KURZPROGRAMM basicmodule mit uns knnen Sie rechnen Gernot

KURZPROGRAMM basic-module . . . mit uns können Sie rechnen! Gernot Mühlbacher Quadratische Funktion . . . mit uns können Sie rechnen! • Graphen von Parabeln Funktionsgleichung Graph Funktionsgleichung Die Kurzprogramme kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/downloads/basic-modules/ Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Wollen Sie auch werben? http: //www. elearning-soft. de/services/kontaktimpressum/ © 2018 Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 0

Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-module) wissen solltest: Dem vorliegenden Kurzprogramm lag das umfangreiche master-module „Quadratische Funktion“ zugrunde. umfang (Quadratische Funktion. ppsx) -reich Dieser große Themenbereich als Ganzes war zur sinnvollen Nutzung für Lernende nicht immer geeignet. Er bestand aus: • 23 animierten Folien (ohne Titelblatt, Stichwortverzeichnis und allgemein gehaltenen Beiblättern • Arbeitsblättern (AB) für diese Folien (zum Ausdruck) • INFO bekannt? . . . gleich starten: Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: > Graph v Parabeln AB. pdf > Graph v Parabeln EF. pdf Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. 23 entwickelten Folien (EF) (zum Ausdruck und Sammeln) Deshalb wurde er in vier Kurzprogramme (basic-modules) aufgeteilt: 1 I. Normalparabel. ppsx II allgemeine Parabeln. ppsx III Graph v Parabeln. ppsx IV. Gerade und Parabel. ppsx 2 3 4 Zu jedem der vier Pakete gehören auch ausgearbeitete ‚Arbeitsblätter‘ und die ‚Entwickelte Folien‘ zum Ausdrucken. Die basic-modules kannst Du herunterladen auf der Website ‚www. e. Learning-Soft. de‘ (Verzeichnis‘Downloades‘) Zwar sind sowohl master-modules als auch basic-modules auf PC/Laptop und Tablet-Rechnern technisch lauffähig. . . master-modules aber nicht immer flott! Für den Einsatz der e. Learning-Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit auch die kostenlose Office Online-Anwendung für Power. Point zur Verfügung. Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point-Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: http: //www. elearning-soft. de im Verzeichnis >services< 1

Wiederholung: Beliebter Spezialfall: ALLGEMEINE FORM und SCHEITELPUNKTSFORM der quadratischen Funktion zu Folie Wir wollen an dieser Stelle die im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen auftretenden Bezeichnungen zusammenfassen. Wir haben sie alle schon kennen gelernt. Normalparabel Folgende Koeffizienten führen zur Normalparabel. 6 1. Die allgemeine Form der quadratischen Funktion : y = ax 2 + bx + c Beispiel: y = 2 x 2 - 4 x + 3 Parameter: a = 2 b = -4 c = 3 1 In der allgemeinen Form: b = 0, c = 0 a = 1 und → Normalparabel In der Scheitelpunktsform: d = 0, e = 0 a = 1 und → Normalparabel 2. Die Scheitelpunktsform (Verschiebeform) der quadratischen Funktion : Beispiel: 2 y = a(x – d) + e y = 2(x – 1)2 + 1 Aus den Parametern d und e lässt sich die Lage des Scheitelpunktes ablesen. a ist der Streckungsfaktor der Parabel. Er gibt an, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht ist. |a| > 1 gestreckt / |a| < 1 gestaucht. positives a → Parabel nach oben offen negatives a → Parabel nach unten offen Der Koeffizient b des linearen x gibt an, wie steil die Tangente im Berührpunkt P steigt oder fällt. Die absolute Zahl c zeigt an, auf welcher Höhe P die Parabel die y-Achse schneidet. y = x 2 P(0/c) c e Rechtsverschiebung bedeutet hier: ⇒ positiver Wert für d (d > 0) (z. B. y = 2(x – (+1)) +1 2 +1 = 2(x –- 1)2 + 1 Linksverschiebung würde bedeuten: ⇒ negativer Wert für d (d < 0) (z. B. y = 2(x – (-1)) -1 2 + 1 = 2(x + 1)2 +1 Die absolute Zahl e zeigt an, um wie viele Einheiten die Parabel nach oben (unten) verschoben wurde. 2

