KONTRAKTY FORWARD CENA WYKONANIA CENA TERMINOWA WARTO KONTRAKTU

  • Slides: 46
Download presentation
KONTRAKTY FORWARD CENA WYKONANIA CENA TERMINOWA WARTOŚĆ KONTRAKTU CALL - PUT PARITY

KONTRAKTY FORWARD CENA WYKONANIA CENA TERMINOWA WARTOŚĆ KONTRAKTU CALL - PUT PARITY

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward § § § Metale Surowce energetyczne Zboża, kawa,

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward § § § Metale Surowce energetyczne Zboża, kawa, cukier, soja Stopy procentowe Kursy wymiany walut Papiery wartościowe

Elementy kontraktu forward § Cena jednostkowa dostawy (realizacji kontraktu) – delivery price (K) §

Elementy kontraktu forward § Cena jednostkowa dostawy (realizacji kontraktu) – delivery price (K) § Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (F) § Ilość towaru § Jakość § Miejsce dostawy § Data rozliczenia

Cena jednostkowa dostawy - K § Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej,

Cena jednostkowa dostawy - K § Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota) § Cena ta § jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu zawierania kontraktu § nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu jest równa zeru) § nie zmienia się w czasie trwania kontraktu Cena dostawy będzie oznaczona literą K

Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (cena terminowa - F ) § Aktualna

Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (cena terminowa - F ) § Aktualna cena terminowa kontraktu forward – cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej. § (Cena terminowa danego kontraktu jest określona przez cenę dostawy, dla której wartość kontraktu wynosi zero) § W chwili zawierania kontraktu cena terminowa jest równa cenie dostawy, później cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktu

Powody zawierania kontraktów § Zabezpieczenie przed ryzykiem § § wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe)

Powody zawierania kontraktów § Zabezpieczenie przed ryzykiem § § wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe) spadku cen surowców (kontrakty towarowe) § Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe) § Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową) § Osiągnięcie zysku § Osłona innych inwestycji

Charakterystyka kontraktów forward § Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej) § Warunki negocjowane między stronami

Charakterystyka kontraktów forward § Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej) § Warunki negocjowane między stronami kontraktu § Brak standaryzacji § Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości § Strony kontraktu znają się nawzajem § Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami § Możliwe trudności w zamknięciu pozycji § Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu § Każda ze stron ponosi ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających stronom

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie § Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji) § Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Założenia o rynku 1. oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w

Założenia o rynku 1. oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie 2. wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona 3. zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami 4. nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji 5. wszystkie aktywa są doskonale podzielne 6. dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów 7. ciągła kapitalizacja odsetek 8. brak możliwości arbitrażu

Arbitraż § Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat

Arbitraż § Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat § Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej początkowej wartości § Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile) § Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Arbitraż jest sytuacją w której § w chwili t=0 portfel ma zerową wartość §

Arbitraż jest sytuacją w której § w chwili t=0 portfel ma zerową wartość § w chwili t=T wartość portfela jest nieujemna z prawdopodobieństwem 1 oraz wartość portfela jest dodatnia z dodatnim prawdopodobieństwem

Notacja § K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward § T- okres (w latach)

Notacja § K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward § T- okres (w latach) pozostający do dostawy § S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu § F – cena terminowa kontraktu forward § f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward § r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S 0, St, ST, (F 0= K)

Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Rozważmy w

Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe) Stwierdzenie 1. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K (=F 0) kontraktu na walor nie generujący przepływów finansowych, dana jest wzorem (1) K (= F 0 ) = S 0 er. T Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S 0 – cena waloru w chwili t = 0 (Cena terminowa w chwili t=0 jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie ( punkt widzenia właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie ( punkt widzenia właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu) § Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S 0 i uzyskany przychód zdeponować – uzyskując w chwili t = T kwotę S 0 er. T. Zatem F 0 nie może być mniejsze niż S 0 er. T

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego F 0 nie może być większe niż S 0

