KURZPROGRAMM basicmodule Gernot Mhlbacher Geometrie Grundlagen Dreiecke Vielecke
KURZPROGRAMM basic-module Gernot Mühlbacher Geometrie Grundlagen: • Dreiecke • (Vielecke) Alle basic-modules kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/. . . wähle Verzeichnis >downloads/basic-modules< Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten Gebrauch gestattet. Die Nutzung von Kopien ist für jegliche Art des kommerziellen Gebrauchs untersagt. Wollen Sie auch werben? https: //www. elearning-soft. de/kontakt/ © 2018 Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und 0 Zoe
INFO bekannt? . . . gleich starten: Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-module) wissen solltest: Ein so großer Themenbereich wie ‚Gerade, Winkel, Dreieck‘ ist aufgeteilt in umfang drei Kurzprogramme (basic-reich modules): 1 • Winkel. ppsx Entstehen von Winkelfeldern erklären / Winkel zeichnen und messen / 2 • Grundkonstruktionen. ppsx Senkrechte (Lot) in einem Punkt P errichten / Mittelsenkrechte auf einer Strecke AB / Halbieren einer Strecke AB / Lot von einem Punkt P auf eine Gerade fällen / Winkelhalbierende eines Winkels �� • Dreieck, Vieleck. ppsx 3 ⇐ aktuell gestartet Winkel in Dreiecken / Arten von Dreiecken / Winkelsumme bei Dreiecken / bes. Linien in Dreiecken / Schwerpunkt, Umkreis, Inkreis /Vieleck Die genannten basic-modules kannst Du kostenlos herunterladen auf der Website: http: //www. elearningsoft. de/ Wähle das Verzeichnis >downloads<. . . zu Folie: 0 1 2 3 4 5 6 7 Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: ⇐ laden, > Dreieck, Vieleck AB. pdf Ø Dreieck, Vieleck EF. pdf ausdrucken! Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. Für den Einsatz der e. Learning-Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit die kostenlose Office Online. Anwendung für Power. Point zur Verfügung. Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point-Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: http: //www. elearning-soft. de im Verzeichnis >services< 1
C b � � B �� (Alpha) bei A Die Winkel werden mit den kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets benannt. �� (Gamma) bei C �� (Beta) bei B Arten von Dreiecken Verwende das ‚AB zu Folie 2‘! dann zurück!. . . KLICK! 4. Fertig, Ordne den Dreiecken zwei gleiche Schenkel sinnvolle Namen zu! ein rechter Winkel + zwei spitze Winkel rechtwinkliges Dreieck �� = 90° drei Möglichkeiten Merke für die ‚Trigonometrie‘! C Die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite nennt man Hypotenuse. ete h t Ka Die am rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man Katheten. . A Hypotenuse te a=b=c �� < 90° the drei gleich lange Seiten gleichseitiges Dreieck �� < 90° . 1. Bezeichne die Eckpukte unregelmäßiges eines Dreieckes mit den 2. Wie benennt man die Dreieck üblichen Buchstaben! Dreieckseiten? 3. Fertig, Wie benennt man ≠die b≠c KLICK! Fertig, dann zurück! a. . . Winkel im Dreieck? . . . KLICK! spitzwinkliges Dreieck Ka a) Die Benennung richtet sich nach der Länge der Dreieckseiten : �� < 90° . � A � c a Buchstaben des Alphabets benannt. (gegen den Uhrzeigersinn) Die Dreieckseiten werden mit den kleinen Buchstaben entsprechend dem gegenüberliegenden Eckpunkt benannt. drei spitze Winkel . Wiederholungen von Grundkenntnissen Benennungen Die Eckpunkte werden mit großen b) Die Benennung richtet sich nach der Größe der Winkel: . DREIECKE B ein stumpfer Winkel + zwei spitze Winkel stumpfwinkliges Dreieck gleichschenkliges Dreieck Fertig, dann zurück!. . . KLICK! a = b oder c = a oder b = c 90°< �� < 180° drei Möglichkeiten 2
