Kvadratick funkcia Graf kvadratickej funkcie Mgr Viera Bobkov

Kvadratická funkcia Graf kvadratickej funkcie Mgr. Viera Bobáková Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín Šk. rok 2010/2011

Kvadratická funkcia Výskyt kvadratickej funkcie Definícia kvadratickej funkcie a jej typy Grafy kvadratických funkcií Domáca úloha Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 2

Výskyt kvadratickej funkcie Ø v geometrii obsah kruhu S = ¶. r 2 obsah štvorca S = a 2 objem valca V= ¶. r 2. v Ø vo fyzike dráha vrhu S = -½. gt 2+vot energia častice E = m. c 2 Príklad Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 3

Definícia kvadratickej funkcie Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu danú predpisom f: y = ax 2 + bx + c pričom a, b, c R, a 0 ax 2 – kvadratický člen bx – lineárny člen c – absolútny člen Príklad Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 4

Typy kvadratických funkcií Ø neúplné kvadratické funkcie ü ak b, c=0: y = ax 2 ü ak b=0: y = ax 2+c ü ak c=0: Ø y= ax 2+bx úplné kvadratické funkcie ü ak a, b, c ≠ 0: y = ax 2+bx+c Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 5

Grafy kvadratických funkcií Ø kvadratická funkcia typu y=x 2, y=-x 2 Ø kvadratická funkcia typu y=ax 2 -c Ø kvadratická funkcia typu y=a(x-m)2 -n Ø kvadratická funkcia typu y=ax 2+bx+c Úlohy na precvičenie Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 6

Graf kvadratickej funkcie y=x 2, y=-x 2 Vykreslenie funkcie y=-x 2 y=x 2 Poznámka: Grafom každej kvadratickej funkcie je krivka, ktorú nazývame parabola. Súradnice bodu V [0; 0] nazývame vrchol paraboly. Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 7

Graf kvadratickej funkcie y=ax 2 Vykreslenie funkcie a<0 a>0 y=2 x 2 y=1/4 x 2 y=-1/4 x 2 Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín y=-x 2 y=-2 x 2 8

Graf kvadratickej funkcie y=ax 2 -c y=x 2+3 Vykreslenie funkcie y=x 2 -3 y=-x 2+3 Poznámka: Ak chceme dostať graf funkcie y=-x 2 -3 y=x 2 y=ax 2 -c, stačí ak posunieme graf y=ax 2 o c jednotiek pozdĺž y-ovej osi. Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 9

Graf kvadratickej funkcie y=a(x-m)2 y=(x+3)2 y=x 2 Vykreslenie funkcie y=(x-3)2 y=-(x+3)2 Poznámka: Ak chceme dostať graf funkcie y=-x 2 y=-(x-3)2 y=a(x-m)2, stačí ak posunieme graf y=ax 2 o m jednotiek pozdĺž x-ovej osi. Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 10

Graf kvadratickej funkcie y=a(x-m)2 -n y=(x+3)2+4 y=x 2 Vykreslenie funkcie y=(x-3)2 -4 y=-(x+3)2+4 Poznámka: Ak chceme dostať graf funkcie y=-(x+3)2 -4 y=-x 2 y=a(x-m)2 -n, stačí ak posunieme graf y=ax 2 o m jednotiek pozdĺž x-ovej osi a o n jednotiek pozdĺž y -ovej osi. Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 11

Graf kvadratickej funkcie y=ax 2+bx+c Vykreslenie funkcie 1. Určíme súradnice vrcholu poraboly x 0, y 0. 2. Vypíšeme niekoľko ďalších dvojíc, ktoré patria funkcii. 3. Zostrojíme v karteziánskej sústave súradníc obrazy usporiadaných dvojíc získaných v bode 1 a 2. Príklad Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 12

Zadanie úlohy č. 1 Zostrojte grafy funkcií v jednej súradnicovej sústave súradníc a porovnajte ich s grafom funkcie f: y=x 2 (grafy farebne rozlíšte). g: y=3 x 2 j: y=x 2 -3 h: y=x 2+3 l: y=(x+3)2 k: y=(x-3)2+3 Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín m: y=(x+3)2 -3 13

Zadanie úlohy č. 2 Priraď jednotlivé predpisy kvadratických funkcií ku grafom. a) y=-(x-1)2+5 b) y=-(x+1)2 -2 c) y=-2(x-1)2 d) y=-(x+3)2+4 Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 14

Zadanie úlohy č. 3 Priraď jednotlivé predpisy kvadratických funkcií ku grafom. a) y=(x-1)2+3 b) y=(x+3)2+1 c) y=(x+1)2+3 d) y=(x-2)2 -4 Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 15

Zadanie úlohy č. 4 K jednotlivým predpisom kvadratických funkcií priraď súradnice vrcholu paraboly. f: y=x 2 -3 a) [-2; 4] f: y=-x 2 -1 b) [1; 1] f: y=-x 2+2 x c) [2; -5] f: y=-x 2 -4 x d) [2; -3] f: y=x 2 -2 x-2 e) [0; -1] f: y=x 2 -4 x-1 f) [0; -3] Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 16

Zadanie úlohy č. 5 Zostrojte graf kvadratickej funkcie f: y=x 2 -2 x-3. 1. Určíme súradnice vrcholu paraboly, ktorá je grafom funkcie f: a=1, b=-2, c=-3 2. Vypíšeme niekoľko dvojíc patriacich funkcii. x -2 -1 0 2 f(x) 5 0 -3 -3 Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 17

Domáca úloha 1. Nakresli a porovnaj grafy funkcií f: y=2 x 2, s g: y=(2 x)2. Vysvetli prečo obidva grafy nie sú rovnaké? 2. Nakresli graf funkcie f: y=0, 5(x-1)2+2 Pomôcka: http: //users. telenet. be/chris. cambre/tweedegraadsfuncties. h tm#Grafiek (program na vykreslenie funkcií) Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 18

Použité zdroje 1. Odvárko O. , Řepová J. , Skřiček L. : Matematika pre SOŠ a SOU- 2. časť, SPN, Bratislava 1984 2. Holéczyová S. : Matematika pre stredoškolákov zbierka úloh 1 - Rovnice, nerovnice, funkcie 1, Aktuell, Bratislav 2007 3. http: //users. telenet. be/chris. cambre/tweedegraadsfun cties. htm#Grafiek Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 19

Ďakujem za pozornosť Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 20

Zadanie úlohy Je daný kváder so štvorcovou podstavou o dĺžke hrany a cm a výške 4 cm. Zapíšte funkciu, ktorá vyjadruje: a) závislosť objemu kvádra od dĺžky hrany podstavy, b) závislosť povrchu kvádra od dĺžky hrany podstavy. Riešenie: a) V = a. b. c » V=a 2. c b) S = 2. (ab + bc + ca) » S= 2 a 2+4 ac Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 21

Zadanie úlohy Zisti či dané funkcie sú kvadratické. (áno, nie) Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín 22