Wiederholung: UMWANDELN Allgemeine Form Scheitelform y = ax 2 + bx + c zu Folie 6 Beispiel: y = 2 x 2 - 4 x + 3 : 2 1. Die Gleichung (jedes Glied!) durch den Streckungsfaktor a dividieren. (Ziel: a = 1) y/ 2 2 + 1, 5 = 1 x 2 – 2 x 2. Quadratische Ergänzung des rechtsseitigen Terms: Ergänzen mit dem Quadrat des halben ( 2 )2 = 1 Koeffizienten des gemischten Gliedes: y/ 2 = x 2 - 2 x +1 -1 + 1, 5 y/ = 2 (x 2 - 2 x +1) -1 + 1, 5 Scheitelform Allgemeine Form y = a(x – d)2 + e y = 2(x - 1)2 + 1 Binomische Formel lösen! y = 2(x 2 -2 x + 1) + 1 ausmultiplizieren! y = 2 x 2 -4 x + 2 + 1 y = 2 x 2 - 4 x + 3 3. Binomische Formel rückwärts! y/ 2 = (x - 1)2 -1 + 1, 5 | ∙ 2 4. Jedes Glied der Gleichung (∙ 2) (Ziel: y isolieren!) y = 2(x - 1)2 -2 + 3 y = 2(x - 1) 12 + 1 1 Abzulesen: Der Scheitel ist um 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach oben verschoben. Graph➙ Folie 2 quadratische Ergänzung Allgemeine Form Scheitelform Binom lösen 3

Gegeben ist die Funktionsgleichung: y = 0, 5 x 2 + 3 x + 3 Von der FUNKTIONSGLEICHUNG zum GRAPHEN (1) Beim Zeichnen des Graphen empfiehlt sich wollen ein planvolles Im Verlauf dieser Folie wir uns. Vorgehen. der Frage zuwenden, wie wir planvoll vorgehen ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘: können, wenn wir zur ‚allgemeinen Form einer Parabelgleichung‘ den entsprechenden Graphen zeichnen wollen. 1. Stufe: „Sich ein Bild vom Problem machen. “ (Eintauchen in das Problem) Für das (oft beschwerliche) Lösen von Textaufgaben wurde unter dem Stichwort • Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? z. B. : Ist das eine Gerade oder Parabel? ‚Modellieren‘ ein Lösungsplan entwickelt. Diesem bist du vielleicht schon in anderen • Welche Informationen kann ich aus unserer der Funktionsgleichung entnehmen? Themenbereichen e. Learning-Software unter der Bezeichnung ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘ • Wie kann ich mir begegnet. ggf. weitere Informationen beschaffen? ? Eine übersichtliche Darstellung 2. Stufe: „Übersetzen in mathematische Sprache“ der vier Schritte steht dir auch am Ende dieses zur Verfügung Wir wollen. Wichtige das ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘ auch. Weg bei zur der Lösung: • Was ich aus der Lehrwerkes Funktionsgleichung ablesen(Folie kann: 8). ➙ Schritte auf dem folgenden Aufgabenstellung anwenden, obwohl es sich hier nichtgestreckt ausgesprochen um Schnittpunkt mit der y-Achse festlegen/ Öffnung der Parabel: Oben oder unten, oder gestaucht? eine Textaufgabe Es die hilft. Tangente dir sicher!am Schnittpunkt P mit der y-Achse? Wo liegt der Scheitelpunkt? Steigthandelt. oder fällt Wir werden uns bei unserem Lösungsplan danach richten. 3. Stufe: „Mathematik anwenden: Rechnen, Zeichnen“ x y Drucke dir ein Exemplar des ‚ 4 -Stufen-Prinzips‘ aus! Drucke dazu 8 aus der /Datei >Graph v Parabeln EF. pdf< ! • Schnittpunkt der Parabel mitdie derentsprechende y-Achse / Lage. Folie der Tangente Wenn du mutig bist, dann trau dich jetzt an das ‚AB zu Folie 5‘! • Auswahl eines. Vergleiche sinnvollen jeden Bereiches auf den Achsen des konkreten Vorschlag mit dem allgemein gehaltenen. Du Ausdruck zum Fahrplan vielleicht wirst unseren Koordinatensystems rechts/links und oben/unten. Wo liegt die Kurve? ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘! erst richtig verstehen, wenn du ihn Entscheidung über die Lage der Parabel im Achsenkreuz derdu nächsten Folie umgesetzt Du wirst vielleicht den entstehenden Fahrplan erst richtig verstehen, auf wenn ihn dann • Welche Bereiche Wertetabelle umfassen: sollst. hast. aufsoll derdie nächsten Folie umsetzen Wichtige x-Werte in der Tabelle eintragen, y-Werte berechnen Spicken auf Folie 5 ist also erlaubt. • Zeichnen des Graphen: Übertragen der Punkte ins Koordinatensystem, verbinden der Punkte 4. Stufe: „Kritische Überprüfung des Ergebnisses. Habe ich das Problem gelöst? “ • z. B. ‚Allgemeine Form‘ in ‚Scheitelpunktsform‘ umwandeln und damit Überprüfen des Scheitelpunktes und der Symmetrieachse der Parabel 1 4

