KONTRAKTY FORWARD Sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na
- Slides: 37
KONTRAKTY FORWARD Sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Kontrakty forward na waluty Kontrakty na stopę procentową
Przypomnienie podstawowych idei wyceny kontraktów terminowych z części I Brak arbitrażu Zerowanie się strumienia zdyskontowanych przepływów finansowych w pewnej strategii Równoważność zdyskontowanych przepływów w strategii I i II Wzór na cenę forward i wartość kontraktu
F 0 > S 0 er. T strategia A pożyczka, zakup waloru, krótka poz. ; sprzedaż waloru wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje § pożyczyć w banku kwotę S 0 § zakupić walor na rynku za S 0 § zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F 0 zaś w chwili t = T : § zrealizować kontrakt z ceną F 0 § zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S 0 er. T Różnica F 0 - S 0 er. T jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia
F 0 < S 0 er. T strategia B: krótka sprzedaż waloru, lokata, długa poz. ; kupno, oddanie waloru w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: § pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S 0 (krótka sprzedaż waloru) § kwotę S 0 zdeponować w banku § zawrzeć kontrakt kupna z ceną F 0 w chwili t = T należy: § wycofać z banku depozyt w kwocie S 0 er. T § zrealizować kontrakt kupna z ceną F § oddać walor zamykając krótką sprzedaż Różnica S 0 er. T - F 0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia
Interpretacja wzoru F 0 = S 0 er. T Po elementarnych przekształceniach: (2) - S 0 + F 0/ er. T = 0 W strategii (modyfik. A): § kupno waloru, § krótka pozycja na kontrakcie, § sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu: S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T. UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.
Interpretacja wzoru F 0 = S 0 er. T Porównanie strategii I i II Wzór (1) jest równoważny wzorowi § (3) - S 0 + (ST)/er. T = - F 0/ er. T + (ST)/er. T gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I (tylko walor ): § kupno waloru za S 0 w chwili t=0, § sprzedaż waloru za ST w chwili t = T, Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II (lokata, długa, ; realiz, sprzedaż) : § długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0, lokata w banku kwoty F 0 / e r. T w chwili t = 0, § Wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F 0 , sprzedaż waloru za ST w chwili t=T UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne
Cena terminowa kontraktu forward § Niech – jak poprzednio – S 0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St. § WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi (4) Ft = St er (T - t) ponadto po uproszczeniach: (4’) F = S er. T, T - czas do realiz. , S cena waloru na T przed realizacją
Wartość kontraktu terminowego kupna definicja Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F 0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T]. DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór (5) ft = St - e-r(T-t) F 0 (f = S - e-r. T K) Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu
Wartość kontraktu terminowego kupna c. d. (7) ft = St - S 0 ert § kolejna interpretacja wartości kontraktu kupna: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t
Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K § (5’) (6’) Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F 0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] ) ft = St - e-r(T-t) K ft = e-r(T- t) (Ft - K ) lub po uproszczenaich: (8) (9) f = S - e-r. T K f = e-r. T (F- K ) S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu
Wartość kontraktu terminowego sprzedaży § Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania. § Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to § (10) ft = e-r(T-t) F 0 - St § (10’) ( f = e-r. T K - S ) § Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy § f 0= e-r. T F 0 - S 0 = 0 § f. T = F 0 - S T
Część druga § Sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe (dyskretne lub ciągłe) § aktywa generujące dyskretne wpływy § aktywa generujące dyskretne koszty § aktywa generujące stałą stopę zwrotu wypłacaną w sposób ciągły § aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa § Kontrakty forward na waluty § Kontrakty na stopę procentową
Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe § Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji. § (akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania) § Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez § C 1, . . . , Cn. Dodatnie liczby oznaczają dochody posiadacza aktywa, ujemne – koszty.
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2. strategia I (trzymanie waloru): w chwili t=0 kupno waloru za S 0, § realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t 1, . . , tn w chwili t = T § sprzedaż waloru za ST, strategia II (kontrakt + lokata bankowa): w chwili t=0 § długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0 , lokata w banku kwoty F 0/ er. T, w chwili t = T § wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F 0 , sprzedaż waloru za ST Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I: § - S 0 + (C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn + (ST)/er. T Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II: § - F 0/ er. T + (ST)/er. T Wobec równoważności obu strategii § - S 0 + (C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn + (ST)/er. T = - F 0/ er. T + (ST)/er. T Stąd wyliczamy F 0 (14) F 0 = [S 0 – ((C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn )] er. T Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej w chwili t =T ceny waloru w chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C 1, . . . , Cn.
Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe § F 0 = [S 0 – ((C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn )] er. T (15) F 0 = [S 0 – Σi PV(Ci)] er. T symbolicznie (16) F = (S – PV) er. T Po elementarnych przekształceniach wzoru (15): - S 0 + Σi PV(Ci) + F 0/ er. T = 0 W strategii : kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, sprzedaż waloru za F 0 w ramach realizacji kontraktu: § S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, Ci i=1, . . . , i=n są wpływami w przedziale czasu [0; T] F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T. Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)
„Dowód empiryczny” przypadek – walor generuje wypłaty Można uzasadnić prawdziwość wzoru (16) z założenia braku arbitrażu. § Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) er. T Stosujemy strategię: (t = 0) pożyczamy walor (przejmujemy tym samym obowiązek wypłat), dokonujemy krótkiej sprzedaży uzyskując S, pieniądze w kwocie (S - PV) lokujemy przy stopie r na okres T, Pozostałą kwotę - czyli PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować; zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ § (0 < t <T) realizujemy przepływy (wypłaty) § (t =T) podejmujemy kwotę (S - PV) er. T , realizujemy kontrakt kupując walor za F’ § Kwota [(S - PV) er. T – F’] jest arbitrażowym zyskiem
„Dowód empiryczny” c. d. § Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) er. T Stosujemy strategię: (t = 0) kupujemy walor wydając kwotę S, zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t <T) realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) ) (t =T) realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’ wartość naszej inwestycji w tym momencie to (S - PV) er. T Kwota [F’- (S - PV) er. T ] jest arbitrażowym zyskiem
kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5 - letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację (z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie) (15) F 0 = [S 0 – Σi PV(Ci)] er. T t 1=0, 5; t 2=1; T=1 F 0 = (930 – 40/e 0, 08*0, 5 - 40/e 0, 08 )e 0, 08 = 925, 8245 Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925, 82 zł
kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe § Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca. (15) t 1=0; F 0 = [S 0 – Σi PV(Ci)] er. T t 2= 0, 25; t 3= 0, 5; T = 0, 75 F 0 = (8730 + 150 /e 0, 06*0, 25 + 150 /e 0, 06*0, 5 )e 0, 06 *0, 75 = (8730 + 150 + 147, 668 + 145, 567 ) 1, 046 = 9595, 563 Cena terminowa kontraktu forward wynosi 9595, 56 $
Wartość kontraktu kupna na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K Cena dostawy - K Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna f = e-r. T (F- K ) wstawiamy wzór na cenę terminową F = (S – PV) er. T Otrzymujemy § § f = e-r. T ((S – PV) er. T - K ) = S – PV - K e-r. T (17) f = (S – PV) - K e-r. T
Wartość kontraktu forward na aktywa generujące przepływy. Przykład Niech 102 $ będzie ceną dostawy w dziesięciomisięcznym kontrakcie forward na akcję, której aktualna cena wynosi 100 $. Po 3, 6, 9 miesiącach przewidywane są wypłaty dywidend w wysokości 1, 5 $ na akcję. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Ile wynosi wartość kontraktu kupna ? § f = S – PV - K e-r. T f = 100 – 1, 5 (e -0, 08*0, 25 + e -0, 08*0, 75 ) -102 e -0, 08*0, 8333 = 100 – 4, 324 – 95, 422 = 0, 254 Wartość rozważanego kontraktu to 25, 4 centa
Wartość kontraktu sprzedaży na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K wartość kontraktu sprzedaży - według ogólnej zasady – jest równa minus wartość kontraktu kupna f = K e-r. T - (S – PV)
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy § Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e q. T akcji § Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e-q. T , zatem końcowa liczba to e-q. T eq. T = 1 § Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0, 01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e 0, 05*0, 01 - 1)=500, 13; § umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy § Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami: wydatkiem Se-q. T w chwili początkowej, przychodem F po czasie T. § Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość § - Se -q. T + F/ er. T = 0, § Skąd otrzymujemy § (18) F = S e(r-q)T
Przykład § Stopa dywidendy płaconej w sposób ciągły dla pewnej akcji wynosi 4 % w skali roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Cena tych akcji to 50 $. Wyznacz cenę terminową półrocznego kontraktu forward na tą akcję. § F = S e(r-q)T § S = 50; r = 0, 08; q = 0, 04; T = 0, 5
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy Można uzasadnić prawdziwość ostatniego wzoru z założenia braku arbitrażu Przypuśćmy że F’ < F = S e(r-q)T Strategia t=0: § dokonujemy krótkiej sprzedaży e-q. T akcji, § uzyskane pieniądze Se-q. T lokujemy przy stopie r § długa pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F’ t=T: § oddajemy zwiększoną liczbę akcji (dywidenda była inwestowana w akcje) mianowicie ( e-q. T eq. T =1 ) jedną akcję § Podejmujemy kwotę Se-q. T e Tr § Realizacja kontraktu – kupno akcji za F’ Arbitrażowy zysk (S e(r-q)T – F’)
Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy Przypuśćmy że F’ > F = S e(r-q)T Strategia, t=0: § Zaciągamy pożyczkę na kwotę Se-q. T § Kupujemy e-q. T akcji przy cenie S § Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F’ t=T: § Posiadamy 1 akcję (ciągle doliczana dywidenda była inwestowana w akcje e-q. T eq. T =1 ) § Realizacja kontraktu – sprzedaż akcji za F’ § Oddajemy kwotę z odsetkami Se-q. T e. Tr Arbitrażowy zysk (F’ – S e(r-q)T)
Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa § Założenia dodatkowe § § Ponoszone koszty przechowania surowca stanowią w ciągu roku ustalony procent (q) ceny aktywa (np. koszt magazynowania uncji złota może być proporcjonalny do jej ceny ) wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy § Koszty ponoszone są w sposób ciągły, poprzez zmniejszanie liczby aktywów (sprzedaż, by pokryć koszty magazynowania) Przykładowo, gdyby inwestor w chwili początkowej miał 1 uncję złota, to po roku miałby tylko e-q uncji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e -q. T uncji § Cena aktywa jest stała
Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa § W przypadku akcji przynoszącej stałą dywidendę o stopie q liczba posiadanych akcji (aktywów) rosła wg wzoru eq. T § Jeżeli aktywa wymagają nakładów, co powoduje redukcję liczby aktywów, to możemy potraktować tą sytuację jak ujemną stopę dywidendy. Zatem cena terminowa takiego kontraktu dana jest wzorem § F = S e(r+q)T
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Sformułowanie problemu § Obecny kurs waluty obcej wynosi S § Stopa procentowa waluty krajowej wynosi r § Stopa procentowa waluty zagranicznej wynosi rz § (obie stopy podlegają kapitalizacji ciągłej) Aktualnie zawieramy kontrakt na sprzedaż waluty obcej z terminem realizacji T. Jaki powinien być kurs waluty obcej w tym czasie ?
