Kontrakty futures Ceny kontraktw terminowych forward i futures

Kontrakty futures Ceny kontraktów terminowych forward i futures Związek z oczekiwanymi cenami kasowymi Hedging doskonały: zabezpieczenie krótkie, zabezpieczenie długie Hedging minimalizujący wariancję

Ceny kontraktów terminowych forward i futures przy stałych stopach procentowych § TW. Teoretyczne ceny kontraktów terminowych forward i futures na to samo aktywo są równe § ( „Kontrakty terminowe i opcje” J. Hull str. 89, 90) Uzasadnienie. Załóżmy, że kontrakt futures trwa n dni. § Fi – cena kontraktu na koniec i-tego dnia § δ - wolna od ryzyka jednodniowa stopa proc. § Rozważmy strategię: § długa pozycja na kontraktach futures w ilości eδ na koniec dnia „zerowego” § Powiększenie długiej pozycji do e 2δ na koniec dnia 1. § Powiększenie długiej pozycji do e 3δ na koniec dnia 2. § Itd. . § Zakładamy, że zajmowanie pozycji nie wiąże się z dodatkowymi nakładami.

Ceny kontraktów terminowych forward i futures przy stałych stopach procentowych § W i-tym dniu zysk (lub strata) wyniesie § (Fi - Fi – 1) e iδ § Wartość przyszła, w chwili wygaśnięcia kontraktu, tego zysku to § (Fi - Fi – 1) e iδ e (n - i) δ = (Fi - Fi – 1) e nδ Na koniec n-tego dnia wartość wszystkich dziennych zysków wyniesie Ʃni=1 (Fi - Fi – 1) e nδ czyli [(F 1 - F 0)+ (F 2 - F 1)+…+(Fn - Fn-1)]e nδ = (Fn - F 0 )e nδ Ale Fn będąc ceną w dniu wygaśnięcia jest równe cenie instrumentu bazowego, czyli ST. Zatem łączny zysk to (ST - F 0 )e nδ

Ceny kontraktów terminowych forward i futures przy stałych stopach procentowych § Inwestycja w kwocie F 0 w aktywa wolne od ryzyka w chwili t=0 oraz opisana wyżej strategia daje w chwili T dochód: F 0 e nδ + (ST - F 0 )e nδ = ST e nδ § Niech cena kontraktu forward na ten sam instrument bazowy w chwili t=0 wynosi G 0. Strategia polegająca na § inwestycji w kwocie G 0 w aktywa wolne od ryzyka w chwili t=0 oraz długiej pozycji na kontrakcie forward w liczbie enδ § Zaś w t=T: realizujemy kontrakt, sprzedajemy aktywa za kwotę ST e nδ. § Ponieważ otrzymano identyczne wpływy w t=T, zatem z założenia braku arbitrażu zainwestowane w aktywa wolne od ryzyka kwoty F 0 , G 0 muszą być równe, co oznacza równość cen forward i futures.

Związek z oczekiwanymi cenami kasowymi § TW. Bieżąca cena kontraktu futures F z dostawą w chwili T jest równa wartości oczekiwanej ceny instrumentu bazowego (towaru) w dniu wygaśnięcia kontraktu (ST traktujemy jak zmienną losową) : F = E(ST) Uzasadnienie. Gdyby F < E(ST), to zastosowanie strategii § t=0 długa pozycja na kontrakcie § t=T nabycie towaru po cenie F sprzedaż na rynku kasowym po cenie ST daje oczekiwaną wartość arbitrażowego zysku E(ST - F)= E(ST) – F >0 W przypadku F > E(ST) zastosowanie strategii § t=0 krótka pozycja na kontrakcie § t=T zakup na rynku kasowym po cenie ST § sprzedaż towaru po cenie F daje oczekiwaną wartość arbitrażowego zysku E(F -ST )= F -E(ST) >0

Hedging doskonały (perfect hedge) § Ryzyko związane ze zobowiązaniem dostarczenia lub odebrania aktywów w przyszłości zostaje wyeliminowane przez zajęcie na rynku kontraktów futures pozycji równej wartości zobowiązania ale odwrotnej. Strategia jest możliwa tylko wtedy, gdy na rynku terminowym istnieje kontrakt odpowiadający typowi aktywów i warunkom dostawy zobowiązania § Jeżeli inwestor ma pozycję długą na kontrakcie forward, zajmuje krótką na futures (i owrotnie: krótka na forward i długa na futures)

Hedging doskonały. Przykład 1 § Producent kabli miedzianych przyjął duże zamówienie z rocznym terminem dostawy produktu, po ustalonej cenie. § Producent za rok jest dostawcą towaru (krótka pozycja na kontrakcie forward) zajmuje więc długą pozycję na stosownej liczbie kontraktów futures na miedź. Ilość kontraktów musi być odpowiadać zapotrzebowaniu na miedź tego producenta. § Jeśli cena miedzi wzrośnie zyski z kontraktu zabezpieczą „starą ” cenę miedzi. § Jeśli cena miedzi spadnie, strata z kontraktu nie będzie większa niż oszczędności z tytułu spadku ceny surowca