ng utu erm 1. Stufe: Das quadratische Glied x 2 weist auf eine Parabel hin. Die Zahlenwerte in der Funktionsgleichung (allgemeine Form der Parabelgleichung) geben uns wichtige Informationen. 2. Stufe: Wir übersetzen die Funktionsgleichungen in die Zeichnung: 2. V 0, 5 2 ++33 x + 3 Funktionsgleichung: y = 0, 5 x Symmetrieachse Von der FUNKTIONSGLEICHUNG zum GRAPHEN (2) Skizzenfeld P a) Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P (0/3). (c = +3) b) Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht. (a = +0, 5) c) Die Tangente im Berührpunkt P steigt an (b = m = +3). 3. Stufe: Mathematik anwenden, berechnen, zeichnen S (-3/-1, 5) a) Nur wenn du ganz sicher sein willst: Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form ableiten: xx y y -7 -7, 0 6, 5 -6 -6, 0 3, 0 -5 -5, 0 0, 5 -4 -4, 0 -1, 0 (-3/-1, 5) -3 -3, 0 -1, 5 -2 -2, 0 -1 -1, 0 0, 5 0 0, 0 3, 0 1 1, 0 6, 5 Äquivalenzumformung (x 2 muss den Koeffizienten 1 aufweisen, damit wir die quadratische Ergänzung durchführen können. ) Der rechte. Das Ast ist dereine Parabel 1. Vermutung zur Lage müsste sichder an. Parabel. die Tangente Aber: ・ 2 y = 0, 5 x 2 + 3 x + 3 anschmiegen. Jetzt wird‘s ernst! Nur der Schnittpunkt P(0/3) ist sicher. Wir haben auf der vorigen Folie einen für den Lösungsweg Dann kannst du. Plan die x-Werte der 2 y = 1 x 2 + 6 x + 6. . . oben waren nur Skizzen, entworfen. Verfolge ihn jetzt! Wertetabelle auswählen. die helfen sollten, verlaufen, in etwa Wiesinnvoll müsste die Parabel 2 y = (x 2 + 6 x + 9 )- 9 + 6 quadratische Ergänzung (Ausdruck: damit >Quadratische Funktion_EF. pdf<) die der Parabel im (nur) die Lage Tangente die Parabel 2 Nimm dein ‚AB zu Folie 5‘ und beginne nun! Voraus zu ahnen. Die in berührt? : 2 2 y = (x + 3) - 3 der Wertetabelle Deine Zwischenergebnisse notierst (skizzierst) du im Skizzenfeld. 2 - 1, 5 S (-3/-1, 5) y = 0, 5(x + 3)3 - 1, 5 berechneten Punkte sollen ja einen sinnvollen • . . . immer wenn du den weiteren Weg nicht findest, dann b) Ausschnitt aus dem Koordinatensystem festlegen Ausschnitt ergeben. . nutze frühere Folien oder c) Sinnvolle x-Werte in die Wertetabelle übertragen, y-Werte berechnen • verfolge im Notfall kurzzeitig hier unseren Vorschlag! d) Zeichnen des Graphen Übertragen der Punkte ins Koordinatensystem, verbinden der Punkte 4. Stufe: Kritische Überprüfung des Ergebnisses / z. B. : Scheitelpunktform 1 5

