csak bizonyos valószínűséggel érvényesek. A cselekvési változatok nincsenek hatással a tényállapotok valószínűségeire.

Döntési alapmodell Döntési kritérium: olyan előírás, amely megmondja, hogyan használjuk fel az előbbi információkat egyetlen cselekvési változat kiválasztására. A döntéshozó számára a bizonytalanság abból adódik, hogy nem ismeri teljesen a valóságos helyzetet, illetve a valóságnak azt a részét, amelyet nem befolyásolhat. Valójában mégis ezek az ellenőrizhetetlen tényezők alakítják a következményeket. Attól függően, hogy a döntéshozó rendelkezésére álló információk mennyire írják körül a lehetséges eseményeket, a döntés körülményeit a következő kategóriákba sorolhatjuk: – bizonytalanság; – kockázat; – bizonyosság; – konfliktus

Döntéselméleti alapok s 1= a RÉF megveszi 14 m. Ft-ért a 10 ha területet s 2 = a RÉF betétbe teszi a 14 m. Ft-ot a bankba t 1 = az új út a hőforrás felé vezet t 2 = az új út nem a hőforrás felé vezet Cselekvési lehetőségek s 1 s 2 Tényállapotok t 1 t 2 feltételes következmények 1400 -140 770 700

A döntési folyamat logikája A döntéshozó a cselekvési változatok és következmények ismeretében megfontolja, hogy: – az egyes tényállapotok mekkora valószínűséggel következnek be (vagy vannak jelen) – Ha a cselekvési változatok és a tényállapotok egymástól nem függetlenek, akkor a következmények valószínűségét tekinti. – A függetlenséget úgy értelmezzük, hogy a cselekvési változatok nem változtatják meg a tényállapotok valószínűségeit. Miképpen határozzuk meg a tényállapotok bekövetkezésének (vagy a következményeknek) a valószínűségét?

Döntéselméleti alapok 1. 2. 3. A döntéshozó korábbi tapasztalataira alapozott szubjektív becslés: a priori valószínűség n A tényállapotok egymást kizárják, és teljes eseményrendszert alkotnak, azaz valamelyik biztosan bekövetkezik a valószínűségek összege 1. Új információk szerzése: teljes vagy részleges n Részleges információt mintavétellel szerzünk, fennáll a tévedés lehetősége: első- és másodfajú hibát követhetünk el A kettő kombinációja: az a priori és új információk ötvözése n Ún. Bayes-féle logika: az a priori információk (a tapasztalatokon nyugvó megállapítások) módosítása az új információk tükrében n Alapja a Bayes-tétel

Döntési kritériumok Nincs egységes döntési kritérium! A döntési kritériumok döntési osztályonként változnak. Döntési osztályokat a tényállapotokra (vagy következményekre) vonatkozó valószínűségek alapján állítunk fel. Három döntési osztályt szokás megkülönböztetni: – a bizonytalan, – a kockázatos, – a biztos és – a konfliktusos döntések osztályát.

Bizonytalan döntések osztálya Bizonytalanság: a döntéshozó semmit nem tud a lehetséges események bekövetkezéséről. Nem tudja, hogy melyik lehetséges tényállapot fog bekövetkezni, és a tényállapotokhoz tartozó valószínűségek is ismeretlenek számára. A bizonytalan döntések osztályába soroljuk azokat a döntési problémákat, amelyekben nem ismerjük a tényállapotok (illetve következmények) valószínűségeit. Kiindulási állapot: a döntéshozó minden esetben a maximális nyereség elérésére törekszik. A különböző egyéniségű döntéshozók más és más kritériumot alkalmaznak a legjobb cselekvési lehetőség kiválasztására.

Bizonytalan döntések osztálya Wald kritérium (minimax vagy maximin kritérium): pesszimista és óvatos döntéshozó kritériuma n minden egyes cselekvési változat esetében a legrosszabb következményt tekintve ezek közül a legjobbat, azaz a relatíve legkisebb rosszat választja Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t 1 t 2 feltételes következmények s 1 1400 -140 s 2 770 700 Döntés: s 2, vagyis a RÉF bankba teszi a pénzét

Bizonytalan döntések osztálya Maximax kritérium: optimista döntéshozó kritériuma, mindig a legjobbra számít n Minden cselekvési lehetőségnél azt nézi meg, hogy melyik a legjobb következmény, majd ezek közül is a legjobbat választja. Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t 1 t 2 feltételes következmények s 1 1400 -140 s 2 770 700 Döntés: s 1, vagyis a RÉF a telekvásárlás mellett dönt.