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego F 0 nie może być większe niż S 0 er. T Gdyby F 0 > S 0 er. T , wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje § pożyczyć w banku kwotę S 0 § zakupić walor na rynku za S 0 § zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F 0 zaś w chwili t = T : § zrealizować kontrakt z ceną F 0 § zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S 0 er. T Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową Różnica F 0 - S 0 er. T jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Przypuśćmy, że F 0 < S 0 er. T

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Przypuśćmy, że F 0 < S 0 er. T w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: § pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S 0 (krótka sprzedaż waloru) § kwotę S 0 zdeponować w banku § zawrzeć kontrakt kupna z ceną F 0 w chwili t = T należy: § wycofać z banku depozyt w kwocie S 0 er. T § zrealizować kontrakt kupna z ceną F § oddać walor zamykając krótką sprzedaż Różnica S 0 er. T - F 0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Przykład 1. § Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki

Przykład 1. § Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy) § Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż: t=0 § Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję § Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie t=T § Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł § Spłacamy pożyczkę w kwocie 40 e 0, 05* 0, 25 = 40, 5 Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2, 50 zł

Przykład 2. § Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki

Przykład 2. § Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40, 40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy) § Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż: t=0 § Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji, § Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym § Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie t=T § Wypłacamy kwotę 40 e 0, 05* 0, 25 = 40, 50 § Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40, 40 zł § Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży) Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0, 10 zł

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 er. T Po elementarnych przekształceniach: (2) -

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 er. T Po elementarnych przekształceniach: (2) - S 0 + F 0/ er. T = 0 W strategii : t=0 § kupno waloru, § krótka pozycja na kontrakcie, t =T § sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 er. T Wzór (1) jest równoważny wzorowi

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 er. T Wzór (1) jest równoważny wzorowi § (3) - S 0 + (ST)/er. T = - F 0/ er. T + (ST)/er. T gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii: § kupno waloru za S 0 w chwili t=0, § sprzedaż waloru za ST w chwili t = T, Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii: § długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0, lokata w banku kwoty F 0 / e r. T w chwili t = 0, § Wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F 0 , sprzedaż waloru za ST w chwili t=T UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne

Cena terminowa kontraktu forward § Niech – jak poprzednio – S 0 oznacza cenę

Cena terminowa kontraktu forward § Niech – jak poprzednio – S 0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St. § WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi (4) Ft = St er (T - t) ponadto przyjętych oznaczeniach: F 0 = S 0 er. T, FT = ST

Wartość kontraktu terminowego kupna definicja Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z

Wartość kontraktu terminowego kupna definicja Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F 0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T]. DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór (5) ft = St - e-r(T-t) F 0 Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 1 § Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 1 § Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26, 50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25, 50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? § Stosujemy wzór ft = St - e-r(T-t) F 0 w którym § St=25, 50; F 0 = 26, 50; r=0, 06; T = 0, 75; t = 0, 25 § ft = 25, 50 – e-0, 06*0, 526, 50 = - 0, 21681 § wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi (-0, 22 zł)

Wartość kontraktu terminowego kupna Interpretacje wzoru ft = St - e-r(T-t) F 0 §

Wartość kontraktu terminowego kupna Interpretacje wzoru ft = St - e-r(T-t) F 0 § Uwzględniając wzór (4) na cenę Ft , Ft = St er (T - t) oraz ft = St - e-r(T-t) F 0 wzór na wartość kontraktu przyjmuje postać (6) ft = e-r(T- t) Ft - e-r(T- t) F 0 ft = e-r(T- t) (Ft - F 0 ) Wartość kontraktu kupna (długiej pozycji) w chwili t jest równa zdyskontowanej różnicy miedzy ceną terminową Ft a ceną wykonania F 0 lub inaczej – zdyskontowanej różnicy miedzy cenami wykonania kontraktów zawieranych w chwilach t=0 oraz t=t i tym samym terminem realizacji T Wartość kontraktu kupna zależy od zmiennej ceny waloru St, może więc przyjmować różne znaki. Ponadto f 0 = S 0 - F 0 / er. T = 0, f. T = S T - F 0

