Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2 Aljabar Boolean 1

Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2: Aljabar Boolean 1

Topik 2 – Aljabar Boolean Aturan-2 u/ menentukan logika digital, atau `switching algebra’ n n Terkait dengan nilai-2 Boolean – 0, 1 Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-2 – {X, Y, DIN, …} Perjanjian logika positif n n Tegangan analog (LOW, HIGH) (0, 1) logika negatif – jarang digunakan Operator-2: { · , + , ‘ , } Aksioma-2 dan Teorema-2 … n Membantu u/ mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhana – meningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital

Definisi: Ekspresi Boolean Literal: sebuah variabel atau komplemennya n X, X¢, DIN¢, TK_L Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi n n X+Y P×Q×R A+B×C ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q 5) × RESET¢ Persamaan: variabel = ekspresi n P = ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q 5) × RESET¢

Aksioma n n kumpulan definisi dasar (A 1 -A 5, A 1’-A 5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T 1 -T 15). (A 1) X=0, if X 1 (A 1’) X=1, if X 0 (A 2) If X=0, then X’=1 (A 2’) If X=1, then X’=0 (A 3) 0· 0=0 (A 3’) 1 + 1 = 1 (A 4) 1· 1=1 (A 4’) 0 + 0 = 0 (A 5) 0· 1=1· 0=0 (A 5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 Each axiom has a dual

Teorema-2 variabel tunggal (T 1 -T 5) Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect induction) n Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Contoh: (T 1) X + 0 = X n n X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A 4’ X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A 5’

Teorema-2 dua dan tiga variabel (T 6 -T 11) Dualitas: n n Tes: 0 & 1, AND & OR teorema-2 tetap benar? Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah dual … Hati-2 dengan` urutan operator (operator precedence_’ – penggunaan tanda kurung

Teorema T 6, T 7 (Commutatif) (T 6) X + Y = Y + X (T 6’) X · Y = Y · X (Assosiatif) (T 7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T 7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z) Mirip dengan hukum-2 commutatif dan assosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan-2 bulat dan riil

Teorema T 8 (Distributif) (T 8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T 8’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product-of-sums (POS)) V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z) (bentuk SOP) (bentuk POS) (V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z) Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana n Yang mana lebih logis menurut anda?

Teorema T 9, T 10 (Covering) (T 9) X + X · Y = X (T 9’) X · (X + Y) = X (Kombinasi) (T 10) X · Y + X · Y’ = X (T 10’) (X + Y) · (X + Y’) = X Perguna dalam penyederhanaan fungsi-2 logika

Teorema T 11 (konsensus) (T 11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z (T 11’) (X + Y) · ( X’ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X’ + Z) Pada T 11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y dan X’·Z: n n n Jika Y · Z = 0, maka T 11 pasti benar Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X’ · Z harus 1 Sehingga term Y · Z : redundan harus dibuang Tugas buktikan (T 11’)?

Teorema-2 N-variabel (T 12 – T 15) Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finite induction) n Paling penting: teorema-2 De. Morgan (T 13 & T 13’) n

Contoh Teorema De. Morgan: NAND (X · Y)’ = (X’ + Y’) (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika n

Contoh Teorema De. Morgan: NOR (X + Y)’ = (X’ · Y’) (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika n

Gerbang-2 NAND & NOR Menggunakan jumlah rangk. yang lebih sedikit ketimbang gerbang-2 AND & OR Fan-in & Fan-out NAND Extra ciruits

Generalisasi Teorem De. Morgan (T 14) [F(X 1, X 2, . . . , Xn, +, ·)]’ = F(X 1’, X 2’, . . . , Xn’, · , +) Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel, komplemennya dapat ditemukan melalui “swapping + dan · dan penkomplemenan seluruh variabel Contoh: n n F(W, X, Y, Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) = ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’)) [F(W, X, Y, Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) Gunakan (T 4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi: [F(W, X, Y, Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))

REVISI Dualitas Setiap teorema pd aljabar switching tetap benar jika 0 & 1 di-swapped dan · & + di-swapped. Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma adalah benar, sehingga duals dari seluruh teorema aljabar switching dapt dibuktikan dengan menggunakan duals aksioma-2. Kita dapat menuliskan kembali teorema De. Morgan sbg [F(X 1, X 2, …. , Xn)]’ = FD(X 1’, X 2’, …. , Xn’) Catatan … n n A·B+C A+B·C (A + B) · C Duality bukan berarti ekuivalensi !!