Bizonytalan döntések osztálya SAVAGE kritérium: minimális megbánás kritériuma 1. 2. Regret-mátrix készítése, a regret adott tényállapot mellett az optimális és a tényleges döntés közötti különbség a következmények értékében mérve. A regret mátrixra Wald kritérium alkalmazása. t 1 t 2 0 840 630 0 s 1 1400 -140 s 2 770 700 s 1 s 2 Döntés: s 2, vagyis a RÉF bankba teszi a pénzét.

Bizonytalan döntések osztálya HURVICZ kritérium: optimizmus együttható – – a döntéshozó egy φ optimizmus együtthatót határoz meg a [0, 1] intervallumon belül, a pesszimizmus együttható (1 -φ). Ha egy adott S stratégia u 1 i, u 2 i, . . . , umi hasznosságú következménnyel járhat, akkor a stratégia φ indexe kifejezhető: ahol Mi az uij értékek között a legnagyobbat, az mi pedig a legkisebbet jelenti. – A döntéshozó a φ indexek sorrendjében preferálja az egyes stratégiákat.

Bizonytalan döntések osztálya HURVICZ kritérium: optimizmus együttható Cselekvési lehetőségek – Tényállapotok t 1 t 2 feltételes következmények s 1 1400 -140 s 2 770 700 Képezve mindkét cselekvési változat φ indexét, az alábbiakat kapjuk:

Bizonytalan döntések osztálya LAPLACE kritérium: – legcélszerűbb, ha minden egyes eseményt azonos valószínűséggel tekintünk t 1 t 2 s 1 1400 -140 s 2 770 700 Döntés: s 2, vagyis a RÉF bankba teszi a pénzt.

Bizonytalan döntések osztálya – Nincs egységes döntési kritérium n Wald kritérium n Savage kritérium n Hurvicz kritérium n Laplace kritérium n Tudományos szempontból nem kezelhető megfelelő egzaktsággal. n A valóságban ritkán fordul elő, hogy egy döntéshozó semmit ne tudjon a kérdéses események bekövetkezési valószínűségeiről, ritkán van teljes információhiány.

Példa Képzeljünk el egy nagy újságos pavilont, ahol mindenféle lapot árulnak, többek között egy Vasárnap című hetilapot is. A döntéshozó az újságárus. A Vasárnapot 3 Ft-ért veszi és 5 Ft-ért adja példányonként. A vasárnap nem eladott Vasárnapok tiszta veszteségnek tekinthetők, vasárnap éjfélre teljesen elértéktelenednek. Az újságos gondos üzletember, pontos kimutatásokat vezet az újságokról, évekre visszamenőleg őrzi feljegyzéseit. Az elmúlt 100 vasárnap a Vasárnap forgalma a következőképpen alakult.

Példa Eladott példányszám Hetek száma 16 5 17 10 18 12 19 16 20 10 21 20 22 16 23 6 24 5 Összesen 100 Ez kilencféle lehetőség. Melyiket válassza?

Példa A nyereségfüggvény megfogalmazása: Ha az újságos x példányt rendel, és a kereslet ezt a példányszámot nem haladja meg, akkor a bevétele 5 Ft minden eladott példányra, kiadása pedig 3 Ft minden megrendelt példányra. Ha x példányt rendel, de a kereslet nagyobb, mint a megrendelt példányszám, akkor csak annyi újságot tud eladni, amennyi van. Bevétele 5 Ft minden megrendelt példányra és kiadása 3 Ft minden megrendelt példányra. Nyeresége tehát 2 Ft minden megrendelt (vagy eladott) példányra.

Példa döntési mátrixa s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 32 32 29 29 32 32 34 34 3232 3434 32 32 34 34 26 26 31 31 36 36 23 23 28 28 33 38 38 38 20 20 25 25 30 35 40 40 40 17 17 22 22 27 32 37 42 42 14 14 19 19 24 29 34 39 44 44 44 11 16 16 21 26 31 36 41 46 46 88 13 13 18 23 28 33 38 43 48

Példa – Wald kritérium t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 min s=16 32 32 32 s=17 29 34 34 29 s=18 26 31 36 36 26 s=19 23 28 33 38 38 38 23 s=20 20 25 30 35 40 40 40 20 s=21 17 22 27 32 37 42 42 17 s=22 14 19 24 29 34 39 44 44 44 14 s=23 11 16 21 26 31 36 41 46 46 11 s=24 8 13 18 23 28 33 38 43 48 8 Ha az újságárus a Wald kritériumot alkalmazza, akkor optimális az a cselekvése, ha 16 példányt rendel. Ezzel biztosítja, hogy nyeresége nem lesz kevesebb, mint 32 Ft.