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 2 § Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 2 § Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26, 50 zł. Aktualna cena terminowa kontraktu wynosi 27, 00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? Zastosujemy wersję wzoru na wartość kontraktu ft = e-r(T- t) (Ft - F 0 ) F 0= 26, 50; t = 0, 25; T = 0, 75; Ft= 27, 00; r = 0, 06 ft = e-0, 06*0, 5 = 0, 970446 (27, 00 – 26, 50) = 0, 485223 wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi 0, 49 zł

Wartość kontraktu terminowego kupna c. d. § Uwzględniając we wzorze fakt, że F 0

Wartość kontraktu terminowego kupna c. d. § Uwzględniając we wzorze fakt, że F 0 = S 0 er. T ft = St - e-r(T-t) F 0 otrzymujemy ft = St - e-r(T- t) S 0 er. T = St - S 0 ert , zatem (7) ft = St - S 0 ert § Uzyskana równość dostarcza kolejną interpretację wartości kontraktu kupna: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 3 § Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 3 § Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? § § Zastosujemy ostatnią postać wzoru na wartość pozycji długiej: St = 24, § ft = St - S 0 ert S 0= 25, t = 0, 25; r = 0, 06 ft = 24 - 25* 1, 015113 = -1, 38

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K § Zastępując we wzorach (5)

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K § Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F 0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] ) (5’) (6’) ft = St - e-r(T-t) K ft = e-r(T- t) (Ft - K ) lub jeszcze inaczej: (8) f = S - e-r. T K (9) f = e-r. T (F- K ) S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie wykonania § Przykład. Aktualna cena akcji pewnej

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie wykonania § Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6 -miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł f = S - e-r. T K gdzie S=25, K=24, r=0, 06, T=0, 5 § F=25 - 0, 970446*24 = 25 - 23, 29069 = 1, 709307 § Zastosujemy wzór § Wartość kontraktu wynosi 1, 71 zł

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży § Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży § Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania. § Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to § (10) ft = e-r(T-t) F 0 - St § Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy § f 0= e-r. T F 0 - S 0 = 0 § f. T = F 0 - S T

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży Analogicznie do wartości kontraktu kupna, wartość kontraktu sprzedaży ft =

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży Analogicznie do wartości kontraktu kupna, wartość kontraktu sprzedaży ft = e-r(T-t) F 0 - St może przyjąć postać z uwzględnieniem ceny terminowej (11) ft = e-r(T- t) (F 0 - Ft) lub opierać się na tylko cenie instrumentu bazowego (12) ft = S 0 ert - St Przy danej cenie wykonania K, cenie terminowej F wartość kontraktu na T przed terminem realizacji: (13) f = e-r. T (K - F)

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S 0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: a) w chwili T: S(T) < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K-S(T) opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K-S(T), zatem - nie uwzględniając kosztów transakcji – przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S(T) > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Wniosek 2. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem te wartości muszą być także równe w chwili początkowej, czyli C 0 = P 0 + V gdzie C 0 , P 0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, V - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C 0 = P 0 + S 0 - e-r. T K 0, T

Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe § Pewne aktywa

Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe § Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji. § (akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania) § Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez § C 1, . . . , Cn. Dodatnie liczby oznaczają dochody posiadacza aktywa, ujemne – koszty.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Rozważmy dwie strategie analogiczne

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2. strategia I: § w chwili t = 0 kupno waloru za S 0, § realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t 1, . . , tn w chwili t = T § sprzedaż waloru za ST, strategia II: w chwili t=0 § długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0 , lokata w banku kwoty F 0/ er. T, w chwili t = T § wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F 0 , sprzedaż waloru za ST Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I: § - S 0 + (C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn + (ST)/er. T Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II: § - F 0/ er. T + (ST)/er. T Wobec równoważności obu strategii § - S 0 + (C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn + (ST)/er. T = - F 0/ er. T + (ST)/er. T Stąd wyliczamy F 0 (14) F 0 = [S 0 – ((C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn )] er. T Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej (w chwili t =T) ceny waloru z chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C 1, . . . , Cn.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe § F 0 =

