Kvantitativni metodi u ekonomiji Ekonometrija Viestruki multivarijatni ekonometrijski

Kvantitativni metodi u ekonomiji -Ekonometrija. Višestruki (multivarijatni) ekonometrijski modeli

Ocenjivanje višestrukih modela Model sa dva regresora:

Ocenjivanje višestrukih modela Korigovani koeficijent determinacije

Izbor regresora ekonometrijskog modela Prilikom izvođenja ocena i testiranja hipoteza o parametrima pretpostavlja se da regresiona jednačina uključuje sve one promenljive koje su bitne za objašenjenje varijacija zavisne promenljive a da su izostavljene sve nebitne varijable. Izostavljanje bitnih regresora iz modela dovodi do pristrasnosti ocene parametara uz varijable modela i do netačnosti testova značajnosti ocenjenih parametara. Uključivanje nebitnih regresora u model dovodi do neefikasnosti ocena parametara, u smislu povećanja varijansi. Skup regresora koji će ući u model predstavlja kompromis između dva oprečna zahteva: prvo, da model bude što jednostavniji, sa što manjim brojem regresora, s tim da to dovodi do veće vrednosti varijanse greške modela; i drugo, da varijansa greške modela bude što manja, ali to zahteva veći broj regresora u modelu.

Postupci izbora regresora Konačno rešenje modela odražava individualni stav istraživača, a model treba da zadovolji određene zahteve: q da bude logički prihvatljiv, q da bude konzistentan sa odgovarajućeom ekonomskom teorijom, uključujući zadovoljenje bitnih ograničenja vrednosti parametara, q da ima regresore koji nisu korelisani s greškom modela, q da su ocenjene vrednosti parametara stabilne nad celim uzorkom, q da reziduali imaju karakteristike belog šuma (slučajnog su karaktera i ne pokazuju nikakvu pravilnost u ponašanju) i q da odabrani model pruža više objašnjenja o ekonomskoj pojavi u odnosu na konkurentske modele.

Postupci izbora regresora 1) Jedan mogući pristup izgradnji modela je da se unapred utvrdi broj regresora koji će se nalaziti u modelu; tada se za primenu može birati model koji ima najmanju vrednost zbira kvadrata reziduala, što istovremeno znači i najveću vrednost običnog koeficijenta determinacije. 2) Jedan od ranije formulisanih postupaka je postupno uključivanje regresora u model ili pod drugim nazivima: „izbor regresora unapred“ ili modeliranje „od posebnog ka opštem“. Kod ovog postupka prvo se izračunaju svi koeficijenti proste korelacije zavisne varijable s pojedinim regresorima; formula zasnovana na principu najmanjih kvadrata glasi:

Postupci izbora regresora Za vezu između dve varijable obično se uzima: da je pozitivna funkcionalna za r = 1 da je negativna funkcionalna za r = -1 da ne postoji za r = 0 da je slaba ako je 0 < r < 0, 3 da je srednja ako je 0, 3 ≤ r < 0, 7 da je jaka (tesna) ako je 0, 7 ≤ r < 1 Nakon toga se regresori poređaju po važnosti, tako da je na prvom mestu regresor s najvećom vrednošću koeficijenta, pa sledeći, i tako redom. U svakom koraku se računa vrednost korigovanog koeficijenta determinacije.

Postupci izbora regresora 3) Postupno isključivanje regresora iz modela, odnosno „izbor regresora unazad“ ili modeliranje „od opšteg ka posebnom“ ili „odozgo naniže“ je postupak obrnut u odnosu na postupno uključivanje regresora. Prvo se ocenjuje model sa svih h regresora (zajedno s konstantom) a zatim ocenjuju modeli iz kojih je isključen redom po jedan regresor. 4) Stepwise regresija unapred je kombinacija uključivanja i isključivanja regresora. 5) Ispitivanje modela sa svim kombinacijama regresora predstavlja postupak ocenjivanja većeg broja modela. Razvijeno je nekoliko kriterijuma koji ispituju sve moguće modele, a zasnivaju se na Kullback-Leibler-ovom rastojanju između stvarne i ocenjene distribucije. Minimalna izračunata vrednost kriterijuma ukazuje na najbolji model. Ulazna veličina kriterijuma je logaritam funkcije verodostojnosti:

Postupci izbora regresora Najčešće korišćeni informacioni kriterijumi izbora regresora su: Akaike-ov informacioni kriterijum: Schwarzov-ov informacioni kriterijum Bayes-ovog tipa:

Primer 2: Višestruki model t Yt Xt 2 Xt 3 2005 15 16 7 2006 16 14 9 2007 14 15 11 2008 18 12 14 2009 19 13 12 2010 17 11 15 2011 20 9 18 2012 21 8 17 2013 24 6 16 2014 25 8 19 2015 23 7 20 2016 26 5 22 Σ 238 124 180 Yt – bruto domaći proizvod izražen u milionima dolara Xt 2 – kamatna stopa centralne banke izražena u procentima Xt 3 – vrednost investicija izražena u milionima dolara