Példa – Maximax kritérium t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 max s=16 32 32 32 s=17 29 34 34 34 s=18 26 31 36 36 s=19 23 28 33 38 38 s=20 20 25 30 35 40 40 40 s=21 17 22 27 32 37 42 42 42 s=22 14 19 24 29 34 39 44 44 s=23 11 16 21 26 31 36 41 46 46 46 s=24 8 13 18 23 28 33 38 43 48 48 Az újságárus számára a maximax kritérium értelmében a 24 db az optimális cselekvés, vagyis ilyen gondolkodásmód mellett 24 példányt rendel a Vasárnapból, és ezzel nyeresége elérheti a 48 Ft-ot.

Példa – Savage kritérium t s=16 t=16 32 0 s=17 29 3 s=18 26 6 s=19 23 9 s=20 20 12 s=21 15 17 s=22 14 18 s=23 11 21 s=24 8 24 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 Az elmulasztott nyereség a következő két nyereség különbsége: amennyi nyeresége akkor lett volna, ha tudja előre, hogy melyik a valódi tényállapot; amennyi nyeresége a valóságban van. Ha a döntéshozó eltalálja azt a cselekvési lehetőséget, amelyik a valódi esemény bekövetkezése esetén a legnagyobb nyereséget adja, akkor elmulasztott nyeresége 0.

Példa – Savage kritérium t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 min s=16 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 0 3 6 9 12 15 18 21 4 2 0 3 6 9 12 15 18 6 4 2 0 3 6 9 12 15 8 6 4 2 0 3 6 9 12 10 8 6 4 2 0 3 6 14 12 10 8 6 4 2 0 3 16 14 12 10 8 6 4 2 0 16 14 12 10 12 15 18 21 24 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 A regret mátrixra alkalmazzuk a Wald kritériumot: az egyes cselekvési stratégiákhoz tartozó következmények közül kiválasztjuk a legrosszabbat, majd a legrosszabbak közül a legjobbat.

Példa – Laplace kritérium t=16 t=17 t=18 t=19 s=16 32 32 32 s=17 29 34 s=18 26 s=19 t=20 t=24 32 t=21 t=22 t=23 A nyereségek átlaga 32 32 34 34 31 36 36 36 28 33 38 38 38 s=20 20 25 30 40 40 40 s=21 17 22 27 42 42 42 s=22 14 19 24 44 44 44 s=23 11 16 21 41 46 46 s=24 8 13 18 3632 36 3833, 44 38 34, 33 40 40 34, 67 3734, 44 42 3433, 66 39 3132, 33 36 30, 44 2828 33 36 23 s=16 36 s=17 38 s=18 35 s=19 32 s=20 s=21 29 s=22 26 s=23 23 s=24 38 43 48 32 A döntéshozó minden egyes tényállapotnak azonos valószínűséget tulajdonít (1/9 et), amely egyúttal azt is jelenti, hogy a döntéshozó az egyes cselekvési lehetőségekhez tartozó nyereségek közönséges számtani átlagát választja döntési kritériumként:

Példa – Hurwicz kritérium Tegyük fel, hogy az újságárus 75%-os optimista, azaz φ=0, 75. A következő táblázatban tüntetjük fel a cselekvési változatokhoz tartozó legnagyobb és legkisebb nyereségeket, a φ indexet (Hurwicz-átlagot), valamint ez utóbbi értékét φ=0, 75 esetén. Legnagyobb nyereség (Mi) s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Legkisebb nyereség (mi) 32 29 26 23 20 17 14 11 8 32 5φ+29 10φ+26 15φ+23 20φ+20 25φ+17 30φ+14 35φ+11 40φ+8 32 32, 75 33, 5 34, 25 35, 00 35, 75 36, 50 37, 25 38 Az újságos döntési problémájában minden φ<0, 6 értékre a 16 példány lesz az optimális, φ>0, 6 esetén pedig a 24 példány a legjobb választás, míg a φ=0, 6 esetén mindegyik cselekvési lehetőséghez ugyanaz a φ(si) érték tartozik.

A valószínűség, mint döntési kritérium Legnagyobb valószínűség kritériuma Várható érték, mint kritérium Kombinált kritériumok: – Várható pénzérték kritérium – Várható elmulasztott pénzérték kritérium A fenti kritériumok megismeréséhez folytassuk az előző (újságárus) példánkkal!

