Krzeste Wege Implementierung des Algorithmus von Dijkstra Helmut

Kürzeste Wege Implementierung des Algorithmus von Dijkstra Helmut Paulus Speyer, 3. -5. 11. 08

Teil 1 Objektorientierte Modellierung von Graphen

Graphen 3 Ein Graph beschreibt eine Struktur aus Objekten und den Beziehungen zwischen ihnen. Ein Graph besteht aus – einer Menge von Knoten (Objekten) und – einer Menge von Kanten (Beziehungen), die Knoten verbinden. Klassische Probleme n Eulersche Wanderungen n Hamiltonsche Rundreisen n Labyrinthproblem n Problem des Handlungsreisenden n Kürzeste Wege

4 Algorithmus von Dijkstra {Eingabe: Graph G; Startknoten s des Graphen} für alle Knoten w setze dg(w) = ∞ setze dg(s) = 0 füge s in eine (zunächst leere) Datenstruktur D ein solange D nicht leer ist entnimm einen Knoten w mit minimalem dg(w) aus D für alle Kanten {w, u} falls dg(u) = ∞ füge u in D ein falls dg(u) > dg(w) + g({w, u}) setze dg(u) = dg(w)+g({w, u}) {Ausgabe: gewichteter Abstand dg(w) aller Knoten w vom Startknoten s} Quelle: http: //www. matheprisma. uni-wuppertal. de/Module/Graphen/index. htm

5 Algorithmus von Dijkstra Abgewandelte Version: {Eingabe: Graph G; Startknoten s, Zielknoten z des Graphen} für alle Knoten w setze Entfernung(w) = 0 füge s in eine (zunächst leere) Warteschlange WS ein solange erstes. Element von WS <> z entnimm den ersten Knoten w von WS für alle Kanten {w, u} falls u noch nicht besucht falls Entfernung(u) = 0 setze Vorgänger von u auf w füge u in WS ein setze Entfernung(u) = Entfernung(w) + gewicht({w, u}) sonst falls Entfernung(u) > Entfernung(w) + gewicht({w, u}) setze Vorgänger von u auf w setze Entfernung(u) = Entfernung(w) + gewicht({w, u}) füge u erneut in WS ein {Ausgabe: Abstand des Zielknotens z vom Startknoten s} w expandieren WS: Prioritätenwarteschlange, d. h. die Knoten werden nach ihrer Entfernung (Priorität) geordnet einsortiert! Der Knoten mit kleinsten Entfernung steht am Anfang.

Algorithmus von Dijkstra 6 22 A F 10 Gesucht: 16 12 25 B 6 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 D 6 WS: A/0

Algorithmus von Dijkstra 7 22 A F 10 Gesucht: 16 12 25 B 6 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 D 6 WS:

Algorithmus von Dijkstra 8 0 22 22 A F 10 10 12 25 B 6 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 Gesucht: 16 12 D 6 WS: B/10, C/12, F/22

Algorithmus von Dijkstra 9 0 22 22 A F 10 10 12 25 B 6 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 Gesucht: 16 12 D 6 WS: C 12, F 22

Algorithmus von Dijkstra 10 0 22 22 A F 10 10 12 35 25 B 6 12 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 Gesucht: 16 D 6 15 WS: C/12, D/15, F/22, E/35

Algorithmus von Dijkstra 11 0 22 22 A F 10 10 12 35 25 B 6 12 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 Gesucht: 16 D 6 15 WS: D/15, F/22, E/35

Algorithmus von Dijkstra 12 0 22 22 A F 10 10 12 35 25 B 6 12 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 Gesucht: 16 D 6 15 WS: D/15, F/22, E/35

Algorithmus von Dijkstra 13 0 22 22 A F 10 10 12 35 25 B 6 12 Kürzester Weg von A nach E E 5 C 12 Gesucht: 16 D 6 15 WS: F/22, E/35

