KVADRATNA FUNKCIJA Osobine i grafik Kanonski oblik kvadratne

KVADRATNA FUNKCIJA Osobine i grafik

Kanonski oblik kvadratne funkcije pri čemu je

1. Domen kvadratne funkcije (oblast definisanosti funkcije) Df = R 2. Kodomen kvadratne funkcije (oblast vrijednosti funkcije) a>0 funkcija ima minimum Cf = [β, +∞) a<0 funkcija ima maksimum Cf = ( +∞, β]

3. Nule kvadratne funkcije (presjek sa x–osom) y=0 => a·x 2+b·x+c =0 Postojanje nula funkcije zavisi od vrijednosti diskriminante D=b 2– 4 ac. D>0 D=0 D<0 Grafik funkcije ne siječe x–osu N 1(x 1, 0), N 2(x 2, 0) N (x 1, 0) dvostruka nula Funkcija nema realnih nula

4. Presjek sa y–osom x=0 => y=a· 02+b· 0+c => y=c P(0, c) 5. Ekstremne vrijednosti funkcije T(α, β) Tačka minimuma funkcije a>0 Tmin(α, β) Tačka maksimuma funkcije a>0 Tmax(α, β)

6. Grafik funkcije Tačke N 1(x 1, 0), N 2(x 2, 0), P(0, c), T(α, β) pripadaju grafiku funkcije. Grafik funkcije je parabola. Grafik funkcije je simetričan u odnosu na pravu

7. Znak funkcije (zavisi od koeficijenta a uz kvadratni član i diskriminante D = b 2– 4 ac (neka je x 1<x 2)) a>0 a<0 D>0 Df+= (x 1, x 2); D f–= (–∞, x 1)U(x 2, +∞) Df+= (–∞, x 1)U(x 2, +∞) D=0 Df + = Ø; Df–= (–∞, x 1)U( x 1, +∞) Df+= (–∞, x 1)U( x 1, +∞); Df– = Ø D<0 Df+ = Ø; Df–= R Df+= R; Df–= (x 1, x 2) Df–= Ø

8. . Intervali rasta i opadanja (monotonost, tok) kvadratne funkcije a>0 a<0 funkcija ima minimum β funkcija ima maksimum β x –∞ ↑ α α ↑ +∞ x –∞ ↑ α y +∞ ↓ β β ↑ +∞ y –∞↑β α ↑ +∞ β ↓ –∞ Grafik funkcije je simetričan u odnosu na pravu x = α i ima ekstremnu vrijednost u tački T(α, β)

9. Parnost–neparnost funkcije Funkcija je parna ako je f(–x)=f(x). Za kvadratnu funkciju važi: kvadratna funkcija je parna samo u slučaju kada je b=0 (samo tada važi) f(–x)=ax 2 +c=f(x) Funkcija je neparna ako je f(–x)= –f(x). Kvadratna funkcija nikada nije neparna. Kvadratna funkcija f(x)=ax 2+bx+c funkcija je ni parna ni neparna ako je b≠ 0.

10. Konveksnost–konkavnost funkcije a>0 a<0 –funkcija je konveksna –funkcija je konkavna –parabola okrenuta otvorom na gore –parabola okrenuta otvorom na dolje

KVADRATNA FUNKCIJA Kanonski oblik kvadratne funkcije 1. Domen kvadratne funkcije 2. Kodomen kvadratne funkcije 3. Nule kvadratne funkcije 4. Presjek sa y–osom 5. Ekstremne vrijednosti funkcije 6. Grafik funkcije 7. Znak funkcije 8. Intervali rasta i opadanja (monotonost, tok) kvadratne funkcije . 9. Parnost–neparnost funkcije 10. Konveksnost–konkavnost funkcije

Primjeri grafika kvadratne funkcije