Konsep Probabilitas Materi Pengertian probabilitas percobaan ruang sample
Konsep Probabilitas
Materi : Pengertian probabilitas, percobaan, ruang sample, titik sample dan peristiwa, probabilitas beberapa peristiwa Harapan matematis Distribusi teoritis
Pengertian Probabilitas atau peluang : ◦ Merupakan ukuran numeric tentang seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. ◦ Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi. ◦ Teori probabilitas atau peluang merupakan teori dasar dalam pengambilan keputusan yang memiliki sifat ketidakpastian. Ada 3 Pendekatan : ◦ Pendekatan klasik ◦ Pendekatan empiris ◦ Pendekatan subyektif
PENDEKATAN KLASIK Apabila suatu peristiwa (Event) E dapat terjadi sebanyak h dari sejumlah n kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi maka probabilitas peristiwa E ata P(E) dapat dirumuskan : misalnya: Bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masing-masing sisi mempunyai peluang yang sama , yaitu 0, 5 karena koin hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau dicatat. P(A) = P(B) = 0, 5
Latihan Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?
PENDEKATAN EMPIRIS Perumusan perhitungan berdasarkan pendekatan empiris adalah atas dasar pengertian frekuensi relatif. Pendekatan ini dilakukan karena pendekatan perhitungan klasik dipandang memiliki beberapa kelemahan. Dalam kenyataan, syarat yang ditetapkan jarang dapat dipenuhi. Suatu peristiwa E mempunyai h kejadian dari serangkaian n kejadian dalam suatu percobaan, maka peluang E merupakan frekuensi relatif h/n , dinyatakan sebagai : untuk n mendekati nilai tak terhingga
Contoh : Misalkan kita ingin mengetahui peluang kemunculan sisi A suatu uang logam apabila uang logam tersebut dilempar. Untuk itu, kita melempar uang logam tersebut sebanyak misalnya 40 kali dan kita mencatat sisi yang muncul dalam tiap lemparan. Ternyata misalnya muncul sisi A sebanyak 15 kali. Maka, peluang empiris munculnya sisi A dalam tiap lemparan terhadap sebuah uang logam adalah:
Latihan : Misalkan kita tertarik untuk mengetahui peluang munculnya sisi dengan banyaknya mata dadu 2 pada pelemparan sebuah dadu. Untuk itu kita melakukan lemparan sebanyak (misalnya) 72 kali. Pencatatan terhadap hasil-hasil pada eksperimen ini diringkaskan pada kolom pertama dan kedua dari kiri tabel berikut.
PENDEKATAN SUBYEKTIF Pada pendekatan subyektif, beberapa orang dapat saja memiliki keyakinan yang berbeda terhadap terjadinya suatu peristiwa, meskipun informasi yang diterima berkaitan dengan peristiwa tersebut adalah sama. Hal tersebut disebabkan karena setiap orang berpikir dan mempunyai keyakinan yang berbeda terhadap suatu masalah yang sama.
Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu : Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak) Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 0 ≤ P (E) ≤ 1 Artinya : ◦ Jika P= 0 disebut probabilitas kemustahilan artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi ◦ Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian , artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi ◦ Jika 0< P< 1, disebut probabilitas kemungkinan , artinya kejadian atas peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi. Jika kemungkinan terjadinya peristiwa E disebut P (E) maka besarnya probabilitas bahwa peristiwa E tidak terjadi adalah :
Himpunan Beberapa komponen yang berhubungan : Eksperimen ◦ Proses pengumpulan data dari sebuah fenomena yang memperlihatkan variasi pada hasilnya. Ruang sampel ◦ Kumpulan dari seluruh kemungkinan hasil yang didapatkan dari suatu eksperimen, dilambangkan dengan S. Peristiwa/Event/Kejadian ◦ Kumpulan hasil-hasil dasar yang digolongkan oleh suatu ciri tertentu.
Probabilitas beberapa peristiwa PERISTIWA SALING LEPAS (MUTUALLY EXCLUSIVE) Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah: P (A U B) = P (A) + P (B) Jika peristiwa A, B, dan C saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah: P ( A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)
Contoh: Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwanya adalah : A = peristiwa mata dadu 2 muncul B = mata dadu lebih dari 4 muncul Tentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B): P (A) = 1 dan P (B) = 2 6 6 P(AUB) = 1 + 2 = 3 6 6 6
Latihan : Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
PERISTIWA TIDAK SALING LEPAS (NONMUTUALLY EXCLUSIVE) Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa itu dapat terjadi secara bersamaan. Jika peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Jika peristiwa A, B, dan C tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah: P (A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A∩B)–P(A∩C)–P(B∩C) + P(A∩B∩C)
Contoh: Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya dalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ? Dimisalkan : A = kartu Ace D = kartu Diamont Maka P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D) = 4 + 4 - 1 52 52 52 = 7 52
Latihan : Sebuah perusahaan memiliki 10 orang karyawan pria dan 14 orang karyawan wanita. Separuh dari karyawan pria dan separuh karyawan wanita adalah sarjana manajemen. Jika diambil seorang karyawan secara acak berapa probabilitas yang terambil itu adalah wanita atau sarjana manajemen.