Algorithmus von Dijkstra 14 0 22 22 A F 10 10 12 Gesucht: 16 6 21 25 B E 5 C 12 Kürzester Weg von A nach E D 12 6 WS: E/21, F/22 15 Nach Ausführung 0 22 A 10 10 12 25 E 5 C 12 16 B 6 Jeder besuchte Knoten enthält den minimalen Abstand zum Startknoten, sowie einen Verweis zu seinem Vorgänger im Pfad (lineare Liste). 22 F 12 6 D 15 21 WS: F/22

Implementierung von Graphen 15 Objektorientierte Lösung: TKnoten Jeder Knoten ist ein Objekt - name : string Jede Kante ist ein Objekt TGraph - anzahl. Knoten : integer * - kanten : Tkantenliste - anzahlkanten : integer - entfernung : integer - nachfolger, vorgaenger : TKnoten - knoten : TKnotenliste + create(n : string; x, y : integer) - initialisiere + fuege. Kantehinzu(nachbar : Tknoten; e : integer) + create 1 + berechne. Weg(start, ziel : Tknoten) + gib. Alle. Knoten : Tknotenliste + gib. Knoten(n : string) + gib. Anzahl. Knoten : integer Das Graphobjekt verwaltet die Knoten und Kanten und stellt den Suchalgorithmus zur Verfügung. * TKante - gewicht : integer - nachbar : TKnoten + create(k : TKnoten; e : integer) + gib. Gewicht : integer + gib. Nachbar : TKnoten

Zielsetzung 16 Ziel ist es, ein Programm zu entwickeln, mit dessen Hilfe man kürzeste Wege im Graphen ermitteln kann. Folgende Anforderungen soll das Programm erfüllen: /1/ Der Graph wird als Bild auf der Benutzungsoberfläche angezeigt. /2/ Man kann sich einen kürzesten Weg von einem eingegebenen Startzu einem eingegebenen Zielknoten berechnen und anzeigen lassen. Arbeitsschritte: n Grafik mit Delphi n Entwicklung einer (Prioritäten-)Warteschlange n Implementierung des Graphen n Implementierung des Dijkstra-Algorithmus

Teil 2 Grafik mit Delphi

Zeichenfläche TCanvas 18 Canvas-Objekte dienen als Zeichenfläche für grafische Elemente. Sie kapseln eine Vielzahl von Methoden zur Ausgabe von Grafik und Text in einem rechteckigen Bereich. TCanvas Brush : TBrush Pen : TPen Font : TFont. . . TCanvas-Werkzeuge Pen, Brush und Font, zuständig für bestimmte Teilaufgaben: Pinsel Stift – Füllfarbe, Muster. . . – Linienfarbe, Stil. . . Schriftart – Farbe, Schrifttyp. . . moveto(x, y : integer); lineto(x, y : integer); ellipse(x 1, y 1, x 2, y 2 : integer) rectangle(x 1, y 1, x 2, y 2 : integer) polygon(p : array of Tpoint); Text. Out(x, y: Integer; const Text: string); . . . Der Koordinatenursprung (0, 0) ist in der linken oberen Ecke einer Komponenten, die ein Canvas-Objekt zur Verfügung stellen.

Wie erhält man ein TCanvas-Objekt? 19 TCanvas-Objekte werden von einigen Delphi-Komponenten als Property zur Verfügung gestellt: z. B. : Formular, Paintbox, Image, Bitmap n Der Koordinatenursprung ist die linke obere Ecke der jeweiligen Komponente. n Die positive y-Achse zeigt nach unten. n n Die Image-Komponente speichert die Graphik zusätzlich in einer Hintergrundbitmap, so dass das Bild automatisch anzeigt wird, wenn das Formularfenster, nachdem es verdeckt war, wieder in den Vordergrund geholt wird. Formular und Paintbox zeichnen das Bild nur einmalig. Damit es nach dem Verdecken wieder erscheint, muss das Zeichnen der Graphik in der On. Paint-Ereignismethode der jeweiligen Komponente erfolgen. Dieses Ereignis wird vom Betriebssystem automatisch ausgelöst.

