Kuswanto 2007 1 Pengertian Hipotesis statistik adalah asumsi

Kuswanto, 2007

1. Pengertian Hipotesis statistik adalah asumsi atau pernyataan mengenai satu atau lebih populasi. u Hipotesis nol (H 0) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak. u Hipotesis alternatif (H 1) akan muncul akibat penolakan hipotesis nol. u Hipotesis bisa benar atau salah. u Bila semua data mendukung hipotesis tersebut baru dapat dikatakan benar. u

u u Bila ada satu saja yang tidak mendukung, maka hipotesis tersebut salah, sehingga kita menolak. Penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan hipotesis tersebut salah, penerimaan hipotesis semata -mata mengimplikasikan bahwa kita tidak punya bukti untuk mempercayai sebaliknya Apabila kita menolak berarti hipotesis tersebut adalah salah dan apabila kita menerima belum tentu hipotesis tersebut benar. Namun ada kalanya kita menerima walaupun hipotesis tersebut sebenarnya salah atau menolak padahal hipotesis tersebut ternyata benar.

Perhatikan Menolak Menerima Hipotesis Benar Hipotesis Salah tipe II Apabila kita membuat kesalahan karena menolak hipotesis yang benar berarti telah melakukan kesalahan (galat) jenis I, dan u Apabila menerima hipotesis yang salah, kita telah melakukan kesalahan (galat) jenis II. u Tentu saja melakukan kesalahan jenis II adalah lebih berat daripada jenis I. u

Tingkat signifikansi u Peluang untuk melakukan kesalahan jenis I disebut tingkat signifikansi (taraf nyata) yang dilambangkan dengan ; sehingga – = P (menolak hipotesis yang benar) dan – = P (menerima hipotesis yang benar) u u Baik maupun selalu kecil, tetapi bila lebih kecil maka membesar dan bila diperbesar mengecil. Satu-satunya jalan untuk memperkecil kesalahan adalah dengan memperbanyak contoh. dapat ditentukan, bisa 0, 05 dan 0, 01 (R. A Fisher), dan yang lebih penting dalam menentukan adalah resiko ketelitian yang akan diperoleh.

2. Pengujian rerata populasi Pengujian nilai tengah dapat dikerjakan dengan asumsi ragam ² diketahui. u Contoh acak berukuran n, x 1, x 2, x 3, …, xn diambil dari populasi menyebar normal X~N( , ²). u Kita ingin menguji hipotesis bahwa nilai tengah populasi sama dengan nilai tertentu 0 lawan hipotesis alternatifnya bahwa nilai tengah populasi lebih dari, kurang dari atau tidak sama dengan 0. u

Hipotesis yang akan diuji akan berupa : a. Ho : = 0 lawan H 1 : > 0 u b. Ho : = 0 lawan H 1 : < 0 u c. Ho : = 0 lawan H 1 : 0 u Dua uji hipotesis pertama disebut uji satu arah, karena hipotesis tandingan hanya ada pada satu arah dari Ho. u Pengujian hipotesis yang ketiga disebut uji dua arah, karena hipotesis tandingan ada pada dua arah Ho yaitu lebih kecil atau lebih besar dari 0. u

Daerah penerimaan dan penolakan untuk uji satu arah Daerah penerimaan H 1 Daerah penerimaan Ho Untuk : Ho : = 0 Luas=α lawan H 1 : > 0

Daerah penerimaan dan penolakan untuk uji satu arah Daerah perimaan H 1 Luas = α Daerah penerimaan Ho Untuk Ho : = 0 lawan H 1 : < 0

Daerah penerimaan dan penolakan untuk uji dua arah Daerah penolakan Ho Daerah penerimaan Ho Luas=½α d 1 u. Untuk Ho : = 0 Luas=½α d 2 lawan H 1 : 0