PERISTIWA INDEPENDENT (BEBAS) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B saling bebas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut : P (AB) = P(A) x P(B) Untuk tiga peristiwa A, B, dan C saling bebas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut : P (ABC) = P(A) x P(B) x P(C)
Contoh: Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam : a. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1 b. empat kali pengambilan terdapat bagus 1 Dimisalkan A = bagus B = rusak Maka P(A) = 0, 70 P(B) = 0, 30 = P(A∩A∩B) U P(A∩B∩A) U P(B∩A∩A) = 0, 70 x 0, 30 atau 0, 70 x 0, 30 x 0, 70 atau 0, 30 x 0, 70 = 0, 147 + 0, 147 = 0, 441
Latihan 1 : Sebuah kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil secara acak, satu per satu (tanpa pemulihan), berapa peluang sekering yang terambil itu keduanya rusak?
Latihan 2 : Sebuah toko telah menerima 100 buah televisi portabel dari sebuah pabrik. Tanpa diketahui oleh manajemen toko tersebut, 10 dari 100 televisi mengalami kerusakan. Jika dua televisi dipilih secara acak (satu per satu tanpa pemulihan) dari 100 televisi, kemudian dilakukan pemeriksaan mutu secara seksama, berapakah peluang bahwa kedua televisi (televisi pertama dan kedua) yang dipilih rusak?
PERISTIWA DEPENDENT (BERSYARAT) Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sbb : P(B/A) Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dirumuskan sbb : P(A∩B) = P(A) x P(B/A) Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah terjadi ditulis sbb : P (A/B) Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sbb : P (A∩B) = P(B) x P(A/B)
Contoh: Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas peertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa : a. Keduanya bola putih b. Keduanya bola hitam Misalnya A 1 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A 2 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka : P(A 1 ∩A 2) = P(A 1) x P(A 2/A 1) = 4/6 X 3/8 = 1/4 Misalnya A 1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A 2 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka : P(A 1∩A 2) = P(A 1) x P(A 2/A 1) = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24 Probabilitas yang dimaksud adalah : P(A 1∩B 2) U P(B 1∩A 2)
Latihan 1 : Seorang wisman asal Jepang memiliki peluang mendapat bonus dari tempatnya bekerja 0, 8. Jika ia mendapat bonus, peluang ia berwisata ke Bali adalah 0, 7. Berapa peluang wisman asal Jepang tersebut mendapat bonus dan berwisata ke Bali?
Latihan 2 : Peluang seorang konsumen yang masuk ke sebuah toko elektronik akan membeli tv adalah 0, 3. Jika ia membeli tv, peluang bahwa ia akan membeli dvd player adalah 0, 7. Berapa peluang bahwa konsumen itu akan membeli tv dan dvd?
Harapan Matematis Harapan matematis atau nilai harapan adalah jumlah semua hasil perkalian antara nilai variabel acak dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut. Jika P 1, P 2…. . Pk merupakan probabilitas terjadinya peristiwa maka E 1, E 2 ……. Ek dan andaikan V 1, V 2……. Vk adalah nilai yang diperoleh jika masing peristiwa diatas terjadi, maka harapan matematis untuk memperoleh sejumlah nilai adalah : E(V) = P 1 V 1 + P 2 V 2 + ………Pk. Vk
Contoh: Dalam suatu permainan berhadiah, pihak penyelenggara akan membayar Rp. 180. 000, apabila pemain mendapat kartu Ace, dan akan membayar Rp. 100. 000, - apabila mendapatkan kartu King dari setumpuk kartu bridge yang berisi 52 kartu. Bila tidak mendapatkan kartu ace dan kartu King pemain harus membayar Rp. 45. 000, -. berapa harapan matematis pemain tersebut ? E (V) = (44/52) = Rp. 180. 000 ( 4/52) + 100. 000 (4/52) – 45. 000 16. 538, 46 = Rp. 16. 500, -
Latihan : Dalam sebuah permainan dengan dadu, seorang pemain mendapat hadiah Rp 20 jika muncul angka 2, Rp 40 jika muncul angka 4, membayar Rp 30 jika muncul angka 6, sementara pemain itu tidak menang atau kalah jika keluar angka yang lain. Berapa harapan kemenangannya?
- Slides: 30