20 Objekthierarchie Das Bild-Objekt Bild vom Typ TImage mit Hilfe seines Attributs Canvas ein Leinwand-Objekt der Klasse Tcanvas zur Verfügung. Dieses wiederum hat ein Zeichenstift-Objekt der Klasse TPen und ein Malpinsel-Objekt der Klasse Tbrush. Die entsprechenden Attribute Pen und Brush werden als Property zur Verfügung gestellt. Beispiel: Blaues Rechteck Bild. Canvas. Brush. Color : = clbue; Pinselfarbe blau Bild. canvas. rectangle(10, 100, 20); Rechteck mit der linken oberen Ecke am Punkt (X 1, Y 1) und der rechten unteren Ecke am Punkt (X 2, Y 2).

Aufgaben 1 21 1. 2. Testen Sie das Beispielprogramm Grafiktest. exe Variieren Sie verschiedene Modi der Pinsel und Stifte Testen Sie insbesondere den Not. XOR-Füllmodus Entwickeln Sie ein Programm, das die Bilddatei Lageplan. jpg im Formular anzeigt.

Teil 3 Entwicklung einer Warteschlange

Datentyp Schlange 23 Eine Schlange realisiert das Prinzip FIFO (First In First Out), d. h. die Ausgabe erfolgt in gleicher Reihenfolge wie die Eingabe. Spezialisierte Schlange: Kopf : Schlange Kopf =. . . Hat : Knoten kennt : Knoten nachfolger = name = A name = B nil Jedes Element kennt einen Nachfolger n Das Objekt Schlange dient der Verwaltung n Mit Hilfe seines Attributs Kopf hat es Zugriff auf das erste Element n n Die Knoten implementieren das Einfügen nach dem FIFO-Prinzip, neue Elemente werden vom Kopf an ans Ende gereicht Der Nachfolger des letzten Elements zeigt immer auf nil; es ist die Stelle, wo neue Elemente eingefügt werden.

Allgemeine Schlange 24 Schlange für beliebige Objekte : Schlange Kopf =. . . kennt : Knoten nachfolger = inhalt = : Object Jedes Element erhält ein Inhaltsobjekt nil

Klassendiagramm 25 TSchlange TKnoten - inhalt : string; - Kopf : TKnoten + + + create ist. Leer: boolean einfuege. Knotenein(k : Tknoten) giberstes. Element : TKnoten entferne. Erstes gib. Schlange. Aus(liste : TStrings) hat - nachfolger : TKnoten; + create (wert: string); + fuege. Knoten. Ein (n. K: TKnoten) + gib. Knoten. Aus (liste: TStrings); + setze. Inhalt (wert: string); + setze. Nachfolger (k: TKnoten); + gib. Inhalt : string; + gib. Nachfolger : TKnoten; kennt

Klasse TSchlange 26 Operationen • prüfen, ob die Schlange leer ist • ein neues Element in die Warteschlange einfügen • auf das erste Element zugreifen • das erste Element der Schlange entfernen • alle Elemente ausgeben Implementierung TSchlange - Kopf : TKnoten + + + create ist. Leer: boolean einfuege. Knotenein(k : Tknoten) giberstes. Element : TKnoten entferne. Erstes gib. Schlange. Aus(liste : TStrings) TSchlange = class protected //Attribute kopf : TKnoten; public //Methoden constructor create; destructor destroy; override; function ist. Leer : boolean; function gib. Erstes. Element : TKnoten; procedure entferne. Erstes; procedure fuege. Knoten. Ein (kn: TKnoten); procedure gib. Schlange. Aus (liste: TStrings); end;

Implementation 27 Schlangeobjekt erzeugen constructor TSchlange. create; begin kopf : = TKnoten. create('leer'); end; Im Konstruktor wird Leerelement als Kopf erzeugt. Ein Leerelement erhält einen Verweis auf erste Element und zerstören destructor TSchlange. destroy; begin while kopf. gib. Nachfolger <> nil do entferne. Erstes; kopf. Free; inherited destroy; end; Alle Elemente aus Schlange entfernen und freigeben Leerelement freigeben Destruktor der Vorfahrklasse aufrufen um das Schlangenobjekt zu zerstören

