Kuswanto 2013 Pengertian Peubah acak l Peubah acak

Kuswanto, 2013

Pengertian Peubah acak l Peubah acak adalah suatu kejadian yang dapat diucapkan dalam bentuk bilangan nyata. Notasi yang sering digunakan adalah X, Y, Z.

Macam peubah acak l Peubah acak diskrit, misalnya : jumlah orang dalam satu ruangan. l l l Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga, tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah. Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang berupa cacahan. Peubah acak kontinyu, misalnya : produksi padi/ha. l l Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang mengandung titik tak terhingga yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis. Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang diukur

Sebaran Peluang Diskrit l Sebaran peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya. l Sebaran peluang Binom dan Poisson termasuk kelompok ini.

Contoh l Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka peubah acak X adalah jumlah bilangan. X adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam (6) cara masing-masing dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara. l l x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -------------------------------------------P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 l Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat mengggunakan grafik dalam bentuk histogram peluang.

Histogram

Sebaran Peluang Binom

Sebaran peluang binom l l l Berdasarkan percobaan Bernoulli hasilnya diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil) dan gagal (G). P(S) = p = n dan P(G) = q = 1 -n p+q = 1 Contoh : l l l kontrol kualitas barang diklasifikasikan sebagai cacat (C) dan baik (B) efektifitas obat sembuh (S) dan tak sembuh (G) kelahiran anak pria (S) dan wanita (G) atau wanita (S) dan pria (G

Fungsi sebaran binomial l l l l Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha tsb, dimana n = 3 dan X=1, maka S ----- S G G ----- S G l l Jadi f(x) = (n binomial untuk X (banyaknya berhasil) = 1 SGG = pqq = pq² GSG = qpq = pq² GGS = qqp = pq² P(x=1) = 3(pq²) = (3 1) p 1 q 3 -1 karena n=3, x = sukses, (n-x) gagal, maka kombinasi C(n x) = banyaknya susunan x) px qn-x dinamakan fungsi sebaran

Contoh sebaran binomial l l Produsen bibit jambu menjamin bahwa bibit jambu okulasi yang dihasilkan mempunyai peluang hidup 0, 90. Untuk membuktikan pernyataan tersebut, seorang konsumen membeli dan menanam 10 bibit okulasi. Tentukan berapa peluang hidup terhadap 8 bibit jambu okulasi yang dibeli tersebut! Jawab : Dari soal tersebut diketahui bahwa n=10, x=8, p=0, 90 sehingga q = 1 -0, 90 = 0, 1. Berdasarkan rumus peluang binomial, maka peluang hidup dari 8 bibit adalah : l l P(x=8) = (10 8) (0, 90)8 (0, 1)2 = 10!/8!. 2!. (0, 90)8 (0, 1)2 = 0, 194 Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.

Interpretasi l Nilai peluang ini harus diinterpretasikan, agar dapat dipahami maknanya. Peluang hidup 8 bibit dari 10 bibit yang ditanam adalah 0, 194. Apabila bibit yang ditanam adalah b 1, b 2, …, b 8, b 9 dan b 10, maka peluang hidup b 1, b 2, …, b 8 adalah 0, 194. Tidak semua bibit dari 8 bibit tersebut dapat hidup setelah ditanam. Walaupun produsen menjamin semua bibit jambu okulasi yang dihasilkan mempunyai peluang hidup 0, 90, namun peluang hidup 8 bibit dari 10 bibit yang diuji adalah 0, 194

Penggunaan tabel binomial Contoh soal tersebut dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia. l Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat. l

Penggunaan tabel binomial Untuk contoh soal tersebut, pilih n = 10 kemudian dicari jumlah berhasil x = 8. l Karena peluang keberhasilan adalah 0, 90, maka dari x = 8 ditarik ke kanan sampai pada p = 0, 90. l Namun demikian, sebelum mencari nilai peluang dari tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu. l