Legnagyobb valószínűség (maximum likelihood) kritériuma 1. 2. 3. Adott P(ti) tényállapot valószínűségek mellett a döntéshozó: kiválasztja a valószínűségadatok maximumát; ha ez a k-adik oszlopban van, akkor a k-adik oszlop nyereségadatai közül megkeresi a legnagyobbat; optimális lesz az a cselekvési változat, amelynek sorában ez a legnagyobb nyereségadat szerepel.

Példa folytatása Az újságárus pontos adatokkal rendelkezett az elmúlt 100 vasárnap keresleti viszonyairól relatív gyakoriságok, mint az események valószínűségeinek becslése, számítható Eladott példányszám 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Összesen Hetek száma Relatív gyakoriság 5 10 12 16 10 20 16 6 5 100 0, 05 0, 12 0, 16 0, 1 0, 2 0, 16 0, 05 1, 00 Legnagyobb valószínűségű a t=21 -es tényállapot A kritérium alkalmazásához a pénzügyi következmények táblázatnak, csak a t=21 -es oszlopát nézzük.

Legnagyobb valószínűség (maximum likelihood) kritériuma t=17 t=21 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 32 32 s=17 29 34 34 s=18 26 31 36 36 36 s=19 23 28 38 33 38 s=20 20 25 40 30 35 s=21 17 22 42 27 32 s=22 14 19 39 24 29 s=23 11 16 36 21 26 31 36 41 46 46 s=24 8 13 33 18 23 28 33 38 43 48 t=16 34 34 34 A t=21 tényállapot bekövetkezése esetén a 36 36 36 legnagyobb 38 nyereség 42 Ft, ez egyúttal 38 38 kijelöli az optimális cselekvési stratégiát, 40 40 40 vagyis 21 példányt 37 42 42 kell rendelnie az újságárusnak. 34 39 44 44 44

Várható érték kritérium 1. 2. 3. A legnagyobb valószínűség kritériuma csak azt az egy tényállapotot veszi figyelembe, amelyik a legnagyobb valószínűséggel következik be. Bizonyos esetekben kiszámíthatjuk az események várható értékét, ezáltal tekintetbe véve minden lehetséges eseményt a megfelelő valószínűséggel. A kritérium alkalmazásának menete: a döntéshozó kiszámítja a tényállapot várható értékét; megkeresi a tényállapotnak azt az értékét, amelyik a legközelebb áll a várható értékhez; a tényállapot oszlopában megkeresi a legnagyobb értéket, amellyel kijelöli az optimális cselekvési változatot.

Várható érték kritérium Eladott példányszám 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Összesen Hetek száma Relatív gyakoriság 5 10 12 16 10 20 16 6 5 100 0, 05 0, 12 0, 16 0, 1 0, 2 0, 16 0, 05 1, 00 A tényállapot várható értéke: A várható érték általában nem egyenlő a valószínűségi változó valamelyik lehetséges értékével, itt ez csak véletlen. Az esetek többségében kerekítéssel kell számolni.

Várható érték kritérium s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 t=16 t=20 t=17 32 32 32 29 34 34 26 36 31 23 38 28 20 40 25 17 37 22 14 34 19 11 31 16 8 28 13 t=18 32 34 36 33 30 27 24 21 18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 32 32 32 34 34 34 36 36 36 A t=20 tényállapothoz tartozó 38 nyereségadatok közül a legnagyobb a 40, 38 38 38 ez az adat kijelöli az optimális cselekvést, 35 vagyis 20 példányt kell rendelnie az 40 40 40 32 37 újságárusnak. 42 42 29 34 39 44 44 44 26 31 36 41 46 46 23 28 33 38 43 48

Kombinált kritériumok Várható pénzérték kritérium: – Ezt a kritériumot alkalmazva a döntéshozó kiszámítja minden egyes cselekvési lehetőség várható pénzértékét, és azt a cselekvést választja, amelyhez a legnagyobb ilyen érték tartozik. Ez a kritérium egyformán fontosnak tekinti a pénzügyi következményeket és e következmények bekövetkezésének valószínűségeit. A várható elmulasztott pénzérték (VEP) kritériuma: – A VEP kritérium alkalmazásakor a döntéshozó kiszámítja minden cselekvési lehetőséghez a várható lehetséges veszteségeket (ez a VEP), és azt a cselekvést választja, amelyhez a legkisebb VEP tartozik.