Hedging doskonały. Przykład 1 § Cena kasowa miedzi 01 stycznia 2010 wynosi 7900 $, cena terminowa 8100 $; § 01 stycznia 2010 – zajęcie długiej pozycji na kontrakcie rocznym § 31 grudnia 2010 – zamkniecie pozycji na kontrakcie § Przy cenie zamknięcia 8300 $ tona miedzi kosztuje inwestora: 8300 - (8300 - 8100) = 8100 zaś przy cenie zamknięcia 7800 $: 7800 - (7800 – 8100) = 8100 Inwestor płaci więc tyle ile wynosiła cena terminowa w dniu 01 stycznia 2010

Konieczność wcześniejszego zamknięcia pozycji § Cena kasowa miedzi 01 stycznia 2010 wynosi 7900 $, cena terminowa 8100 $; § 01 stycznia 2010 – zajęcie długiej pozycji na kontrakcie rocznym § 31 października 2010 – zamkniecie pozycji na kontrakcie § Przy cenie kasowej 8000 $ terminowej 8050$, tona miedzi kosztuje inwestora: 8000 - (8050 - 8100) = 8050 przy kasowej 8300 $ terminowej 8400$, 8300 - (8400 – 8100) = 8000 przy kasowej 7800 $ terminowej 7850 $, 7800 - (7850 - 8100) = 8050 przy kasowej 8500 $ terminowej 8450$, 8500 – (8400 -8100)= 8200

Hedging doskonały. Przykład 2 § Polski eksporter produktów przemysłowych zamierza zabezpieczyć się przed spadkiem kursu Euro. Za pół roku spodziewa się uzyskać 1 mln Euro z tytułu sprzedaży swych produktów. Dzisiejszy kurs to 4, 00 zł. § Spółka zajmuje krótką pozycję na półrocznych kontraktach na euro o łącznej wartości 1 mln Euro. § Za pół roku: § Przy cenie Euro 3, 80 spółka uzyskuje z kontraktu (4 000 – 3 800 0000)zł = 200 000 zł 1 mln E = 3800000 zł; Spółka ma łącznie 4 mln zł. § Przy cenie Euro 4, 20 zł spółka traci na kontrakcie, gdyż (4 000 – 4 200 0000)zł = - 200 000 zł Ale 1 mln E = 4 200 000 zł; Spółka ma łącznie 4 mln zł Niezależnie od kursu Euro spółka za pół roku dysponuje kwotą 4 mln zł

Hedging minimalizujący wariancję założenia: § W chwili t = 0 zabezpieczamy transakcję skutkującą w chwili t = T na rynku kasowym przepływem finansowym równym X (może to być np. zakup n aktywów w nieznanej dziś cenie ST). § Niech F 0, FT, - ceny terminowe kontraktów futures w chwilach 0 i T (F 0 - znane, FT - nieznane) § h - liczba kontraktów § Przyszły zakup w kwocie X zabezpieczamy pozycją na h kontraktach. Wartość łącznego przepływu Y w chwili T wynosi: § Y = X + h(FT - F 0), X, FT - zmienne losowe § wariancja tego przepływu: § War Y= War X + War[ h(FT - F 0)] + 2 Kow [X, h(FT - F 0)], § (Kow – kowariancja)

Hedging minimalizujący wariancję War Y= War X + War[ h(FT - F 0)] + 2 Kow [X, h(FT - F 0)]= =War X + War (h. FT ) + 2 Kow (X, h. FT )= =War X + h 2 War (FT ) + 2 h. Kow (X, FT ) Policzmy pochodną wariancji względem h: (War Y)’h = 2 h War (FT ) + 2 Kow (X, FT ) (War Y)’h = 0 h = - Kow (X, FT ) / War (FT ) = h 0 Ponieważ War (FT ) >0, więc (War Y)’h > 0 h > h 0 oraz (War Y)’h < 0 h < h 0 Zatem funkcja War Y przyjmuje wartość minimalną dla h 0 = - Kow (X, FT) / War (FT)

Własności wariancji i kowariancji dla dowolnej liczby rzeczywistej a (i) War (a. X) = a 2 War. X (ii) War (a + X) = War. X (iii) Kow(X, Y) = Kow (Y, X) (iv) Kow(X, X) = War X (v) Kow(a. X, Y) = a Kow(X, Y) (vi) Kow(a+X, Y) = Kow(X, Y) (vii) Kow(X + Y, Z) = Kow(X, Z) + Kow(Y, Z) Wniosek Kow(a. X, b. Y) = ab Kow(X, Y)

Hedging minimalizujący wariancję § Jeżeli przedmiot kontraktu futures i towar objęty zabezpieczeniem są identyczne, np. akcje i kontrakty na akcje, to ST = FT (cena kontraktu w dniu dostawy jest równa cenie towaru), zatem § Kow (X, FT ) = Kow (n ST, FT ) = Kow (n FT, FT )= = n Kow ( FT, FT ) = n War ( FT ) Wtedy h 0 = - Kow (X, FT ) / War (FT ) = - n War ( FT ) / War (FT ) = -n h 0 = - n To oznacza że n kontraktów w pozycji krótkiej jest zabezpieczeniem zakupu n akcji w chwili T. Mamy więc do czynienia z hedgingiem doskonałym

