KONSEP DASAR MATEMATIKA DAN EKONOMI BISNIS MODEL EKONOMI
KONSEP DASAR MATEMATIKA DAN EKONOMI BISNIS MODEL EKONOMI Bagian 2 Pertemuan 2 dan 3 MATEMATIKA BISNIS Tonaas Marentek, M. Si
BAGIAN II KONSEP DASAR MATEMATIKA DAN EKONOMI BISNIS MODEL EKONOMI : 1. VARIABEL, KONSTANTA, KOOFISIEN DAN PARAMETER 2. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 3. SISTEM BILANGAN NYATA 4. KONSEP DAN TEORI HIMPUNAN 5. ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 6. PECAHAN, DESIMAL DAN PERSENTASE
BAGIAN II KONSEP DASAR MATEMATIKA DAN EKONOMI BISNIS TARGET : Mahasiswa/i mampu menghubungkan sekaligus menyederhanakan konsep dasar matematika dengan ekonomi dan bisnis
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MODEL EKONOMI Model Ekonomi = Penyederhanaan hubungan antara variabel-variabel ekonomi. Model Ekonomi dapat berbentuk model matematika dan non-matematika. Apabila berbentuk model matematika, maka akan terdiri atas satu atau sekumpulan persamaan. Persamaan terdiri atas sejumlah variabel, konstanta, koefisien, dan/atau parameter.
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Mis. Harga (Price) = P; Jumlah yg diminta/ditawarkan (Quantity) = Q; Biaya (Cost) = C; Penerimaan (Revenue) = R; Investasi (Investment) = I; Tingkat Bunga (Interest Rate) = I dan lain-lain Variabel Endogen = suatu variabel yg nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model; Variabel Eksogen = suatu variabel yang nilai-nilainya diperoleh dari luar model, atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada.
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Koefisien adalah angka pengali konstan terhadap varabelnya. (Misal 5 R; 4 P; atau 0. 3 C) Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lainnya. (Biasanya dilambangkan dg huruf awal abjad yunani atau Arab, Misalnya α, β, dan Ҳ atau a, b dan c.
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Persamaan adalah pernyataan bahwa dua lambang adalah sama. disimbolkan dengan tanda = (baca “sama dengan”), sedangkan Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan bahwa dua lambang adalah tidak sama. Disimbolkan dengan tanda < (baca “lebih kecil”) atau > (baca: “lebih besar)
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS 3 macam persamaan dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis : 1. 2. 3. Persamaan Definisi (Identity, =) adalah suatu bentuk kesamaan di antara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama. Persamaan Perilaku (behaioral equation) adalah suatu persamaan yg menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya yg ada hubungannya. Kondisi Keseimbangan adalah suatu persamaan yg menggambarkan persyaratan untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium). Misalnya; Qd = Qs ; S = I
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS SISTEM BILANGAN NYATA/REAL Bilangan Nyata Bilangan Rasional Bilangan Negatif Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecah Nol Bilangan Positif
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Pembagian bilangan 2; -2; 1, 1; -1, 1 Bilangan Nyata + dan - Khayal Akar negatip Rasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0, 1492525 Bulat Irrasional √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0, 14925253993999… π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan ½; 2/7 dsb 10
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Penggolongan Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Bilangan rasional= bilangan bulat, pecahan terbatas Bilangan irrasional adalah bilangan pecahan yang tak terbatas.
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Jenis-jenis Bilangan Lainnya Bilangan asli: bilangan bulat positif tidak termasuk nol Bilangan cacah: bilangan bulat positif atau nol Bilangan prima: bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS KONSEP DAN TEORI HIMPUNAN Konsep Himpunan adalah suatu konsep yg paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya. Karena dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan/sekelompok data observasi dari lapangan. • Merupakan suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. • Obyek yang membentuk himpunan disebut anggota/elemen/unsur • Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan unsur dilambangkan dengan huruf kecil
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS KONSEP DAN TEORI HIMPUNAN Penulisan himpunan ada 2 cara, yaitu; 1. Dengan mendaftarkan satu per satu. Misal; S adalah himpunan dari bilangan bulat positif dari 1 sampai 5, dapat ditulis menjadi. S = {1, 2, 3, 4, 5}. 2. Dengan cara deskriptif. Misal; B adalah suatu himpunan dari semua bilangan bulat positif, dapat ditulis menjadi; B = {x|x bilangan bulat positif}
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS OPERASI DAN NOTASI HIMPUNAN Gabungan (Union) notasi U Irisan(Intersection) notasi ∩ Selisih notasi (-) Himpunan Bagian (subset) notasi с Pelengkap(complement) misal Him. AC a A berarti a anggota him A a A berarti a bukan anggota him A notasi untuk himpunan kosong atau { }
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS OPERASI DAN NOTASI HIMPUNAN A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing} A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤ 5} { } atau 0. Merupakan himpunan kosong. Secara teori, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun. Notasi U digunakan untuk himpunan universal (yang bersifat besar).