Anwendung: BESONDERE LINIEN IM DREIECK Die Höhen im Dreieck C Die drei Höhen ha, hb und hc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt H. hc . ha H . . H ist der Höhenschnittpunkt. hb A B Zeichne die drei denkbaren Höhen(linien) ha, hb und hc auf deinem ‚AB zu Folie 3‘ ins Dreieck ein!Seiten des Dreiecks Die Mittelsenkrechten auf den Fertig, dann zurück!. . . KLICK! C Mb Die drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt M. . b . a M a mb. M ma mc c M A Die Seitenhalbierenden im Dreieck Wenn. Cdu selbst zuerst zum Thema „Besondere Die drei Seitenhalbierenden Linien im Dreieck“ forschen nutze sa, willst, sb und sdann c schneiden sich in jetzt gleich das Internet. einem gemeinsamen Punkt S. sc a zu den Zielen am ‚AB zu Folie 3‘ Du. Mkannst dich b Ma S ist der Schwerpunkt des orientieren. Am besten druckst du dir für deine b Dreieckes. s b S Arbeitsblatt Skizzen extra (also zweimal ) sa das aus. A c M B c Wenn das neu Denke daran: Erlernte im. S Kopf. . . ausbalancieren! haften bleiben soll, dann musst du die C Konstruktionen auch einmal korrekt Der Schwerpunkt teilt die durchgeführt Zeichne 2 diehaben. drei denkbaren a Seitenhalbierende jeweils im Seitenhalbierenden sa, Verhältnis sb und 2: 1. 1 1 b du Wenn mit dieser Folie 3 starten willst, . . . sc ins Dreieck ein! CS : SMc = 2 : 1 S 2 dann KLICK! 1 2 zurück!. . . KLICK! Fertig, dann AS : SMa = 2 : 1 A c M B c BS : SMb = 2 : 1 Mb Die Winkelhalbierenden im Dreieck C Zeichne die drei denkbaren Mittelsenkrechten ma, mb M ist der Mittelpunkt des U mund k r em i sc eins s. Dreieck ein! c B Fertig, dann zurück!. . . KLICK! Hier spielt die Symmetrie jeweils eine entscheidende Rolle. Erinnere dich bei der Arbeit auf der nächsten Folie „Der verlorene Kreismittelpunkt“ daran! Ma A � �� / � 2 w�� Ww �� �� � /2 � Die drei Zeichne die. Winkelhalbierenden drei denkbaren w , w und w�� schneiden �� �� Winkelhalbierenden w�� , sich w�� in einem gemeinsamen und w�� ins Dreieck ein! �� /2� � B Punkt W. Fertig, dann zurück!. . . KLICK! W ist der Mittelpunkt des Inkreises. 3
Anwendung: Die SUMME DER INNENWINKEL im Dreieck 1: C � � Dreieck 2: C C � � �B A Dreieck: Dreieck 3: A 1 2 3 �� 42° 34° 42° �� 73° 114° 27° �� 63° 33° 112° �� +�� 178° 181° Vermutung: Ermittle jetzt die Summe der Die Summe aller drei Innenwinkel in jedem einem Dreieck beträgt immer 180°. deiner Dreiecke! Formuliere Die eine Abweichungen in unserer Tabelle auch Vermutung! sind dann auf Fehler Anlegen des Komm zurück beim und schau unsere Ergebnisse an! auf Ablesefehler Geodreiecks oder zurück zu führen. . KLICK! Zeichne drei verschiedene Dreiecke � auf dein ‚AB zu Folie 4‘!. � Miss deren Winkel und trage �� die � Messergebnisse in die Tabelle ein! B �� � Größe von allen Winkeln. Aermittelt? Komm zurück und schau unsere Ergebnisse an!. . . KLICK! � � B Dieser Satz ist bisher nur eine (starke) Vermutung. Kennst. Vieleck du einenhat allgemeinen diese Vermutung? Gib mal in Jedes genau so. Beweis viele für Innenwinkel wie Eckpunkte. deinen Internetbrowser das Suchwort ‚Innenwinkel‘ ein. Die Eckpunkte des Vieleckes sind dabei die für Scheitelpunkte Klicke hier erst weiter, wenn du auf einen Beweis die Innenwinkel des innen liegenden Winkels. Dreieckes gestoßen bist. !. . . KLICK! Der nebenstehende Satz gilt nur für Dreiecke. Beweis: �� == 180° �� ‘ ++ �� �� ‘++�� �� 180° � � �� ‘ �� = �� ‘ � �� = �� ‘ Wechselwinkel Wie groß ist. Auf wohl Summe. Seite der Innenwinkel Vierecken? 360° Weshalb? derdie nächsten kannst du esinsehen. 4