Contoh tabel --Binomial P x 0. 05 0. 15 0. 25 0. 35 0. 45 0. 55 0. 65 0. 75 0. 85 0. 95 0 0. 599 0. 349 0. 197 0. 107 0. 056 0. 028 0. 013 0. 006 0. 003 0. 001 0. 000 0. 000 1 0. 914 0. 736 0. 544 0. 376 0. 244 0. 149 0. 086 0. 046 0. 023 0. 011 0. 005 0. 002 0. 001 0. 000 2 0. 988 0. 930 0. 820 0. 678 0. 526 0. 383 0. 262 0. 167 0. 100 0. 055 0. 027 0. 012 0. 005 0. 002 0. 000 3 0. 999 0. 987 0. 950 0. 879 0. 776 0. 650 0. 514 0. 382 0. 266 0. 172 0. 102 0. 055 0. 026 0. 011 0. 004 0. 001 0. 000 4 1. 000 0. 998 0. 990 0. 967 0. 922 0. 850 0. 751 0. 633 0. 504 0. 377 0. 262 0. 166 0. 095 0. 047 0. 020 0. 006 0. 001 0. 000 5 1. 000 0. 999 0. 994 0. 980 0. 953 0. 905 0. 834 0. 738 0. 623 0. 496 0. 367 0. 249 0. 150 0. 078 0. 033 0. 010 0. 002 0. 000 6 1. 000 0. 999 0. 996 0. 989 0. 974 0. 945 0. 898 0. 828 0. 734 0. 618 0. 486 0. 350 0. 224 0. 121 0. 050 0. 013 0. 001 7 1. 000 0. 998 0. 995 0. 988 0. 973 0. 945 0. 900 0. 833 0. 738 0. 617 0. 474 0. 322 0. 180 0. 070 0. 012 8 1. 000 0. 999 0. 998 0. 995 0. 989 0. 977 0. 954 0. 914 0. 851 0. 756 0. 624 0. 456 0. 264 0. 086 9 1. 000 1. 000 0. 999 0. 997 0. 994 0. 987 0. 972 0. 944 0. 893 0. 803 0. 651 0. 401 10 1. 000 1. 000

Contoh lain l l Untuk n=15 dan p=0, 4, hitung P(x ≥ 10) dan P(3 x 8). Gunakan Tabel Binomial Jawab : P(x ≥ 10) = 1 - P(x 9) = 1 - 0, 966 = 0, 034 lihat tabel l P(3 x 8) = P(x 8) - P(x 2) l = 0, 905 - 0, 0271 = 0, 878 l l P (x=4) = P(x 4) - P(x 3) l = ? ? ? Coba kerjakan

Latihan diskusi 1. Tentukan peluang mendapatkan tepat bilangan 2 apabila sebuah dadu dilemparkan! 2. Peluang bunga anggek akan mekar besuk pagi adalah 0, 4. Bila 15 tanaman yang bunganya akan mekar sedang diuji, berapa peluang : l l l a). sekurang-kurangnya 10 tanaman yang bunganya akan mekar b). ada 3 sampai 8 tanaman yang bunga akan mekar c). tepat 5 tanaman yang bunganya akan mekar 3. A campus newspaper claims that 80% of the student support its view on a campus issue about hybrid rice production. A random sample of 20 agriculture faculty students is taken, 12 students agree with the newspaper. Find P(12 or less agree), if 80% support the view, and comment on the plausibility of the claim.

4. Suppose it is known that a new pesticide treatment is successful in killing a insect in 50% of the cases. If it is tried on 15 insects, find the probability that : l a). at most 6 will be killed, l b). the number killed will be now fewer than 6 and no more than 10, l c). 12 or more will be killed 5. Using binomial table, find the probability of : l a. 3 successes in 8 trials when p = 0, 4 l b. 7 failures in 16 trials when p = 0, 6 l c. 3 or fewer successes in 9 trials when p = 0, 4 l d. more than 12 successes in 16 trials when p = 0, 7 l e. the number of successes betweet 3 and 13 (both inclusive) in 16 trials when p = 0, 6

6. Only 30% of the students in agriculture faculty feel that this subject is easy. If 20 students are selected at random, find the probability that 5 or less will feel that this subject is easy. Find the probability that exactly 6 students feel that this subject is easy. l Find the cases of other binomial distribution?

Terima kasih

Sebaran peluang Poisson Percobaan Poisson : suatu percobaan yang menghasilkan variabel random x, yang menyatakan jumlah berhasil dalam suatu selang (interval) tertentu atau daerah tertentu. l Selang waktu mulai milidetik sampai tahunan. l Daerah juga mulai dari satuan panjang, luas ataupun volume. l

Contoh percobaan Poisson : l Jumlah sambungan telepon yang masuk suatu kantor l Jumlah langganan yang datang pada suatu super market per 5 menit l Jumlah salah ketik per halaman l Jumlah tikus sawah per hektar

Ciri-ciri lain sebaran Poisson l l Independen antar daerah atau waktu Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nol e - x f(x) = ------- dimana x = 0, 1, 2, … x! e = 2, 71828

Contoh l Rata-rata jumlah bunga mekar sempurna di pagi hari, pada tanaman kacang bambara (kacang bogor) adalah 7 bunga per hari. Berdasarkan kejadian tersebut, tentukan peluang : a. terdapat 5 bunga mekar per hari b. terdapat kurang atau sama dengan 9 bunga mekar per hari c. lebih dari 12 bunga mekar per hari l Jawab a. P(x=5, =7) = (e-7. 75)/5! = ……. Atau …

Interpretasi l Walaupun hasil penelitian mengatakan bahwa jumlah bunga kacang bogor yang mekar tiap hari adalah 7 kuntum, namun peluang yang mekar tepat 5 kuntum hanya 0, 1277.