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Operasi Himpunan Gabungan (Union): A U B = {x; x є A atau x є B} Irisan (Intersection): A ∩ B = {x; x є A dan x є B} Selisih: A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B} Pelengkap (Complement): A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A
Kaidah-kaidah Matematika Kaidah Indempoten: a) A U A = A b) A ∩ A = A Kadiah Asosiatif: a) (A U B) U C = A U (B U C) b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Kaidah Komutatif: a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif: a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C) b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)
Kaidah – kaidah Matematika (lanjut) Kaidah Identitas: a) A U 0 = A c) A U U = U Kaidah Kelengkapan: a) A U A = U c) (A) = A Kaidah De Morgan: (AUB)=A∩B b) A ∩ 0 = 0 d) A ∩ U = A b) A ∩ A = 0 d) U = 0, 0 = U b) ( A ∩ B) =A U B
Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir S A B Sifat-sifat gabungan a. A U B = B U A Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B)
Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B
Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) = A dan (A ∩ B) = B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S A B
Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A
Komplemen A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp. bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A A’
Latihan 1 : himpunan Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Pangkat dalam aljabar digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu variabel atau konstanta dikalikan dengan variabel atau konstanta itu sendiri dan perkaliannya tergantung pada bilangan yang menjadi pangkatnya.
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Contoh : Ubalah bentuk berikut ini menjadi pangkat positif
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 1. Faktorisasi dengan hukum distributif # ab + ac = a(b +c) ---- faktornya a dan (b+c) # ab - ac = a(b-c) ----- faktornya a dan (b-c) Contoh : 1. 4 x + 2 = 2(2 x + 1) 2. 3 x + 9 y = 3(x + 3 y) 3. 5 x – 5 y = 5(x – y) 4. 8 x – 4 x 2 = 4(2 x – x) 5. 20 ab – 15 ac = 5 a(4 b – 3 c)
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 2. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat # x 2 – y 2 = (x + y)(x – y) Perhatikan langkah-langkah suku dua berikut : (x + y)(x – y) = x(x – y) + y(x – y) (distributif) = x 2 – xy + yx – y 2 = x 2 – xy + xy – y 2 (komutatif) = x 2 – y 2 Jadi x 2 – y 2 = (x + y)(x – y)
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Contoh : 1. x 2 – 1 = x 2 – 12 = (x + 1)(x – 1) 2. x 2 – 36 = x 2 – 62 = (x + 6)(x – 6) 3. 9 x 2 – 9 = (3 x)2 – 32 = (3 x + 3)(3 x – 3) 4. 4 x 2 – 9 y 2 = (2 x)2 –(3 y)2 = (2 x + 3 y)(2 x – 3 y) 5. 36 x 2 – 4 y 2 = (6 x)2 – (2 y)2 = (6 x + 2 y)(6 x – 2 y) 6. 2 p 4– 32 = 2(p 4– 16) = 2 [(p 2)2 – 42 )] = 2 (p 2 + 4)(p 2 – 4) 7. p 4 – q 4 = (p 2 )2 – (q 2 )2 = (p 2 + q 2 )(p 2 – q 2 )
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 3. Faktorisasi bentuk x 2 + 2 xy + y 2 dan x 2 – 2 xy + y 2 # x 2 + 2 xy + y 2 = (x + y)2 # x 2 – 2 xy + y 2 = ( x – y)2 Perhatikan langkah berikut : x 2 + 2 xy + y 2 = x 2 + xy + y 2 ---- ( 2 xy = xy + xy) = x (x + y) + y (x + y) = (x + y)2 x 2 – 2 xy + y 2 = x 2 - xy + y 2 ---( -2 xy = -xy - xy) = x (x - y) - y (x - y) = (x - y)2