Klasse TKnoten 28 TKnoten - inhalt : string; - nachfolger : TKnoten; + create (wert: string); Die Knoten implementieren das FIFO – Prinzip + fuege. Knoten. Ein (neuer. Knoten: TKnoten) + gib. Knoten. Aus (liste: TStrings); + setze. Inhalt (wert: string); + setze. Nachfolger (k: TKnoten); + gib. Inhalt : string; + gib. Nachfolger : TKnoten; Einfügen am Ende der Schlange (FIFO – Prinzip) procedure TKnoten. fuege. Knoten. Ein (neuer. Knoten: TKnoten); begin if nachfolger = nil then nachfolger : = neuer. Knoten else nachfolger. fuege. Knoten. Ein(neuer. Knoten); end; Der neue Knoten wird bis zum letzten weitergereicht

Aufgabe 2 29 Aufgabe 1 Erstellen Sie ein Programm, mit dessen Hilfe die Implementierung der Klasse „TSchlange“ gestestet werden kann. Z. B. : Es soll eine Städte [Köln; Frankfurt; . . . ] erstellt und angezeigt werden. n Es müssen nicht alle Methoden implementiert werden. n Benutzen Sie die vorgegebene Benutzungsoberfläche Aufgabe 2 Fügen Sie den Knoten das Attribut entfernung hinzu. Zu Testzwecken kann der Wert zufällig beim Erzeugen des Knotens gesetzt werden. Ändern Sie die Methode Tknoten. fuege. Knoten. Ein (. . . ) so ab, dass die Knoten - abweichend vom FIFO-Prinzip - nach Entfernung geordnet eingefügt werden. (Prioritäten-Warteschlange)

30 Teil 4 Implementierung des Graphen zum Lageplan mit Dijkstra Algorithmus

31 OOA-Klassendiagramm

32 Sequenzdiagramm: Weg berechnen Create() als besucht

Anhang 1 Entwicklung der Prioritäten-Warteschlange durch Vererbung

Prioritäten-Warteschlange 34 Im Unterschied zu einer gewöhnlichen Schlange werden die Dinge nach einer Priorität geordnet eingefügt und gemäß dieser Priorität wieder entnommen. Eine solche Schlange ist also im Prinzip eine geordnete Liste. TPKnoten - inhalt : string; - nachfolger : TKnoten - entfernung : integer + create (wert: string); § Die Knoten erhalten ein weiteres Attribut (Priorität), nach denen sie geordnet werden. § Außerdem ändert sich das Einfügen. § Ein neuer Knoten wird so lange weitergereicht, bis er einen Knoten höherer Priorität erreicht. + fuege. Knoten. Ein(n. K : TKnoten) + gib. Knoten. Aus (liste: TStrings); + setze. Inhalt (wert: string); + setze. Nachfolger (k: TKnoten); + gib. Inhalt : string; + gib. Nachfolger : TKnoten; Mit Hilfe von Vererbung kann der größte Teil des bisher geschriebenen Codes wiederverwendet werden.

Spezialisierung der Knoten 35 TKnoten - inhalt : string; - nachfolger : TKnoten Basisklasse - Die Methode fuege. Knoten. Ein() wird als virtuelle Methode deklariert + create (wert: string) + fuege. Knoten. Ein (n. K: TKnoten). . . Ist ein - Beziehung TPKnoten - entfernung : integer + create (wert: string; e : integer) + fuege. Knoten. Ein(n. K : TKnoten) Abgeleitete Klasse - erhält ein Prioritätsattribut - überschreibt die Methode zum Einfügen

Implementierung 36 TKnoten = class protected inhalt : string; nachfolger : TKnoten; public constructor create (wert: string); procedure fuege. Knoten. Ein (nk: TKnoten); virtual; . . . end; Basisklasse TP_Knoten = class(TKnoten) Abgeleitete klasse protected entfernung : integer; public constructor create (wert: string; e : integer); procedure fuege. Knoten. Ein (n. K : TKnoten); override; procedure setze. Entfernung (e: integer); function gib. Entfernung : integer; end; Der statische Konstruktor wird neu implementiert (ersetzt).