Langkah-langkah pengujian hipotesis rata-rata 1. 2. 3. 4. 5. 6. Nyatakan hipotesis nol-nya bahwa Ho : = o Pilih hipotesis alternatif H 1 yang sesuai antara < o, > o atau Tentukan taraf nyatanya /2 Pilih statistik uji yang sesuai, apakah z, t, λ² atau F dan kemudian tentukan wilayah kritiknya Hitung nilai statistik uji berdasarkan contohnya Keputusan : tolak Ho bila nilai statistik uji tersebut jatuh dalam wilayah kritiknya, sedangkan bila nilai itu jatuh diluar wilayah kritiknya terima Ho. Uji dikatakan nyata bila ditolak pada taraf nyata 0, 05 dan dikatakan sangat nyata dila ditolak pada taraf nyata 0, 01

Menguji rata-rata

Contoh : satu populasi, varian pop ( ² atau ) diketahui Soal : u Nilai tengah kemampuan alat beban adalah 8 kg dengan simpangan baku 0, 5 kg. Ujilah hipotesis bahwa = 8 kg lawan alternatifnya 8 kg, bila contoh acak 50 alat memberikan nilai tengah 7, 8 kg. Gunakan taraf nyata 0, 01. Jawab : 1. Ho : = 8 kg 2. H 1 : 8 kg 3. = 0, 01 4. Karena = 0, 01, maka 1 - = 0, 99 sehingga (z tabel)= 2, 575. Dengan demikian wilayah kritik adalah -2, 575 s/d 2, 575. karena ( ²) diketahui, gunakan uji Z z = ( x - 0)/( / n) 5. Perhitungan : dengan x = 7, 8 kg dan n = 50 maka z hit = (7, 8 -8)/(0, 5/ 50) = -2, 83 6. Keputusan : Tolak Ho, kesimpulan rata-rata kekuatan alat 8, Tunjukkan gambar

Daerah penerimaan dan penolakan Daerah penolakan Ho (terima H 1) Luas=½α Daerah penolakan Ho (terima H 1) Daerah penerimaan Ho -2, 575 u. Untuk Ho : = 0 Luas=½α 2, 575 lawan H 1 : 0

Bagaimana kalau ( ² atau ) tidak diketahui? u Bila ² tidak diketahui, maka diduga dari simpangan baku contoh (s) u Gunakan uji t –t = ( x - 0)/(s/ n) ut berdistribusi Student dgn db n-1 u Gunakan tabel t

Contoh soal u u u u Soal : Masa pakai lampu adalah 800 jam. Uji terhadap 50 lampu, diperoleh rata-rata 792 jam dan simpangan baku contoh 55 jam. Ujilah dengan taraf 0, 05 apakah kualitas lampu berubah? Jawab Ho : = 800 jam, berarti masa pakai lampu 800 jam H 1 : ≠ 800 jam, berarti masa pakai berubah bukan 800 jam t hit = ( x - 0)/(s/ n) = (792 -800)/(55/√ 50) = - 1, 029 Lihat tabel t dengan taraf 0, 05 dan db=49 dan diperoleh t =2, 01. Karena uji 2 arah maka, maka apabila t hitung terletak antara 2, 01 sampai 2, 01, maka H 0 akan diterima. Ternyata t hit terletak didalam wilayah kritis, maka H 0 diterima atau rata-rata masa pakai lampu memang 800 jam

Daerah penerimaan dan penolakan Daerah penolakan Ho (terima H 1) Daerah penerimaan Ho Luas=0, 025 -2, 01 Luas=0, 025 2, 01 t hit = -1, 029 terletak didalam wilayah kritis, Sehingga terima H 0

Menguji rata-rata

Uji satu arah, ( ² atau ) diketahui u u Soal : Hasil pengamatan jumlah polong kacang panjang adalah 16 dengan varian 2, 3. Saudara tidak percaya dan melakukan pengamatan terhadap 20 tanaman, ternyata diperoleh rata 16, 9. Patutkan hasil pengamatan tersebut dipercaya? Ujilah dengan taraf 0, 05% Jawab – Ho : = 16, berarti rata-rata polong paling tinggi 16 – H 1 : > 16, berarti pengamatan sdr lebih dari 16 – Z hit = ( x - 0)/( / n) = (16, 9 -16)/(2, 3/ 20) = 2, 65 – Dari tabel normal diperoleh 1, 64 – Karena z hit terletak diluar wilayah kritis Z tabel, maka tolak Ho atau terima H 1. Berarti pengamatan sdr layak dipercaya dan jumlah polong memang > 16 – Gambar

Daerah penerimaan dan penolakan Daerah penerimaan H 1 Daerah penerimaan Ho Luas=0, 05 1, 64 z hit = 2, 65 lebih dari z tabel, maka terima H 1 dan tolak H 0, atau jumlah polong memang 16, 9 Bagaimana kalau taraf nyata 0, 01%? ?