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Contoh : Tentukan pemfaktoran dari : 1. x 2 + 8 xy + 16 y 2 = x 2 + 4 xy + 16 y 2 = (x 2 + 4 xy) + (4 xy + 16 y 2) = x (x + 4 y) + 4 y(x + 4 y) = (x + 4 y)2 2. x 2 - 10 x + 25 = x 2 - 5 x + 25 = (x 2 - 5 x) – (5 x – 25) = x (x – 5) – 5(x – 5) = (x – 5)2
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 3. x 2 + 10 x + 25 = x 2 + 2. 5. x + 52 = (x + 5)2 4. p 2 – 18 p + 81 = p 2 – 2. p. 9 + (9)2 = (p – 9)2 5. a 2 – 4 ab + 4 b 2 = a 2 – 2. a. 2 b + ( 2 b)2 = ( a – 2 b ) 2
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 4. Faktorisasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a = 1 Dapat dirumuskan : x 2 + bx + c = (x + p) (x + q) Dengan Syarat a = 1 , b = p + q , dan c = p x q Untuk dapat menyelesaikan pemfaktoran bentuk ax 2 + bx + c dengan a = 1 , perhatikan langkah-langkah berikut :
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Misalkan bentuk kuadrat tersebut dapat difaktorkan ke dalam bentuk : x 2 + bx + c = (x + p) (x + q) = x 2 (x + q) + p (x + q) = x 2 + qx +px + pq = x 2 + (q + p)x + pq = x 2 + (p + q)x + pq Sehingga x 2 + bx + c = x 2 + (p + q)x + pq Diperoleh : (p + q) = b dan pq = c
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN latihan : Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut : 1. x 2 + 7 x + 10 2. x 2 + 7 x + 12 3. x 2 – 9 x + 14 4. x 2 – 9 x + 20 5. x 2 + 2 x – 15 6. x 2 – 5 x + 4
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN 5. Faktorisasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a 1 Dapat dirumuskan : ax 2 + bx + c = (ax + p) (ax + q) : a atau ax 2 + bx + c Dengan Syarat a 1 , b = p + q , dan ac = p x q Untuk dapat menyelesaikan pemfaktoran bentuk ax 2 + bx + c dengan a 1 Perhatikan uraian berikut :
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Perhatikan uraian berikut : ax 2 + bx + c = (ax + p) (ax + q) : a a 2 x 2 + abx + ac = (ax + p)(ax + q) = ax(ax + q) + p(ax + q) = a 2 x 2 + aqx + apx + pq = a 2 x 2 + (q + p) ax + pq = a 2 x 2 + (p + q) ax + pq Sehingga a 2 x 2 + abx + ac = a 2 x 2 + (p + q) ax + pq (p + q) = b dan p x q = ac
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ATURAN PEMANGKATAN DAN PEMFAKTORAN Latihan : Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut : 1. 3 x 2 + 10 x + 8 2. 4 x 2 + 14 x + 12 3. 2 x 2 + 13 x – 7 4. 12 x 2 - 17 xy – 5 y 2 5. 3 x 2 – 7 x – 6 6. 6 x 2 – x – 5 7. 3 x 2 + 11 x + 6
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS PECAHAN, DESIMAL DAN PERSENTASE
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS PECAHAN, DESIMAL DAN PERSENTASE
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS PECAHAN, DESIMAL DAN PERSENTASE/ PERCENTS/PER SERATUS = Suatu bilangan atau angka yang menunjukan bagian dari 100 SIMBOL (%) Penyebut atau pembagi (denominator) ditetapkan 100 contoh : 15% menunjukan 15 dari 100 Hubungan antara Desimal dan persentase : Persentase -> Pecahan (begitu juga sebaliknya)
BAGIAN II. KONSEP DASAR MATEMATIKA & EKONOMI BISNIS SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS PECAHAN, DESIMAL DAN PERSENTASE Latihan : hitunglah !!! 1. 150 adalah 40% dari … 2. 2000 adalah 30% dari … 3. 8% dari 1300 4. 12% dari 16800 5. Angka persentasi dari setiap perubahan nilai/ angka : a. 20 menjadi 24 b. 5 menjadi 8
- Slides: 44