Kuswanto 2012 Peubah acak l Peubah acak adalah
Kuswanto, 2012
Peubah acak l Peubah acak adalah suatu kejadian yang dapat diucapkan dalam bentuk bilangan nyata. Notasi yang sering digunakan adalah X, Y, Z.
Macam peubah acak l Peubah acak diskrit, misalnya : jumlah orang dalam satu ruangan. l l l Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga, tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah. Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang berupa cacahan. Peubah acak kontinyu, misalnya : produksi padi/ha. l l Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang mengandung titik tak terhingga yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis. Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang diukur
Sebaran Peluang Diskrit l Sebaran peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya. l Sebaran peluang Binom dan Poisson termasuk kelompok ini.
Contoh l Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka peubah acak X adalah jumlah bilangan. X adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam (6) cara masing-masing dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara. l l x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -------------------------------------------P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 l Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat mengggunakan grafik dalam bentuk histogram peluang.
Histogram
Sebaran peluang binom l l l Berdasarkan percobaan Bernoulli hasilnya diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil) dan gagal (G). P(S) = p = n dan P(G) = q = 1 -n p+q = 1 Contoh : l l l kontrol kualitas barang diklasifikasikan sebagai cacat (C) dan baik (B) efektifitas obat sembuh (S) dan tak sembuh (G) kelahiran anak pria (S) dan wanita (G) atau wanita (S) dan pria (G
Fungsi sebaran binomial l l l l Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha tsb, dimana n = 3 dan X=1, maka S ----- S G G ----- S G l l Jadi f(x) = (n binomial untuk X (banyaknya berhasil) = 1 SGG = pqq = pq² GSG = qpq = pq² GGS = qqp = pq² P(x=1) = 3(pq²) = (3 1) p 1 q 3 -1 karena n=3, x = sukses, (n-x) gagal, maka kombinasi C(n x) = banyaknya susunan x) px qn-x dinamakan fungsi sebaran
Contoh sebaran binomial l l Suatu pabrik elektronik menjamin produksinya mempunyai peluang tahan goncangan 0, 90. Dari kiriman 10 buah, tentukan peluang terhadap 8 yang tahan goncangan! Jawab : n=10, x=8, p=0, 90, q= 1 -0, 90 = 0, 1, maka l l P(x=8) = (10 8) (0, 90)8 (0, 1)2 = 10!/8!. 2!. (0, 90)8 (0, 1)2 = 0, 1937 Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.
Penggunaan tabel binomial Untuk contoh soal tersebut, pilih n = 10 kemudian dicari jumlah berhasil x = 8. l Karena peluang keberhasilan adalah 0, 90, maka dari x = 8 ditarik ke kanan sampai pada p = 0, 90. l Namun demikian, sebelum mencari nilai peluang dari tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu. l
Contoh tabel --Binomial P x 0. 05 0. 15 0. 25 0. 35 0. 45 0. 55 0. 65 0. 75 0. 85 0. 95 0 0. 599 0. 349 0. 197 0. 107 0. 056 0. 028 0. 013 0. 006 0. 003 0. 001 0. 000 0. 000 1 0. 914 0. 736 0. 544 0. 376 0. 244 0. 149 0. 086 0. 046 0. 023 0. 011 0. 005 0. 002 0. 001 0. 000 2 0. 988 0. 930 0. 820 0. 678 0. 526 0. 383 0. 262 0. 167 0. 100 0. 055 0. 027 0. 012 0. 005 0. 002 0. 000 3 0. 999 0. 987 0. 950 0. 879 0. 776 0. 650 0. 514 0. 382 0. 266 0. 172 0. 102 0. 055 0. 026 0. 011 0. 004 0. 001 0. 000 4 1. 000 0. 998 0. 990 0. 967 0. 922 0. 850 0. 751 0. 633 0. 504 0. 377 0. 262 0. 166 0. 095 0. 047 0. 020 0. 006 0. 001 0. 000 5 1. 000 0. 999 0. 994 0. 980 0. 953 0. 905 0. 834 0. 738 0. 623 0. 496 0. 367 0. 249 0. 150 0. 078 0. 033 0. 010 0. 002 0. 000 6 1. 000 0. 999 0. 996 0. 989 0. 974 0. 945 0. 898 0. 828 0. 734 0. 618 0. 486 0. 350 0. 224 0. 121 0. 050 0. 013 0. 001 7 1. 000 0. 998 0. 995 0. 988 0. 973 0. 945 0. 900 0. 833 0. 738 0. 617 0. 474 0. 322 0. 180 0. 070 0. 012 8 1. 000 0. 999 0. 998 0. 995 0. 989 0. 977 0. 954 0. 914 0. 851 0. 756 0. 624 0. 456 0. 264 0. 086 9 1. 000 1. 000 0. 999 0. 997 0. 994 0. 987 0. 972 0. 944 0. 893 0. 803 0. 651 0. 401 10 1. 000 1. 000
Contoh lain l l Untuk n=15 dan p=0, 4, hitung P(x ≥ 10) dan P(3 x 8). Gunakan Tabel Binomial Jawab : P(x ≥ 10) = 1 - P(x 9) = 1 - 0, 966 = 0, 034 lihat tabel l P(3 x 8) = P(x 8) - P(x 2) l = 0, 905 - 0, 0271 = 0, 878 l l P (x=4) = P(x 4) - P(x 3) l = ? ? ? Coba kerjakan
Latihan diskusi 1. Tentukan peluang mendapatkan tepat bilangan 2 apabila sebuah dadu dilemparkan! 2. Peluang bunga anggek akan mekar besuk pagi adalah 0, 4. Bila 15 tanaman yang bunganya akan mekar sedang diuji, berapa peluang : l l l a). sekurang-kurangnya 10 tanaman yang bunganya akan mekar b). ada 3 sampai 8 tanaman yang bunga akan mekar c). tepat 5 tanaman yang bunganya akan mekar 3. A campus newspaper claims that 80% of the student support its view on a campus issue about hybrid rice production. A random sample of 20 agriculture faculty students is taken, 12 students agree with the newspaper. Find P(12 or less agree), if 80% support the view, and comment on the plausibility of the claim.
4. Suppose it is known that a new pesticide treatment is successful in killing a insect in 50% of the cases. If it is tried on 15 insects, find the probability that : l a). at most 6 will be killed, l b). the number killed will be now fewer than 6 and no more than 10, l c). 12 or more will be killed 5. Using binomial table, find the probability of : l a. 3 successes in 8 trials when p = 0, 4 l b. 7 failures in 16 trials when p = 0, 6 l c. 3 or fewer successes in 9 trials when p = 0, 4 l d. more than 12 successes in 16 trials when p = 0, 7 l e. the number of successes betweet 3 and 13 (both inclusive) in 16 trials when p = 0, 6
6. Only 30% of the students in agriculture faculty feel that this subject is easy. If 20 students are selected at random, find the probability that 5 or less will feel that this subject is easy. Find the probability that exactly 6 students feel that this subject is easy. l Find the cases of other binomial distribution?
Terima kasih
Sebaran peluang Poisson Percobaan Poisson : suatu percobaan yang menghasilkan variabel random x, yang menyatakan jumlah berhasil dalam suatu selang (interval) tertentu atau daerah tertentu. l Selang waktu mulai milidetik sampai tahunan. l Daerah juga mulai dari satuan panjang, luas ataupun volume. l
Contoh percobaan Poisson : l Jumlah sambungan telepon yang masuk suatu kantor l Jumlah langganan yang datang pada suatu super market per 5 menit l Jumlah salah ketik per halaman l Jumlah tikus sawah per hektar
Ciri-ciri lain sebaran Poisson l l Independen antar daerah atau waktu Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nol e - x f(x) = ------- dimana x = 0, 1, 2, … x! e = 2, 71828
