Kristlyok szimmetrii Mexico Naica barlang Szerkezetek RCS Szerkezetek

Kristályok szimmetriái

Mexico Naica barlang

Szerkezetek: RÁCS

Szerkezetek: RÁCS RECIPROK RÁCS

RÁCS RECIPROK RÁCS Brillouin zóna A reciprok rács Wigner-Seitz celláját Brillouin-zónának nevezik Wigner-Seitz cella

Szemléltetés (PF 3 Cl 2 molekula) Kristályok szimmetriái Szimmetriaoperációk: pontcsoport, tércsoport pont transzformáció távolságok, szögek nem változnak (merev) Schoenflies jelölés Nemzetközi jelölés ‘ tengely főtengely forgatás főtengelyre merőleges síkra tükrözés főtengelyt tartalmazó síkra tükrözés forgatva tükrözés Pontcsoport műveletek Rendelkezik az S 6 szimmetriával, ugyanakkor a C 6 és a h nem tulajdonsága ? legalább egy pont helyben marad (nincs transzlációs szimmetria felhasználva) szimmomorf műveletek

Kristály – diszkrét transzlációs szimmetria Tétel: a diszkrét transzlációs szimmetria csak n = 2, 3, 4 és 6 fogású forgási szimmetriát enged meg Bizonyítás: egész szám Tércsoport műveletek: a kristály összes szimmetriaműveletei (tartalmazzák a pontcsoport elemeit is) eltolás frakcionális rácsvektorral, majd tükrözés a/2 csúszva tükrözés nem szimmomorf műveletek csúszósík eltolás frakcionális rácsvektorral, majd forgatás a/4 a/4 csavarva forgatás a/4 forgástengely olyan szimmetriaműveletek, melyek a rácsnak nem szimmetriái, de a végtelen kristálynak már igen (a transzformált bázis részben átfed önmagával)

Maurits Cornilius Escher (1898, 1972) http: //www. mcescher. com/

• • • • • M. C. Escher: Fish/Duck/Lizard (1948) • • 2π/3

Kristálytani definiciók Kristály: diszkrét transzlációs szimmetriát mutató szilárd test Kristályrács: a tér egy pontjából a szimmetriaműveletekkel generált pontok halmaza (matematikai absztrakció) Bázis: a legkisebb atomcsoport, amin a szimmetriaműveletek végrehajtásával a kristály előállítható tükrözés Kristályrendszer: eltolás + 1 definiáló szimmetria derékszögű kristályrendszer Bravais rácsok: a kristályrendszer elemei – osztályzás szögek és élhosszak szerint (azonos kristályrendszerben is lehetnek eltérő Bravais rácsok) A gömbszimmetrikus bázis tércsoport szimmetriái. Tércsoport: az összes szimmetriműveletek halmaza (ennek „része” a pontcsoport) 73 szimmomorf tércsoport + 157 nem szimmomorf tércsoport 230 (3 dimenzióban)

Kétdimenziós kristályrendszerek Definiáló szimmetria Kristályrendszer (4 db) Nem jelent megszorítást Két-dimenzióban mivel a + b is rácsvektor Bravai rács (5 db) ferdeszögű hexagonális négyzetes primitív tükörsík derékszögű centrált n páros primitív Bravais cella n páratlan centrált nem elemi cella, de tükrözi a kristály szimmetriáját

Kétdimenziós tércsoportok Bázis szimmetriái nincs tükörszimmetria van tükörszimmetria 2 dimenziós kristály szimmetriái Bravais rács bázis pontcsoport ferdeszögű derékszögű 1 tükörsík tércsoport (nem 5 x 10, hanem csak 17) P 1 csak transzlációs P 2 C 2 szimmetria P 1 a bázis elrontja a rács szimmetriáját P 1 m primitív + 1 tükörszimmetria C 1 m centrált + 1 tükörszimmetria P 2 mm primitív + 2 tükörszimmetria C 2 mm centrált + 2 tükörszimmetria primitív 2 tükörsík derékszögű 1 tükörsík centrált 2 tükörsík kristályrendszer 4 db Bravais rács 5 db tércsoport 17 db

3 dimenziós kristályrácsok Definiáló szimmetria Bravais rács (14 db) Kristályrendszer (7 db) inverzió Triklin vagy Monoklin vagy Ortorombos vagy Tetragonális Köbös bcc vagy Hexagonális vagy Trigonális fcc

Aquamarine Be 3 Al 2 Si 6 O 8

Dravite (Tourmaline) Na. Mg 3 Al 6 Si 6 O 18(BO)3(OH)4 Sodium Magnesium Boro-Aluminium Silicate

Al 86 Mn 14 Kvázikristály

Kvázikristályok Ötfogású szimmetria? A diszkrét transzlációs szimmetria csak 2, 3, 4 és 6 -fogású forgási szimmetriát enged meg! Penrose-lefedés Al 86 Mn 14 ötvözet Röntgen diffrakciós felvétele a sík lefedése két rombusszal (területarány 1. 618… irracionális) ötfogású lokális szimmetria nem periodikus térkitöltés a lefedés iránymegőrző Nem tesz eleget a diszkrét transzlációs szimmetriának, hanem csak „kváziperiódikus” n, m, p, q, r nem vehet fel tetszőleges egész szám értéket (az e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 vektorok nem lineárisan függetlenek)

Nem kristályos anyagok szórása Radiális eloszlásfüggvény, dr (definició) r hány atom található r távolságon belül homogén anyagra Párkorrelációs függvény, Kristály első szomszéd Homogén anyag (definició) i-edik szomszédok száma második szomszéd harmadik szomszéd távolsága

Nem kristályos anyagok szórása Homogén anyag Radiális eloszlásfüggvény, (definició): atomok száma található r távolságon belül Párkorrelációs függvény, r (definició) Kristály amorf anyag g(r) fémüveg folyadék r

Matematikai leírás: g(r) r Fourier transzformálva Szóráskísérlet A jelölés bevezetésével A szórt intenzítás a párkorrelációs függvény Fourier-transzformáltja!