KONSEP DASAR PROBABILITAS 1 Pengantar Banyak kejadian dalam

KONSEP DASAR PROBABILITAS 1

Pengantar : Banyak kejadian dalam kehidupan sehari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P. 2

Konsep dan definisi dasar Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel. 3

Contoh : Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak. Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8. Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3. 4

Definisi probabilitas Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan : 5

Sifat-sifat probabilitas kejadian A: P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi. 0 6

Contoh (1): Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? 7

Contoh (1): Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah 8

Contoh (2): Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. 9

Contoh (2): Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat (a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat = 10

Latihan Jika ada sebuah dadu dilempar, berapakah peluang muncul faktor pembagi angka 4 ? Jika kartu remi diambil 1, berapakah peluang munculnya kartu king? Jika kartu remi diambil 1, berapakah peluang munculnya kartu As Wajik?

Kombinasi Kejadian Jika sebuah kentong berisi 4 buah kelereng merah dan 3 buah kelereng putih. Tentukan peluang terambil sekaligus 2 kelereng merah!

Probabilitas kejadian majemuk (1): Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya. 13

Probabilitas kejadian majemuk (2): Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah : 14

Contoh : Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut? 15

Contoh : Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut? Jawab : Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka : Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah : P(M B) = P(M) + P(B) – P(M B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36 16

Contoh Berapa peluang terjadinya faktor pembagi angka 2 atau faktor pembagi angka 3 dalam 1 pelemparan dadu?

Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau mutually exclusive): Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku : Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku : 18

Contoh : Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? 19

Contoh : Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab : Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5, 6), (6, 5)} Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah : P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36 20

Dua kejadian saling komplementer: Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku : 21

Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama. 22

Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama. Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama = {(1, 1), (2, 2) , (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} maka P(A) = 6/36 Sehingga, Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36 23

Dua kejadian saling bebas (independent): Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku : 24

Contoh: Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : Ruang sampel S = {(m, m), (m, b), (b, m), (b, b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A) = 2/4 = ½ = {(m, m), (m, b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = ½ = {(m, m), (b, m)} A B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m, m)} P(A B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B) = P(A). P(B) ¼ = ½. ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas. 25

Probabilitas bersyarat (conditional probability): Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. Ditunjukkan dengan P(B A) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi” 26

Contoh Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara acak. Berapakah peluang string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan, diberikan bahwa bit pertamanya adalah 0 ?

Solusi Misalkan E: kejadian bahwa string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan. F: kejadian bahwa bit pertama dari string adalah 0. E F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} p(E F) = 5/16 p(F) = 8/16 = 1/2 p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0. 625

Contoh (2): Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita? 29

Jawab: Responsen J S Jumlah R 20 40 60 W 30 10 40 Jumlah 50 50 100 Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah 30

Contoh: Kita punya dua kotak. Kotak pertama berisis 2 bola hijau dan 7 bola merah. Kotak pertama berisis 4 bola hijau dan 3 bola merah. Bob memilih sebuah bola dengan cara terlebih dahulu memilih kotak mana yang mau diambil bolanya secara acak. Kemudian dia memilih satu bola dari kotak tersebut secara acak pula. Berapa peluang Bob memilih dari kotak pertama? Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Jika Bob mendapatkan bola merah, berapa peluang dia memilih dari kotak pertama? 31

Aturan Bayes : Misalkan A 1, A 2, dan A 3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. S B A 1 A 2 A 3 32

probabilitas kejadian B adalah : P(B) = P(B A 1). P(A 1) + P(B A 2). P(A 2) + P(B A 3). P(A 3) = disebut Hukum Probabilitas Total 33

Contoh: Kita punya dua kotak. Kotak pertama berisis 2 bola hijau dan 7 bola merah. Kotak pertama berisis 4 bola hijau dan 3 bola merah. Bob memilih sebuah bola dengan cara terlebih dahulu memilih kotak mana yang mau diambil bolanya secara acak. Kemudian dia memilih satu bola dari kotak tersebut secara acak pula. Berapa peluang Bob memilih dari kotak pertama? Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Jika Bob mendapatkan bola merah, berapa peluang dia memilih dari kotak pertama? 34

Secara umum, bila A 1, A 2, A 3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat Ai B dirumuskan sebagai berikut : disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes). 35

Contoh: Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu. . Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola merah tersebut terambil dari kotak 2? 36

Jawab P(bola yang terambil berwarna merah) = P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) = 37

Contoh: We have 3000 messages in total. Suppose that we have found that the word “Rolex” occurs in 250 of 2000 messages known to be spam and in 5 of 1000 messages known not to be spam. Estimate the probability that an incoming message containing the word “Rolex” is spam, assuming that it is equally likely that an incoming message is spam or not spam. If our threshold for rejecting a message as spam is 0. 9, will we reject such messages? 38

Percobaan Bernouli Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua keluaran yang mungkin. Contoh. pelemparan sebuah koin. Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang demikian disebut PERCOBAAN BERNOULLI. Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi disebut kesuksesan atau kegagalan. Jika p adalah peluang sukses dan q peluang gagal, jelas p + q = 1.

Teorema Bernuolli Peluang k sukses dalam n percobaan Bernoulli yang saling bebas, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p, adalah C(n, k) pk qn-k. Ini dinotasikan dengan b(k; n, p). Jika b dipandang sebagai fungsi dari k, maka b dikatakan sebagai distribusi binomial.

Contoh A coin is flipped seven times. What is the probability that exactly four heads come up when the coin is flipped seven times, assuming that the flips are independent?

Contoh A coin is flipped seven times. What is the probability that exactly four heads come up when the coin is flipped seven times, assuming that the flips are independent? C(7, 4) / 27

Contoh A coin is biased so that the probability of heads is 2/3. What is the probability that exactly four heads come up when the coin is flipped seven times, assuming that the flips are independent?

Contoh A coin is biased so that the probability of heads is 2/3. What is the probability that exactly four heads come up when the coin is flipped seven times, assuming that the flips are independent?

Ilustrasi Misalkan ‘S’: sukses dan ‘F’: gagal, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p. Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima percobaan Bernoulli yang saling bebas? Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin: SSFFF Berapakah peluang kita akan membangun barisan ini?

Ilustrasi Barisan: SS F F F Peluang: P P Q Q Q = P²Q³ Barisan lain yg mungkin Barisan: FS F Peluang: Q P Q = P²Q³ Setiap barisan dengan dua sukses dalam dua percobaan terjadi dengan peluang p 2 q 3.

Ilustrasi Sekarang, ada berapa banyak barisan yang mungkin? Dengan kata lain, ada berapa cara untuk memilih dua obyek dari daftar yang berisi lima obyek? Ada C(5, 2) = 10 cara, sehingga terdapat 10 barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi dengan peluang p 2 q 3. Maka, peluang salah satu dari barisan tersebut muncul pada saat melakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p 2 q 3. Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan Bernoulli, kita memiliki peluang C(n, k) pk qn-k.

Contoh Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut. Carilah (a) p(muncul tepat empat angka 1). (b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).

Jawab (a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah (b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6. Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah