Kuswanto 2007 Sebaran NORMAL l l Sebaran peluang

Kuswanto, 2007

Sebaran NORMAL l l Sebaran peluang kontinyu yang paling penting dalam bidang statistika adalah sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal, yaitu grafik berbentuk genta seperti yang terlihat di bawah. Grafik ini digunakan banyak sekali untuk gugusan data yang terjadi di alam, industri dan penelitian. Bentuk persamaan kurva normal :

Bentuk persamaan normal f(x) = untuk - < x < , = 3, 14159, e = 2, 71828 f(x) bentuk kurva normal

Ciri kurva normal μ -σ μ Distribusi normal dituliskan dengan X ~ N (μ, σ) μ+σ • ada 2 parameter, yaitu (mean) dan (sigma=standar deviasi) • grafiknya disebut kurva normal lihat gambar dibawah Ciri : - simetris terhadap μ - mempunyai titik belok x = μ+σ

Fungsi normal juga sudah ditabelkan, tetapi khusus untuk μ=0 dan σ=1. l Distribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi 1 disebut Distribusi Normal Baku dan diberi notasi Z~N(0, 1) dan Z = (x- μ)/σ l Yang tersedia tabel P(Z ≤ zo) l

Distribusi normal baku -1 0 +1 Mengingat distribusi normal mempunyai sifat simetris dan luas dibawah kurva sama dengan 1, maka P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 0, 5

Contoh : l l a. Hitung peluang P(Z<1, 37) dan P(Z>1, 37) Dengan melihat tabel kurva normal l l P(Z<1, 37) = 0, 9147 dan P(Z>1, 37) = 1 - P(Z<1, 37) = 1 - 0, 9147 = 0, 0853 0, 9147 1, 37

b. P(-1, 55 ≤ Z ≤ 1, 60) = P(Z ≤ 1, 60) - P(Z ≤-1, 55) = 0, 9452 - 0, 0606 = 0, 8846 -1, 55 1, 60 c. Tentukan harga Zo sedemikian hingga P(Z>Zo) = 0, 025 Dengan cara dibalik, maka P(Z ≤ Zo) = 1 - 0, 025 = 0, 975 Dicari di tabel (ingat soal dibalik) Zo = 1, 96

Normal baku l Karena Distribusi normal X ~ N (μ, σ) dengan transformasi menjadi baku Z = x-μ maka Z ~ N (0, 1) σ l Soal d. Rata-rata kalori humburger yang dihidangkan untuk makan siang adalah 200 dengan standar deviasi 5. Bila kalori mengikuti distribusi normal, tentukan : P(X>208) dan P(190< x <200) Jawab: P(x>208) = P[(x-200)/5] > (208 -200)/5] = P(Z>1, 6) = 1 - P(Z ≤ 1, 6) = 1 - 0, 9452 = 0, 0548 l

P(190< x <200) = P[(190 -200)/5 < (x-200)/5 < (200 -200)/5] = P(-2 < Z < 0) = 0, 5 - P(Z<-2) = 0, 5 - 0, 0228 = 0, 4772

Bila diambil contok acak n l l Dari teorema limit pusat, misalkan diambil contok acak berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai mean μ dan standar deviasi σ, maka x 1+ x 2 + x 3 + …+ xn x = -----------------n akan mempunyai distribusi normal dengan mean μ dan varian σ²/n Dalam praktek n ∞, dapat didekati untuk n ≥ 30. Teorema limit pusat ini membuat peranan distribusi normal menjadi penting.

Dengan pengambilan contoh acak n, maka bentuk kurva normal dapat dilukiskan sebagai : μ-σ/n titik belok μ μ+σ/n titik belok σ biasanya juga tidak diketahui dan bisa diduga s (standar deviasi contoh)

Contoh : l l Suatu populasi mempunyai rata-rata = 82 dan standar deviasi =12. Diambil contoh acak sebanyak n = 64. Tentukan P(80, 8 ≤ x ≤ 83, 2) dan P( x > 93, 2). Menurut teorema limit pusat x ~ (82, 144/64) dimana μ = 82 dan σx = σ/√n = 12/8 = 1, 5, maka P(80, 8 ≤ x ≤ 83, 2) = P[(80, 8 -82)/1, 5 ≤ ( x -82)/1, 5 ≤ (83, 2 -82)/1, 5] = P(-1, 2/1, 5 ≤ Z ≤ 1, 2/1, 5) = P(-0, 8 ≤ Z ≤ 0, 8) = P(Z ≤ 0, 8) - P(Z ≤ -0, 8) = 0, 7881 - 0, 2119 = 0, 5762

l P( x > 93, 2) = P[(x-82)/1, 5 > (93, 2 -82)/1, 5] = P(Z> 11, 2/1, 5) = P(Z > 7, 46) = 1 - P(Z ≤ 7, 46) =1 -1=0

The Normal Distribution: 68. 27% f 95. 44% 99. 73% 3 2 X 2 3 There is an equation which describes the height of the normal curve in relation to its standard dev ( )

Normal distribution with σ = 1, with varying means μ=1 μ=2 ƒ μ=0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 If you get difficulties to keep this term, read statistics books

Normal distribution with μ = 0, with varying standard deviations ƒ σ=1 σ = 1. 5 σ=2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Exercises, normal distribution 1. For the standard normal random variable Z, find l l l 2. P(Z < 0, 42), P(-1, 2 < Z < 2, 1), P( Z < 1, 64) Find z-value in each of the following cases : l l P( Z < z ) = 0, 1736 P(Z > z ) = 0, 10 P(-z < Z < z) = 0, 954 P(-0, 6 < Z < z ) = 0, 50

3. Scores on certain nationwide college entrance examination follow a normal distribution with a mean of 500 and a standard deviation of 100. Find the probability that a student will score : l l l Over 650 Less than 250 Between 325 and 675

Soal 4. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 834 jam. Tunjukkan luas daerahnya dalam gambar sebaran normal. 5. Find normal distribution cases in your daily needed, at least 2 cases. You must be explain it completely, consist of stetement, sample of data and the figure illustration. Write all in English fluently.