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Rozważmy dwie strategie: stratega I § t=0; Zdeponowanie w banku kwotę P na okres T § t=T; Wycofanie depozytu P er. T stratega II § t=0; zakup P/S jednostek waluty obcej § Zdeponowanie uzyskanej kwoty na okres T przy stopie rz § Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie kupna z terminem T i kursem waluty obcej F § t =T § Wycofanie depozytu w kwocie (P/S) exp (rz. T) § Zrealizowanie kontraktu – sprzedaż waluty po kursie F
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej. Parytet stóp procentowych § Żądamy- tak jak w przypadku - by obie strategie były równoważne. Zatem w chwili T liczby jednostek krajowej waluty muszą być równe, czyli: § § P exp (r. T ) = (P/S) exp (rz. T) F F = S exp (r-rz)T
Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Przykład § Dzisiejszy kurs Euro to 3, 96 zł. Przyjmijmy, że wolna od ryzyka krajowa stopa procentowa wynosi 4, 5%, zaś w strefie Euro 3, 5%. Po jakim kursie powinno się kupić jedno Euro za pół roku ? § F = S exp (r-rz)T § F jest szukanym kursem euro § S= 3, 96; r = 4, 5%; rz = 3, 5%; T =0, 5 § F = 3, 97985
Kontrakt terminowy na stopę procentową Rozważmy dwie strategie: stratega I § t=0; Zdeponowanie kwoty P, przy stopie r 2 do chwili t 2 § t= t 2; Wycofanie depozytu P exp (r 2 t 2) stratega II § t=0; Zdeponowanie kwoty P przy stopie r 1 do chwili t 1 § Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie z terminem t 1 i stopą r § t = t 1 § Wycofanie depozytu w kwocie P exp (r 1 t 1) § Zrealizowanie kontraktu – udzielenie pożyczki w kwocie P exp (r 1 t 1) przy stopie r do chwili t 2 § t = t 2 § Odzyskanie kwoty pożyczki z odsetkami: P exp (r 1 t 1) exp [r ( t 2 -t 1)]
Kontrakt terminowy na stopę procentową § Obie strategie powinny być równoważne, czyli kwoty uzyskane w obu przypadkach w chwili t 2 muszą być równe § P exp (r 2 t 2) = P exp (r 1 t 1) exp [r ( t 2 -t 1)] § skąd otrzymujemy § r = (r 2 t 2 - r 1 t 1) / ( t 2 -t 1)
Literatura § Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 § Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 § Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 § Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005 § Inżynieria finansowa A. Weron, R. Weron Warszawa 1998
- Wojna sprawiedliwa i niesprawiedliwa
- Kontrakty różnicowe
- Gpw waluty
- Rumus forward rate
- Forward rate dan forward market
- Tranja
- Algifen cena dr max
- Rovnovazna cena
- Ribarska banja specijalna bolnica za rehabilitaciju
- Robert jordan postava
- Varroze
- Cena v marketingu
- Pierwsza koparka wykonała połowę wykopu
- Marketing cena
- Ranila plech cena
- Gajger milerov brojac
- Ces battery box 3f home premium cena
- Cena maksymalna
- Conhecido por uma cena
- Sijarinska banja hotel gejzer cena
- Semaglutyd tabletki cena
- Ccc 1546
- Filosofi a cena java
- Metode formiranja cena
- Nutrigenetika cena
- Slavol prihrana preko lista cena
- Dr radosław różycki
- Trotec speedy 100 cena
- Akiane kramarik obrazy cena
- Ernest hemingway nobelova cena
- Pvzp exclusive
- Organska svinjska mast
- Mapa conceptual de la ultima cena
- Tirgus līdzsvara cena
- Xiapex cena leku
- Cip cena
- Sms api cena
- Old holborn duvan cena