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe § F 0 = [S 0 – ((C 1)/ert 1 +. . . + (Cn)/ertn )] er. T (15) F 0 = [S 0 – Σi PV(Ci)] er. T symbolicznie (16) F = (S – PV) er. T Po elementarnych przekształceniach wzoru (15): - S 0 + Σi PV(Ci) + F 0/ er. T = 0 W strategii : t = 0 kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, t =T sprzedaż waloru za F 0 w ramach realizacji kontraktu § S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, Ci i=1, . . . , i=n są wpływami w przedziale czasu [0; T] F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T. Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)

Dowód Można uzasadnić prawdziwość wzoru (16) z założenia braku arbitrażu. Przypuśćmy że F’ <

Dowód Można uzasadnić prawdziwość wzoru (16) z założenia braku arbitrażu. Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) er. T Stosujemy strategię: t=0 § pożyczamy walor, dokonujemy krótkiej sprzedaży uzyskując kwotę S, § pieniądze w kwocie (S - PV) lokujemy przy stopie r na okres T, kwotę PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować; § zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ 0 < t <T § realizujemy przepływy (wypłaty) t =T § podejmujemy kwotę (S - PV) er. T , realizujemy kontrakt kupując walor za F’ Kwota [(S - PV) er. T – F’] jest arbitrażowym zyskiem

Dowód c. d. § Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) er.

Dowód c. d. § Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) er. T Stosujemy strategię: (t = 0) kupujemy walor wydając kwotę S, zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t < T) realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) ) (t =T) realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’ wartość naszej inwestycji w chwili T, to (S - PV) er. T Kwota [F’- (S - PV) er. T ] jest arbitrażowym zyskiem

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5 - letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie? (15) F 0 = [S 0 – Σi PV(Ci)] er. T t 1= 0, 5; F 0 = (930 t 2 = 1; T =1 – 40/e 0, 08*0, 5 - 40/e 0, 08 )e 0, 08 = 925, 8245 Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925, 82 zł

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca. Przykład 2. (15) F 0 = [S 0 – Σi PV(Ci)] er. T t 1=0; t 2= 0, 25; t 3= 0, 5 T = 0, 75 F 0 = (8730 + 150 /e 0, 06*0, 25 + 150 /e 0, 06*0, 5 )e 0, 06 *0, 75 = (8730 + 150 + 147, 668 + 145, 567 ) 1, 046 = 9595, 563 Cena terminowa takiego kontraktu forward powinna wynosić 9595, 56 $

Wartość kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K Cena

Wartość kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K Cena dostawy - K Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna f = e-r. T (F - K ) wstawiamy F = (S – PV) er. T Otrzymujemy § § f = e-r. T ((S – PV) er. T - K ) = S – PV - K e-r. T (17) f = S – PV - K e-r. T

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu (np. akcje o stałej

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu (np. akcje o stałej stopie dywidendy) § Stopa dywidendy: q = wielkość dywidendy / cena akcji § Założenia dodatkowe § Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy q § Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie portfela akcji) § Cena akcji jest stała § Rozważmy następującą strategię: t=0 § Zakup e-q. T akcji o stopie dywidendy q § Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F t=T § Sprzedaż posiadanych akcji – realizacja kontraktu.

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy § Gdyby inwestor w

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy § Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e q. T akcji § Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e-q. T , zatem końcowa liczba to e-q. T eq. T = 1 § Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0, 01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e 0, 05*0, 01 - 1)=500, 13; § umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy § Strategia inwestora charakteryzuje

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy § Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami: wydatkiem Se-q. T w chwili początkowej, przychodem F po czasie T. § Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość § - Se -q. T + F/ er. T = 0, Skąd otrzymujemy § (18) F = S e (r- q) T