Manipulasi ekspresi Boolean Bagaimana menyatakan (A · B + C)? Gunakan teorema De. Morgan … n n n ð A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’ = ( ( A · B )’ · C’ )’ = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’ ( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’

Aksioma-2 dan Teorema-2 Aljabar Switching (A 1) (A 2) (A 3) (A 4) (A 5) X = 0 if X 1 If X = 0, then X’ = 1 0. 0 = 0 1. 1 =1 0. 1=1. 0=0 (A 1’) (A 2’) (A 3’) (A 4’) (A 5’) X = 1 if X 0 if X = 1, then, X’ = 0 1+1=1 0+0=0 1+0 =0+1=1 (T 1) X + 0 = X (T 1’) X. 1 = X (Identities) (T 2) X + 1 = 1 (T 2’) X. 0 = 0 (Null elements) (T 3) X + X = X (T 3’) X. X = X (Idempotency) (T 4) (X’)’ = X (Involution) (T 5) X + X’ = 1 (T 5’) X. X’ = 0 (Complements) (T 6) X + Y = Y + X (T 6’) X. Y = Y. X (Commutativity) (T 7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T 7’) (X. Y). Z = X. (Y. Z) (Associativity) (T 8) X. Y + X. Z = X. (Y + Z) (T 8’) (X + Y). (X + Z) = X + Y. Z (Distributivity) (T 9) X + X. Y = X (T 9’) X. (X + Y) = X (Covering) (T 10) X. Y + X. Y’ = X (T 10’) (X + Y). (X + Y’) = X (Combining) (T 11) X. Y + X’. Z + Y. Z = X. Y + X’. Z (T 11’) (X + Y). ( X’ + Z). (Y + Z) = (X + Y). (X’ + Z) (Consensus) (T 12) X +. . . + X = X (T 12’) X. X. . . X = X (Generalized idempotency) (T 13) (X 1. X 2. . . Xn)’ = X 1’ + X 2’ +. . . + Xn’ (T 13’) (X 1 + X 2 +. . . + Xn)’ = X 1’. X 2’. . . Xn’ (De. Morgan’s theorems) (T 14) [F(X 1, X 2, . . . , Xn, +, . )]’ = F(X 1’, X 2’, . . . , Xn’, . , +) (Generalized De. Morgran’s theorem)

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean Term perkalian: n Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Term penjumlahan: n Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP): n Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Ekspresi product-of-sums (POS) : n Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z) Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dlmnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali Contoh-2 term-2 non-normal: Contoh-2 term-2 normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y W·X·Y’ W+X’+Y X·X’·Y 0

Minterm dan Maxterm Minterm: n n Sebuah minterm n-variabel merupkan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Terdapat 2 n term perkalian yang demikian. Contoh-2 minterm 4 -variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar -benar satu baris dari tabel kebenaran Maxterm: n n Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. Terdapat 2 n term-2 penjumlahan yang demikian. Contoh-2 maksterm 4 -variabel: W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z Dpt didefiniskan sebgaia sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-2 satu baris dari tabel kebenaran

Minterms/Maxterms u/ sebuah fungsi 3 variabel

Representasi Penjumlahan Kanonis Minterm i : n Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1 Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): n Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi S: n Contoh: S X, Y, Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z n Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang AND, sperti yang diperlukan

Contoh penjumlahan kanonis Fungsi direpresenyasikan dengan tabel kebenaran: Row 0 1 2 3 4 5 6 7 X 0 0 1 1 Y 0 0 1 1 Z 0 1 0 1 F 1 0 0 1 1 mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb: Daftar Minterm menggunakan notasi S F = S X, Y, Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar

Representasi perkalian kanonis Maxterm i: n baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0 Pekalian kanonis: n Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi P : n Contoh: P X, Y, Z (1, 2, 5) = (X + Y + Z’). (X + Y’ + Z). (X’ + Y + Z’) n Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND 2 –levels dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang OR, seperti dibutuhkan

Contoh perkalian kanonis Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran: Row 0 1 2 3 4 5 6 7 X 0 0 1 1 Y 0 0 1 1 Z 0 1 0 1 F 1 0 0 1 1 memiliki representasi perkalian kanonis: Daftar Maxterm notasi F = P X, Y, Z (1, 2, 5) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’) Perkalian maxterms kanonis secara aljabar P

Konversi antara daftar Minterm/Maxterm Dapatkan komplemen dari set … Contoh: S X, Y, Z(0, 1, 2, 3) = P X, Y, Z(4, 5, 6, 7) S X, Y(1) = P X, Y(0, 2, 3) S W, X, Y, Z(0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13) = P W, X, Y, Z(4, 6, 8, 9, 12, 14, 15)