. . . rückwärts: Vom Graphen zur Funktionsgleichung Wir wollen die Scheitelpunktsform und die allgemeine 2/3 Funktionsgleichung dieser Parabel ermitteln. Grundsätzlich reichen der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen. Präge dir zunächst genau den Lösungsweg ein! Nur das, was du verstanden hast, kannst du dir merken. P(0/3) C d e S(1/1) Eindeutig ablesbar sind: a) der Scheitelpunkt S(1/1) b) der Schnittpunkt mit der y-Achse P(0/3) Der Graph der verschobenen Normalparabel (grün) müsste durch die Punkte (0/2) und (2/2) gehen. (y = x 2) Hier handelt es sich offensichtlich um eine gestreckte Parabel. Nimm dein ‚AB zu Folie 6)! Eine solche Vorüberlegung ist nützlich. Kannst du begründen, dass Diese es sich. Vorkenntnis nicht umdeinen eine verschobene hilft dir immer wieder, Lösungsweg kritisch zu überprüfen. Normalparabel handelt? . . . dann hier weiter. . . KLICK! 1 Jetzt beginnt der eigentliche Lösungsweg. Die Koordinaten von S(1/1) setzen wir in die Formel der Scheitelpunktform (Folie 2/3) ein. y = a(x – d)2 + e e = ys = 1 d = xs = 1 + 12 ))+2 1+ 1 y = a(x –(1) Noch kennen wir den Faktor a nicht. Er entscheidet über das Ausmaß der Streckung. Deshalb setzen wir. Punktes für x undsind y die Koordinaten eines Koordinaten von P(0/3) sein x- bzw. y-Wert. 0 3 ein: Das Einsetzen der 3 = a(0 – 1)2 + 1 Koordinaten in die 3 = a(-1)2 + 1 -1 Funktionsgleichung Kann a = 2 stimmen? 2 = a ∙ 1 a = 2 Funktionsgleichungen: y = 22(x – 1)2 + 1 führt immer zu einer a > 1 bedeutet eine wahren Aussage. Streckung der. . . in diesem Parabel. Also. . . ? Fall zu einer Gleichung mit einer Unbekannten. (Scheitelpunktform) y = 2(x 2 – 2 x + 1) + 1 y = 2 x 2 – 4 x + 2 + 1 c = y. P = 3 2 y = 2 x – 4 x + 3 (allgemeine Form) Nimm jetzt dein ‚AB zu Folie 6‘! und Überprüfe jetzt die Funktionsgleichungen fertige die Lösung der Aufgabe durch eine Probe mit den Koordinaten möglichst aus dem Gedächtnis! von markanten Punkten Schaubildes! Überprüfe dann deine des Arbeit! 6