Várható pénzérték (VP) kritérium - Példa folytatása t=18 t=16 t=17 t=18 Kereslet t=19 t=20 s=16 32 32 32 Következs=17 mények (s=24 29 esetében) 8 Valószínűs=19 23 ségek (relatív gyakoris=20 20 ságok) 0, 05 s=18 26 s=21 17 Részletszorzatok s=22 14 34 31 28 25 13 32 34 18 36 0, 10 33 30 34 23 36 0, 12 0, 16 28 t=21 t=22 t=23 t=24Össz 32 32 34 33 34 28 36 36 0, 20 0, 16 0, 06 0, 10 38 34 38 48 34 36 0, 05 38 38 35 40 40 40 37 2, 80 42 6, 60 42 6, 08 42 2, 58 42 2, 40 22 1, 3027 2, 16 323, 68 0, 40 38 34 43 32 38 19 24 29 34 39 44 44 44 s=23 11 16 21 26 31 36 41 46 46 s=24 8 13 18 23 28 33 38 43 48 1, 00 28 A következő táblázatban kiszámítjuk az s=24 -es cselekvési lehetőség Az s=24 -es cselekvési lehetőség várható pénzértéke 28. várható pénzértékét.

Várható pénzérték (VP) kritérium - Példa folytatása Minden egyes cselekvési lehetőséghez (s=16 -24) ki kell számolnunk a várható pénzértékeket. VP s=16 32, 00 s=17 33, 75 s=18 35, 00 s=19 35, 65 s=20 35, 50 s=21 34, 85 s=22 33, 20 s=23 30, 75 A VP kritérium értelmében az újságárus akkor cselekszik optimálisan, ha 19 példányt rendel a Vasárnapból. s=24 28, 00

Várható elmulasztott pénzérték (VEP) kritérium Az optimális döntés meghatározásához ez a kritérium is felhasználja a pénzbeli következményeket és a valószínűségeket. A VEP kritérium alkalmazásakor a döntéshozó kiszámítja minden cselekvési lehetőséghez a várható lehetséges veszteségeket (ez a VEP), és azt a cselekvést választja, amelyhez a legkisebb VEP tartozik.

VEP kritérium – Példa folytatása Elmulasztott nyereségek táblázata (lásd Savage kritérium): Kereslet t=17 t=18 t=16 t=17 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 0 s=19 9 6 15 4 2 0 0, 16 3 6 9 122, 40 15 8 12 6 4 2 0, 10 0 3 6 9 1, 20 12 10 9 8 6 4 0, 20 2 0 3 6 1, 80 9 126 10 8 6 0, 16 4 2 0 30, 96 6 143 12 10 8 0, 06 6 4 2 00, 18 3 16 0 14 12 10 0, 05 8 6 4 2 0, 00 0 Elmulaszs=17 3 tott nyereségek (s=24) s=18 6 24 Valószí 0, 05 s=20 nűségek 12 (relatív 15 s=21 gyakoriságo s=22 18 k) s=23 21 1, 20 Részletszorzatok s=24 24 2 21 0 3 6 0, 10 9 12 15 18 2, 10 21 4 18 2 0 3 0, 12 6 9 12 152, 16 18 Össz 1, 00 12 A várható elmulasztott nyereség 24 példány megrendelése esetén 12.

VEP kritérium – Példa folytatása A VEP kritérium alkalmazásához minden egyes cselekvési változat (s=16 -24) VEP-jét ismernünk kell. VEP s=16 8, 00 s=17 6, 25 s=18 5, 00 s=19 4, 35 s=20 4, 50 s=21 5, 15 s=22 6, 80 s=23 9, 25 s=24 12, 00 A VEP kritérium értelmében (is) s=19 az optimális cselekvés, ehhez tartozik a legkisebb várható elmulasztott nyereség.

VP és VEP kritérium kapcsolata A VP és a VEP kritérium ugyanazt az optimumot adja, hiszen azonos alapadatokból, azonos típusú értékelési rendszerrel jutnak optimális cselekvéshez. Ezért szokás VP-VEP kritériumról is beszélni. VP s=16 32, 00 s=17 33, 75 s=18 35, 00 s=19 35, 65 s=20 35, 50 s=21 34, 85 s=22 33, 20 s=23 s=24 30, 75 28, 00 VEP 8, 00 6, 25 5, 00 4, 35 4, 50 5, 15 6, 80 9, 25 VP+VEP 40, 00 40, 00 40, 00 12, 00