Bagaimana kalau ( ) tidak diketahui? u Bila ² tidak diketahui, maka diduga dari simpangan baku contoh (s) u Gunakan uji t –t = ( x - 0)/(s/ n) ut berdistribusi Student dgn db n-1 u Gunakan tabel t

Contoh Soal u u Penyemprotan GA 3 dapat menambah bobot mentimun 4, 5 g. Dari contoh 31 buah mentimun mempunyai rata-rata 4, 9 g dan simpangan baku 0, 8 g. Dengan taraf 0, 01, layakkah sdr menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata bobot mentimun minimal 4, 5 g? Jawab – Ho : = 4, 5, berarti GA 3 menambah bobot rata-rata 4, 5 g – H 1 : > 4, 5, berarti GA 3 meningkatkan bobot minimal 4, 5 g – t hit = ( x - 0)/(s/ n) = (4, 9 -4, 5)/√(0, 8/31) = 2, 78 – Dari t tabel pada db=30 diperoleh 2, 46 – Karena t hit terletak diluar wilayah kritis t tabel, maka tolak Ho atau terima H 1. Berarti pemberian GA 3 sungguh dapat bobot minimal 4, 5 g – Gambar

Daerah penerimaan dan penolakan Daerah penerimaan H 1 Distribusi t student db = 30 Daerah penerimaan Ho Luas=0, 01 2, 46 t hit = 2, 78 lebih dari t tabel, maka terima H 1 dan tolak H 0, atau penggunaan GA 3 memang meningkatkan Rata-rata bobot buah minimal 4, 5 g

UJI BEDA 2 RATA-RATA u u u u Sering dipakai untuk penelitian Untuk membedakan rata-rata 2 populasi (atau 2 perlakuan) Karena ada 2 populasi, maka juga ada 2 simpangan baku Pengujian juga bisa dua arah dan satu arah Apabila 1= 2 dan nilainya diketahui, (misal = ), gunakan statistik Z Apabila 1= 2 dan nilai tidak diketahui, gunakan statistik t Apabila 1≠ 2 dan nilainya tidak diketahui, gunakan statistik t’ (atau statistik untuk simpangan baku tidak sama)

Z= t= (x 1 - x 2) [ √(1/n 1 + 1/n 2)] (x 1 – x 2) [s √(1/n 1 + 1/n 2)] Dimana s² = [(n 1 -1)s 1² + (n 2 -1)s 2² n 1+n 2 - 2 (x 1 – x 2) t’= √(s 1²/n 1) + (s 2²/n 2)]

Contoh soal u u Hasil pengamatan jumlah buah dari 2 varietas tomat adalah sbb. Varietas A terdiri 11 tanaman dan varietas B 10 tanaman. Dalam taraf α=0, 05, tentukan apakah kedua populasi (varietas) tersebut sama atau tidak? Jawab : – Hitung rata-rata XA =3, 22 dan XB=3, 07 – Hitung ragam contoh S²A= 0, 1996 dan S²B =0, 1112 – Hitung s gabunga s = 0, 397 – Setelah ketemu semua, masukkan kedalam rumus uji t. Setelah dihitung ketemu t = 0, 862 – Nilai t 0, 975 dengn db 19 dari t student adalah 2, 09, sehingga wilayah penerimaan Ho adalah antara -2, 09 sampai 2, 09 – Kesimpulan terima H 0 atau kedua varietas tersebut tidak berbeda nyata. Lihat gambar A 3, 1 3 3, 3 2, 9 2, 6 3, 0 3, 6 2, 7 3, 8 4, 0 3, 4 B 2, 7 2, 9 3, 4 3, 2 3, 3 2, 9 3 2, 6 3, 7