Anwendung: Die DER INNENWINKEL Die SUMME WINKELSUMME im Viereck Verfolge zuerst die zwei Beweisführungen auf dem Bildschirm genau! Vollziehe aus dem Gedächtnis heraus diese Schritte dann auf deinem ‚AB zu Folie 5‘! Es geht auch aufwändiger: Zerlege das Viereck in zwei Dreiecke! Bei jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°. 2 ∙ 180° = 360° 180° leicht verständlich! �� ‘ Die Summe aller vier Innenwinkel in einem allgemeinen Viereck beträgt immer 360°. �� ‘ Vollkreis: �� ‘ + �� ‘ = 360° �� ‘ �� �� = �� ‘ weil: Parallelverschiebung �� = �� ‘ weil: Wechselwinkel �� + �� = 360° 5
Die SUMME DER INNENWINKEL im n-Eck Ein Vieleck mit n-Ecken hat auch n Innenwinkel. Von jedem beliebigen Punkt P aus innerhalb eines Vieleckes (n-Eckes) kannst du dieses in (Teil)Dreiecke zerlegen: In einem Viereck entstehen so vier Teildreiecke. Voll- P winkel P Vielecke: In einem Siebeneck entstehen so 7 Teildreiecke. Die Anzahl der Dreiecke entspricht der Anzahl n der Ecken im Vieleck. (n ist hier ein Platzhalter. ) Winkelsumme aller Dreiecke: 3 -Eck mal. . 3 mal 180° ° 4 -Eck mal 180°. . ° 4 mal abzügl. Summe Winkel an P: --. . . ° 360° Summe aller Innenwinkel: 180° 360° --. . . ° 900° 360° 9 -Eck Zeichne 9 inmal jedem auf ‚AB zu 1260° --. . . °. . mal 180° °Vieleck 360° Folie 6‘ diemal entstehenden Dreiecke ein! --. . . °. . 180° ° 12 mal 1800° 12 -Eck 360° Wieviel Dreiecke entstehen jeweils? --rot. . . ° mal 180°. . ° Bildschirm! 15 -Eck mal 15 Färbe dieam Winkel ein, die nicht 2340°zur 360° Kontrolliere dann 7 -Eck Die Summe der Innenwinkels jedes Teildreiecks beträgt 180°. Vollwinkel Die Winkel mit Scheitelpunkt P bilden zusammen einen Vollwinkel (360°). Sie zählen nicht zu den Innenwinkeln des Vieleckes. Du kennst jetzt alle Voraussetzungen, um die Summe der Innenwinkel konkret zu berechnen. 7 mal. . 180° ° Gib den Sinn, Summe der sichder für das n-Eck. . . ergibt, des in Form einer Innenwinkel Vieleckes n-Eck - 360°KLICK! mal 180° sprachlichenn Formulierung wieder! zählen! Wie groß ist die Summe der roten Winkel (➙AB zu Folie 6) Ich multipliziere mit der Anzahl der Ecken (rund um 180° Scheitelpunkt P)? Berechne die Summe der Kontrolliere am Bildschirm! des Vieleckes unddann subtrahiere dann 360°. Innenwinkel (zuerst konkret und Merke dir, wie diese Regel entstanden ist, dann allgemein)! (➙AB zu Folie 6) n • 180° 360° du- hast musst du keine Formel behalten , denn Kontrolliere dann am Bildschirm! die Zusammenhänge verstanden. Kanst du die obige ‚Formel‘ durch S≮i = n • 180° - 360° eine Umformung eleganter S≮i = (n - 2) • 180° S≮i = n • 180° - 2 • 180° ausdrücken? (➙AB zu Folie 6) In dieser Formel selbst dann kannst ihre Entstehung nicht Kontrolliere amdu. Bildschirm! mehr ablesen. Du müsstest sie auswendig. . . lernen. KLICK! 6
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