Primer višestrukog modela t Yt Xt 2 Xt 3 Yt 2 Xt 22 Xt 32 Yt. Xt 3 Xt 2 Xt 3 2005 15 16 7 225 256 49 240 105 112 2006 16 14 9 256 196 81 224 144 126 2007 14 15 11 196 225 121 210 154 165 2008 18 12 14 324 144 196 216 252 168 2009 19 13 12 361 169 144 247 228 156 2010 17 11 15 289 121 225 187 255 165 2011 20 9 18 400 81 324 180 360 162 2012 21 8 17 441 64 289 168 357 136 2013 24 6 16 576 36 256 144 384 96 2014 25 8 19 625 64 361 200 475 152 2015 23 7 20 529 49 400 161 460 140 2016 26 5 22 676 25 484 130 572 110 Σ 238 124 180 4898 1430 2930 2307 3746 1688

Regression Statistics Multiple R 0. 937314 R Square 0. 878557 Adjusted R Square 0. 866413 Standard Error 1. 468885 Observations Primer jednostrukog ekonometrijskog modela 12 ANOVA df Regression SS MS F 1 156. 09043 156. 0904 Residual 10 21. 576233 2. 157623 Total 11 177. 66666 Intercept X 2 72. 34369 Standard Error t Stat 30. 42152 1. 3150988 -1. 024663 0. 1204705 Coefficients Significance F 0 Upper 95% P-value Lower 95% 23. 1325 0 27. 491301 -8. 5055 0 -1. 293088 -0. 75624 33. 3517

godina Prodaja (u hiljadama kom. ) Y Cena (dolar) X 2 Promotivne aktivnosti (u milionima dolara) X 3 Broj prodavnica X 4 1994 3688 10. 1 16. 8 338 1995 3672 11. 2 14. 5 329 1996 3694 10. 8 15. 9 326 1997 3698 10. 5 16. 7 330 1998 3715 11. 2 16. 8 323 1999 3652 11. 8 13. 9 338 2000 3724 11. 7 17. 5 334 2001 3739 11. 8 17. 4 329 2002 3733 11. 8 18. 9 345 2003 3758 12. 3 21. 2 348 2004 3790 11. 2 18. 8 344 2005 3870 12. 6 22. 1 351 2006 3845 13. 4 21. 5 350 2007 3859 12. 8 19. 8 352 2008 3960 13. 7 22. 7 348 2009 3904 13. 1 20. 4 349 2010 3970 13. 8 23. 6 362 2011 3958 14. 4 25. 1 360 2012 3997 15. 6 23. 4 351 2013 3922 14. 5 27. 8 340 2014 4018 14. 1 24. 4 354 2015 4089 13. 2 26. 6 365 2016 4047 12. 1 30. 4 355 2017 4051 13. 4 26. 5 351 Primer 3: Višestruki model

Izbor regresora unapred r. YX 2 = 0, 7799 r. YX 3 = 0, 9197 r. YX 4 = 0, 8221 U model se uključuju redom kao regresori sledeće promenljive: 1) Promotivne aktivnosti X 3 2) Broj prodavnica X 4 3) Cena X 2

Regression Statistics Multiple R 0. 919758 R Square 0. 845956 Adjusted R Square 0. 838953 Standard Error 56. 10724 Observations Prva varijanta: Promotivne aktivnosti kao regresor 24 ANOVA df Regression SS MS F 120. 8163 1 380332. 5 Residual 22 69256. 49 3148. 022 Total 23 449589 Significance F 0 Coefficients Standard Error Intercept 3239. 18455 56. 5643 57. 2655 0 3121. 87 3356. 49 29. 068173 2. 64456 10. 9916 0 23. 5836 34. 5526 X 3 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Regression Statistics Multiple R 0. 940605 R Square 0. 884739 Adjusted R Square 0. 873761 Standard Error 49. 67524 Observations Druga varijanta: Promotivne aktivnosti i broj prodavnica kao regresori 24 ANOVA SS MS F 2 397768. 7 198884. 4 80. 59734 Residual 21 51820. 22 2467. 629 Total 23 Regression df 449589 Significance F 0 Coefficients Standard Error Intercept 2153. 252 411. 5805 5. 231667 0 1297. 324 3009. 181 X 3 21. 94729 3. 557858 6. 168681 0 14. 54832 29. 34626 X 4 3. 583419 1. 348065 2. 658195 0. 014709 0. 779965 6. 386873 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Regression Statistics Multiple R 0. 949728 R Square 0. 901983 Adjusted R Square 0. 887281 Standard Error 46. 93996 Observations Treća varijanta: Promotivne aktivnosti, broj prodavnica i cena kao regresori 24 ANOVA SS MS F 3 405521. 8 135173. 9 61. 34899 Residual 20 44067. 21 2203. 36 Total 23 Regression df 449589 Coefficients Standard Error t Stat Intercept 2246. 834 392. 1043 5. 730195 X 3 19. 39036 10. 33697 X 4 19. 23021 X 2 2. 771219 Significance F 2. 89 E-10 Lower 95% Upper 95% 1. 32 E-05 1428. 919 3064. 749 1. 875826 0. 075353 -2. 17219 40. 95291 3. 660709 5. 253136 0 11. 5941 26. 86631 1. 345411 2. 059756 0. 052676 -0. 03526 5. 577698 P-value