Gambar Daerah penolakan Ho (terima H 1) Daerah penerimaan Ho Luas=0, 025 -2, 09 Luas=0, 025 2, 09 t hit = 0, 862 terletak didalam wilayah kritis, Sehingga terima H 0

Secara ringkas Ho Nilai Uji Statistik H 1 Wilayah Kritik = 0 Z = ( x - 0)/( / n) diketahui atau n 30 > 0 < 0 0 z < -z t = ( x - 0)/(s/ n) tidak diketahui atau n < 30 > 0 < 0 t < -t ( x 1 - x 2) = d 0 z = ------------ ( 1²/n 1) + ( 2²/n 2) 1 dan 2 tidak diketahui 1 - 2 < d 0 1 - 2 > d 0 1 - 2 d 0 z < -z ( x 1 - x 2) = d 0 t = ------------s (1/n 1) + (1/n 2) db =n 1+n 2 -2, 1 = 2=tak diketahui (n 1 -1) s 1² +(n 2 -1) s 2² s² = ---------------n 1 + n 2 -2 1 - 2 < d 0 1 - 2 > d 0 1 - 2 d 0 t < -t = 0 - 0 = d 0 z > z z < -z /2 z > z /2 t > t t < -t /2 t > t /2

Soal-soal pengujian rata-rata populasi 1. 2. 3. A company claims their pen will write for over 100 hours. If we take this statement to apply to the mean , show to state Ho and H 1 in a test designed to establish the claim. A Random sample of 50 video compact disks rental club members Were questioned about the number of movie rented last month. It was found that mean (sample) = 9, 3 and s = 2, 2. Do these data support the assertion that the mean is greater than 8, 6? Use = 0, 05. Tinggi rata-rata mahasiswi FP adalah 162, 5 cm dengan simpangan baku 6, 9 cm. Apakah ada alasan untuk mempercayai bahwa telah terjadi perubahan dalam tinggi rata-rata, bila suatu contoh acak 50 mahasiswi mempunyai tinggi rata-rata 165, 2 cm. Gunakan taraf nyata 0, 02.

3. Pengujian tentang ragam populasi u u u Pengujian hipotesis nol bahwa ragam populasi ² sama dengan nilai tertentu 0² lawah salah alternatif ² < 0², ² > 0², ² 0². Jika sebaran populasi yang dimbil contohnya menghampiri normal, nilai khi-kuadrat bagi pengujian ² = 0² diberikan menurut rumus : (n-1) s² χ² = ------ 0² Sebagaimana uji rata-rata, pada uji varian juga terdapat uji dua arah dan satu arah Digunakan statistik Chi-kuadrat (χ²)

Contoh u u u u u Soal : Sebuah perusahaan benih mengatakan bahwa masa viabilitas benih yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0, 9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 benih menghasilkan simpangan baku s = 1, 2 tahun, apakah menurut sdr >0, 9 tahun? Gunakan taraf nyata 0, 05. Jawab: Ho : ² = 0, 81 H 1 : ² > 0, 81 = 0, 05 Dari gambar, Ho ditolak bila χ² > 16, 919 Perhitungan s² = 1, 44 dan n = 10, maka χ² = (9) (1, 44)/0, 81 = 16, 0 Keputusan : terima Ho dan tidak ada alasan untuk meragukan bahwa simpangan bakunya adalah 0, 9 tahun.

Soal-soal pendugaan ragam populasi u u Kandungan nikotin rokok A diketahui menyebar normal dengan ragam 1, 3 mg. Ujilah hipotesis bahwa ² = 1, 3 laman alternatifnya ² 1, 3, bila suatu contoh acak 8 batang rokok tersebut menghasilkan simpangan baku s = 1, 8. Gunakan taraf nyata 0, 05. Sebuah mesin minuman ringan perlu diperbaiki bila ragam minuman yang dikeluarkan melebihi 1, 15 dl. Suatu contoh acak 25 minuman dari me. Sin ini menghasilkan ragam 2, 03 dl. Pada taraf nyata 0, 05 apakah ini menunjukkan bahwa mesin itu sudah perlu diperbaiki? Asumsikan bahwa isi minuman yang dikeluarkan menghampiri sebaran normal.