Contoh l Rata-rata sambungan telepon masuk suatu kantor adalah 7 sambungan per jam. Tentukan peluang (dalam jam) l terdapat 5 sambungan per jam l terdapat kurang atau sma dengan 9 sambungan per jam l lebih dari 12 sambungan per jam l Jawab l P(x=5, =7) = (e-7. 75)/5! = ……. Atau …
Penggunaan Tabel Poisson Untuk nilai µ = 7 dapat dilihat pada kolom paling kanan, kemudian untuk mencari P(5, µ), ditarik titik temu antara x=5 dengan µ=7, dan diperoleh nilai peluang 0, 3007. l Namun demikian sebelum mencarai nilai peluang pada tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu. l
Contoh tabel poisson x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. 10 0. 0022 0. 0159 0. 0577 0. 1425 0. 2719 0. 4298 0. 5902 0. 7301 0. 8367 0. 9090 0. 9531 0. 9776 0. 9900 0. 9958 0. 9984 0. 9998 0. 9999 1. 0000 6. 20 0. 0020 0. 0146 0. 0536 0. 1342 0. 2592 0. 4141 0. 5742 0. 7160 0. 8259 0. 9016 0. 9486 0. 9750 0. 9887 0. 9952 0. 9981 0. 9993 0. 9997 0. 9999 1. 0000 6. 30 0. 0018 0. 0134 0. 0498 0. 1264 0. 2469 0. 3988 0. 5582 0. 7017 0. 8148 0. 8939 0. 9437 0. 9723 0. 9873 0. 9945 0. 9978 0. 9992 0. 9997 0. 9999 1. 0000 6. 40 0. 0017 0. 0123 0. 0463 0. 1189 0. 2351 0. 3837 0. 5423 0. 6873 0. 8033 0. 8858 0. 9386 0. 9693 0. 9857 0. 9937 0. 9974 0. 9990 0. 9996 0. 9999 1. 0000 µ (lt) 6. 50 6. 60 0. 0015 0. 0014 0. 0113 0. 0103 0. 0430 0. 0400 0. 1118 0. 1052 0. 2237 0. 2127 0. 3690 0. 3547 0. 5265 0. 5108 0. 6728 0. 6581 0. 7916 0. 7796 0. 8774 0. 8686 0. 9332 0. 9274 0. 9661 0. 9627 0. 9840 0. 9821 0. 9929 0. 9920 0. 9970 0. 9966 0. 9988 0. 9986 0. 9995 0. 9998 0. 9999 1. 0000 6. 70 0. 0012 0. 0095 0. 0371 0. 0988 0. 2022 0. 3406 0. 4953 0. 6433 0. 7673 0. 8596 0. 9214 0. 9591 0. 9801 0. 9909 0. 9961 0. 9984 0. 9998 0. 9999 1. 0000 6. 80 0. 0011 0. 0087 0. 0344 0. 0928 0. 1920 0. 3270 0. 4799 0. 6285 0. 7548 0. 8502 0. 9151 0. 9552 0. 9779 0. 9898 0. 9956 0. 9982 0. 9993 0. 9997 0. 9999 1. 0000 6. 90 0. 0010 0. 0080 0. 0320 0. 0871 0. 1823 0. 3137 0. 4647 0. 6136 0. 7420 0. 8405 0. 9084 0. 9510 0. 9755 0. 9885 0. 9950 0. 9979 0. 9992 0. 9997 0. 9999 1. 0000 7. 00 0. 0009 0. 0073 0. 0296 0. 0818 0. 1730 0. 3007 0. 4497 0. 5987 0. 7291 0. 8305 0. 9015 0. 9467 0. 9730 0. 9872 0. 9943 0. 9976 0. 9990 0. 9996 0. 9999 1. 0000
Menggunakan tabel poisson l l Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang Poisson yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat. Dari Tabel tersebut, dipeoleh : l 5 4 a. . (P(x, 7) - P(x, 7) = 0, 3007 - 0, 1730 = 0, 1277 (lihat tabel) x=0 l 9 b) (P(x, 7) = 0, 8305 x=0 l 12 = 1 - (P(x, 7) = 1 - 0, 9730 = 0, 00270 x=0
Ciri distribusi poisson Independen antar daerah atau waktu l Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut l Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nol l
Latihan diskusi 1. 2. Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap lebih dari 15 tikus. Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu tahun tertentu daerah ini akan dilanda : l kurang dari 4 kali angin ribut l 6 sampai 8 kali angin ribut l Tepat 5 angin ribut l Tepat 6 angin ribut. Apa bedanya dengan reratanya?
Latihan diskusi 3. Seorang grower tanaman hias mampu menghasilkan 2 jenis spesies silangan baru per tahun. Pada tahun depan spesies baru yang akan dihasilkan, akan dikenalkan pada pameran flora Indonesia. Berapa peluang bahwa tahun depan ia akan membuat : l 4 atau lebih spesies silangan baru l Tidak dapat menghasilkan spesies l kurang 2 spesis l lebih dari 4 spesies
- Slides: 31