Hedging minimalizujący wariancję § W sytuacji gdy w chwili T planujemy sprzedaż n akcji oraz istnieją kontrakty futures na te akcje, to Kow (X, FT ) = Kow (-n ST, FT ) = Kow (-n. FT, FT )= = -n Kow ( FT, FT ) = -n War ( FT ) Wtedy h 0 = - Kow (X, FT ) / War (FT ) = n War ( FT ) / War (FT ) =n h 0 = n, To oznacza, że n kontraktów w pozycji długiej jest zabezpieczeniem sprzedaży n akcji w chwili T (także hedging doskonały)

Minimalna wariancja (kontrakty na inny instrument niż handlowane aktywo) Minimalna wariancja przepływu w chwili T wynosi [War X - Kow 2 (X, FT ) / War (FT)] Dowód: War Y =War X + h 2 War (FT ) + 2 h. Kow (X, FT ) h 0 = - Kow (X, FT)/ War (FT); stąd minimalna wariancja War 0 Y= War X + Kow 2 (X, FT)/ War (FT) - 2 Kow 2 (X, FT )/ War (FT) War 0 Y = War X - Kow 2 (X, FT ) / War (FT) W przypadku ST = FT i zakupu n aktywów h = - n. Minimalna wariancja przepływu w t=T wynosi 0. Dowód: War 0 Y = War (n. ST ) - Kow 2 (n. ST, FT ) / War (FT) = = War (n. FT ) - Kow 2 (n. FT, FT ) / War (FT) = = War (n. FT ) – n 2 Kow 2 (FT, FT ) / War (FT) = = n 2 War (FT ) – n 2 War 2 (FT) / War (FT) = = n 2 War (FT ) - n 2 War (FT ) = 0

Hedging doskonały. Trudności § Nie muszą istnieć kontrakty na takie aktywa, jakie chcemy zabezpieczyć. § Ilość zabezpieczonych aktywów nie musi być wielokrotnością standardowego kontraktu § Terminy dostaw dostępnych kontraktów nie muszą się pokrywać z terminem zobowiązań § Rynek danego kontraktu może utracić płynność § Inwestor może być zmuszony do zamknięcia pozycji w kontraktach, przed terminem realizacji § Warunki dostawy mogą być niedogodne.

Futures / Zabezpieczenie krótkie § Rynek kasowy: Inwestor posiada pakiet akcji z indeksu WIG 20 § Rynek terminowy: Inwestor zajmuje krótką pozycję na kontraktach futures na WIG 20, tak by wartość kontraktów była identyczna z wartością posiadanych akcji Rezultat w przypadku wzrostów cen akcji - zyski na rynku kasowym, straty podobnej wielkości na kontraktach W przypadku spadków cen akcji - straty na rynku kasowym rekompensowane zyskami podobnej wielkości na kontraktach

Futures / Zabezpieczenie krótkie (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Futures / Zabezpieczenie krótkie Portfel: długa pozycja w akcjach + krótka pozycja na kontraktach Współrzędne portfela = (n 1, n 2, …, nk, -m 1, -m 2, …, -ml), ni liczba akcji i-tej spółki, mi – liczba kontraktów i-tego rodzaju Wartość portfela = suma iloczynów współrzędnych portfela i cen akcji lub wartości kontraktów Scenariusz 1: ceny akcji rosną Akcje przynoszą zysk, kontrakty - stratę Scenariusz 2: ceny akcji spadają Akcje przynoszą stratę, kontrakty - zysk

Futures / Zabezpieczenie długie § Rynek kasowy: Inwestor sprzedał pakiet akcji z WIG 20 § Rynek terminowy: Inwestor zajmuje długą pozycję na kontraktach futures na WIG 20, tak by wartość kontraktów była identyczna z wartością sprzedanych akcji Rezultat w przypadku wzrostów cen akcji - straty na rynku kasowym rekompensowane zyskami podobnej wielkości na kontraktach W przypadku spadków cen akcji - zyski na rynku kasowym mają podobną wielkość jak straty na kontraktach

Futures / Zabezpieczenie długie (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Futures / Zabezpieczenie długie Portfel: krótka pozycja w akcjach (tzn. sprzedaż akcji) + długa pozycja na kontraktach Współrzędne portfela=(-n 1, -n 2, …, -nk, m 1, m 2, …, ml) ni - liczba akcji i-tej spółki, mi – liczba kontraktów i-tego rodzaju Scenariusz 1: ceny akcji rosną Krótka pozycja w akcjach przynosi stratę, kontrakty - zysk Scenariusz 2: ceny akcji spadają Krótka pozycja w akcjach przynosi zysk, kontrakty - stratę