Penggunaan Tabel Poisson Untuk nilai µ = 7 dapat dilihat pada kolom paling kanan, kemudian untuk mencari P(5, µ), ditarik titik temu antara x=5 dengan µ=7, dan diperoleh nilai peluang 0, 3007. l Namun demikian sebelum mencarai nilai peluang pada tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu. l

Contoh tabel poisson x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. 10 0. 0022 0. 0159 0. 0577 0. 1425 0. 2719 0. 4298 0. 5902 0. 7301 0. 8367 0. 9090 0. 9531 0. 9776 0. 9900 0. 9958 0. 9984 0. 9998 0. 9999 1. 0000 6. 20 0. 0020 0. 0146 0. 0536 0. 1342 0. 2592 0. 4141 0. 5742 0. 7160 0. 8259 0. 9016 0. 9486 0. 9750 0. 9887 0. 9952 0. 9981 0. 9993 0. 9997 0. 9999 1. 0000 6. 30 0. 0018 0. 0134 0. 0498 0. 1264 0. 2469 0. 3988 0. 5582 0. 7017 0. 8148 0. 8939 0. 9437 0. 9723 0. 9873 0. 9945 0. 9978 0. 9992 0. 9997 0. 9999 1. 0000 6. 40 0. 0017 0. 0123 0. 0463 0. 1189 0. 2351 0. 3837 0. 5423 0. 6873 0. 8033 0. 8858 0. 9386 0. 9693 0. 9857 0. 9937 0. 9974 0. 9990 0. 9996 0. 9999 1. 0000 µ (lt) 6. 50 6. 60 0. 0015 0. 0014 0. 0113 0. 0103 0. 0430 0. 0400 0. 1118 0. 1052 0. 2237 0. 2127 0. 3690 0. 3547 0. 5265 0. 5108 0. 6728 0. 6581 0. 7916 0. 7796 0. 8774 0. 8686 0. 9332 0. 9274 0. 9661 0. 9627 0. 9840 0. 9821 0. 9929 0. 9920 0. 9970 0. 9966 0. 9988 0. 9986 0. 9995 0. 9998 0. 9999 1. 0000 6. 70 0. 0012 0. 0095 0. 0371 0. 0988 0. 2022 0. 3406 0. 4953 0. 6433 0. 7673 0. 8596 0. 9214 0. 9591 0. 9801 0. 9909 0. 9961 0. 9984 0. 9998 0. 9999 1. 0000 6. 80 0. 0011 0. 0087 0. 0344 0. 0928 0. 1920 0. 3270 0. 4799 0. 6285 0. 7548 0. 8502 0. 9151 0. 9552 0. 9779 0. 9898 0. 9956 0. 9982 0. 9993 0. 9997 0. 9999 1. 0000 6. 90 0. 0010 0. 0080 0. 0320 0. 0871 0. 1823 0. 3137 0. 4647 0. 6136 0. 7420 0. 8405 0. 9084 0. 9510 0. 9755 0. 9885 0. 9950 0. 9979 0. 9992 0. 9997 0. 9999 1. 0000 7. 00 0. 0009 0. 0073 0. 0296 0. 0818 0. 1730 0. 3007 0. 4497 0. 5987 0. 7291 0. 8305 0. 9015 0. 9467 0. 9730 0. 9872 0. 9943 0. 9976 0. 9990 0. 9996 0. 9999 1. 0000

Menggunakan tabel poisson l l Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang Poisson yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat. Dari Tabel tersebut, dipeoleh : l 5 4 a. . (P(x, 7) - P(x, 7) = 0, 3007 - 0, 1730 = 0, 1277 (lihat tabel) x=0 l 9 b) (P(x, 7) = 0, 8305 x=0 l 12 = 1 - (P(x, 7) = 1 - 0, 9730 = 0, 00270 x=0

Ciri distribusi poisson Independen antar daerah atau waktu l Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut l Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nol l

Latihan diskusi 1. 2. Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap lebih dari 15 tikus. Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu tahun tertentu daerah ini akan dilanda : l kurang dari 4 kali angin ribut l 6 sampai 8 kali angin ribut l Tepat 5 angin ribut l Tepat 6 angin ribut. Apa bedanya dengan reratanya?

Latihan diskusi 3. Seorang grower tanaman hias mampu menghasilkan 2 jenis spesies silangan baru per tahun. Pada tahun depan spesies baru yang akan dihasilkan, akan dikenalkan pada pameran flora Indonesia. Berapa peluang bahwa tahun depan ia akan membuat : l 4 atau lebih spesies silangan baru l Tidak dapat menghasilkan spesies l kurang 2 spesis l lebih dari 4 spesies