Klasse TPSchlange 37 TSchlange - Kopf : TKnoten Die Klasse TPSchlange wird von TSchlange abgleitet. Es wird lediglich den Konstruktor geändert. + create. . . constructor TPSchlange. create; TPSchlange + create begin kopf : = TP_Knoten. create(''); end; Dem geerbten Attribut Kopf wird ein TP_Knoten. Objekt zugewiesen

Anhang 2 38 Delphi verfügt über eine vordefinierte Klasse „TList“. Informieren Sie sich über diese Klasse mit der Delphi-Hilfe. Implementieren Sie dann die Prioritätenschlange mit dieser vordefinierten Klasse „TList“. TList + Count: integer + Items[pos: integer]: Pointer + create + Delete(pos: integer) + Insert(pos: integer; obj: Pointer). . . TList verwaltet eine Liste von Zeigern auf Objekte. Mit Hilfe des Properties (Attribut) Items kann auf jede Objektreferenz per Index zugegriffen werden. Der Parameter Index enthält den Index auf das Objekt, wobei das erste den Index 0 hat, der letzt den Index Count-1. Beispiel: var Knotenliste : Tlist; Knoten : TKnoten. . . for i : = 0 to Knotenliste. Count-1 do begin Knoten : = Tknoten(Liste. items[i]); Knoten. gib. Aus(. . ); end; Durch Typumwandlung erhält man Zugriff auf das Objekt an der Position i

Anhang 2 39 Implementierung der Schlange mit einem TList-Objekt TSchlange - liste : TList + + + create ist. Leer: boolean einfuege. Knotenein(k : Tknoten) giberstes. Element : TKnoten entferne. Erstes gib. Schlange. Aus(liste : TStrings) Die Klasse TSchlange liefert eine eingeschränkte Schnittstelle zum geschützten TList-Objekt. Die Verwaltung der Objekte wird an das TList. Objekt delegiert. Stringlisten TString. List + Count: integer + Strings: array[0. . ] of string + create + delete(p: integer) + insert(p: integer; s: String). . . Für Listen von Strings bietet Delphi die Klasse TString. List. Einige Attribute (Properties) und Operationen sind im nebenstehenden Klassendiagramm aufgeführt. Die Bedeutung der Bestandteile kann mit der Delphi -Hilfe ermittelt werden. Die Delphi-Komponenten TList. Box und TMemo enthalten ein Stringlistenobjekt.

Aufgabe 3 40 Aufgabe 1 Implementieren Sie mit Hilfe der Delphi-Klasse TList eine Stapel. (Lineare Liste, die das FIFO-Prinzip realisiert) TStapel - liste : TList + + + create ist. Leer: boolean einfuege. Knotenein(k : Tknoten) giberstes. Element : TKnoten entferne. Erstes gib. Stapel(liste : TStrings) Aufgabe 2 Entwickeln Sie eine gemeinsame Oberklasse, aus der dann Stapel und Schlange abgeleitet werden.

Quellen 41 • Klaus Becker: Weiterbildungslehrgang X "Informatik für Gymnasien“ Kurs http: //informatik. bildung-rp. de/weiterbildungsmaterial/lehrgang-x-2005 -2008/kurs-5. html n Math. Prisma: http: //www. matheprisma. uni-wuppertal. de/Module/Graphen/index. htm n H. W. Lang FH Flensburg : http: //www. inf. fh-flensburg. de/lang/algorithmen/graph/ n swisseduc. ch : Informatik Graphbench: http: //www. swisseduc. ch/informatik/graphbench/ n M. Pohlig: www. pohlig. de n Jürgen Dehmer, A. Sessler, G. Liebrich Projekt: Tauglichkeitstester http: //www. lehrer. uni-karlsruhe. de/~za 714/informatik/infkurs