Die Lage von Hinzu kommt eine Gerade -1 + 4, 5 II y = -1 x Gegeben ist die Parabel I y = 0, 4 x 2 –- 11 x + 2 → Schnittpunkt mit y-Achse: (0/4, 5) (Nimm das ‘AB zu Folie 7) → Steigungsfaktor m = -1. Gib vier Informationen, die du aus D. h. : der Die Gerade fällt‚AB unter einem Weiter mit zu Folie 7‘! Winkel von 45°. Parabelgleichung ablesen Eigenschaften Die kannst! Gerade. Welche ist eine. . . ‚Sekante‘. dann KLICK!der Geraden du aus dieser Wir habenkannst die Sekante und die Tangente so Funktionsgleichung ablesen? ausgewählt, dass sie parallel verlaufen. (m = -1) (→ Lehrwerk “Lineare Funktion“) Uns interessieren die Schnittpunkte mit der Parabel. . dann KLICK! Wir nennen sie S 1 und S 2. GERADE UND PARABEL → Schnittpunkt mit y-Achse: BP (0/2) a = +0, 4 (0 < a < 1) → D. h. : Die Parabel ist nach oben geöffnet. → D. h. : Die Parabel ist gestaucht. → Die Tangente hat im Punkte BP den Steigungsfaktor m = b = -1. 45° Also: Sie fällt unter einem Winkel von 45°. S 1 Ta Se k S 1 ng e nt e S 1 BP 1 an S 2 te S 2 Möglichkeit 1: Die Schnittpunkte S 1 und S 2 rücken immer enger zusammen, wenn wir die Sekante parallel nach außen zum Rand der Parabel verschieben. Möglichkeit Weiter 2: Die Sekante wird zur 7‘! Tangente, mit ‚AB zu Folie Was geschieht, wenn wir die Sekante wenn sie bis. Was an den Rand der Parabel verschoben geschieht, wenn wir weit verschieben, dass siedie wird. Die so Schnittpunkte S und S fallen zusammen 1 2 Sekante langsam hin zum Rand Parabel gerade noch berührt? und bilden BP. verschieben? der. Berührpunkt Parabel parallel. . . dann KLICK! Möglichkeit 3: Es gibt keinen gemeinsamen. . . dann KLICK!Punkt (Schnittpunkt) mehr, wenn wir die Sekante parallel in Was geschieht, wenn wir die Sekante den Außenbereich der Parabel verschieben. noch weiter ganz nach außen Wir wollen die Schnittpunkte verschieben, ? berechnen. . dann Wie bemerkt man bei. KLICK! der Berechnung, welche der Möglichkeiten 1, 2, 3 gerade vorliegt? 7 ➙basic-module >Gerade und Parabel. ppsx<

DAS ‚ 4 - S T U F E N - P R I N Z I P ‘. . . e i n K r e i s l a u f beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Ø Hintergrund ist (oft) eine wirklichkeitsnahe Geschichte. . ist eigentlich ein K R E I S L A U F „Modellieren“. 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ • Was ist der Kern des Problems • Zusammenhänge suchen und herstellen, • übersetzen in mathematische Sprache ☞ (z. B. • eigentliche ‚Modellbildung‘ • In Ruhe durchlesen. Ist die Frage schon gestellt? • Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? • Kann ich mir das vorstellen? • Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? • Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen. “ . . . dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff Symbole, Skizzen, Zeichnungen, Gleichungen Modelle). Entscheidungen zum Lösungsweg 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. • Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z. B. Grundrechenarten/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen. . . bis zum Ergebnis kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. • • • 1 8

Was du jetzt wissen solltest: Funktionen 1 Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich �� genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich �� zu. Lineare Funktion y = mx + b Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea Linie, Faden) Definitionsbereich: Der Definitionsbereich �� enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich ��. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich ��. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich ��. Quadratische Funktion Das Schaubild ist die Parabel. y = a(x – d)2 + e (Scheitelpunktform) y = ax 2 + bx + c (allgemeine Form) Ihrgestreckte Graph ist die Normalparabel. a > 1 → Parabel (I) a = 1 → Normalparabel (II) 0 < a < 1 → gestauchte Parabel (III) Normalparabel: a = 1 | d = 0 | e = 0 Normalparabel: a = 1 | b = 0 | c = 0 Die Funktion y = x 2 ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion. Die Werte der absoluten Zahlen d und e geben an, wo der Scheitelpunkt der Parabel liegt. Der Wert der absoluten Zahl c gibt an, um wie viele Einheiten die Parabel nach oben oder unten verschoben ist. Der Wert der absoluten Zahl e gibt an, um wie viele Einheiten die Parabel nach oben oder unten verschoben ist. 9

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen Balles öffnest im Text mit eines der bildlichen du deine Hände und beugst die Darstellung! Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispieledurch n Hinweise und n häufiges atioÜben im Training des m Handballvereins. r Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen eu fo n I e N lt we erricht m U nt. U z. B Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen 2 hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 10