konometri 1 Inferens i den linere regressionsmodel 5

Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 5. oktober 2005 Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 1

Dagens program n n n Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4): q Normalitetsantagelse (MLR. 6). q Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel. Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). q Konsistens q Asymptotisk normalitet og efficiens q Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni. sas). Test af flere lineære restriktioner (kap. 4. 5 og 5. 2). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 2

Hypotesetest: Eksempel: Lønrelationen Afhængig variabel: log(timeløn) Regressor Model (1) Model (2) uddaar 0, 0452 (0, 0035) 0, 0485 (0, 0032) erfaring _ 0, 0139 (0, 0010) konstant 4, 3500 (0, 0420) 4, 1051 (0, 0424) Antal observationer 1046 0, 140 0, 275 Kilde: Output fra SAS-programmet lon_udd 2. sas Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 3

Generel lineær restriktion n Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: n n n Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 4

Generel lineær restriktion (fortsat) n n n n Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. Estimere , men hvad med ? Omparameterisere modellen: OLS af I reparameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx Test restriktionen vha. t-stat. på Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 5

Eksakte versus asymptotiske egenskaber n Under antagelserne MLR. 1 -4 er OLS en middelret estimator. q Ved uafhængige trækninger af datasæt af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi, . q Gælder for enhver størrelse n af datasættet n Under CLM-antagelserne MLR. 1 -6 kender vi hele fordelingen eksakt: q t-test følger t-fordelingen q For enhver størrelse n af datasættet n MLR. 6: Normalitet er restriktivt. n Nu: Se på egenskaber for OLS når vi lader Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 6

Konsistens: Generelt n Wooldridge appendix C. 3 definerer konsistens af en estimator, jf TSØ kap. 8. n Estimatoren konvergerer i sandsynlighed mod den sande værdi: Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator. n n Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 7

Konsistens: Generelt (fortsat) Store tals lov: i. i. d. følge med middelværdi. Så gælder Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. Egenskaber ved plim: n n n 1. 2. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 8

Konsistens: Generelt (fortsat) n n n Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul i sandsynlighed når , så gælder at Ex. Estimation af middelværdi af i. i. d. følge med middelværdi og konstant varians : q Gennemsnittet af n observationer: q Gennemsnit af første og n’te observation: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 9

Konsistens: OLS n Theorem 5. 1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne: q q n n MLR. 1: Lineær model: MLR. 2: Tilfældigt udvalg af MLR. 3: Betinget middelværdi nul: MLR. 4: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær. Så er OLS-estimatoren konsistent for Bevis: Tavlegennemgang. Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR. 3: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 10

Konsistens: OLS n Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: n Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved n Per konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15. n Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 11

Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt n n Konsistens af OLS i store datasæt under MLR. 1 -4: Minimumskrav opfyldt. Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu: q q n MLR. 5: Homoskedasticitet: Men ikke MLR. 6: Normalitet af ui Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger: q q q Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse. Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast. Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 12

Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt n n Teorem 5. 2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR. 1 -5. q q q Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 13

Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis n Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelt: n Hvad er ”asymptotisk”? q q Afhænger bl. a. af, hvor meget u’s fordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler. N(0, 1) >< tn-k-1: Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 14

Asymptotisk normalfordeling for OLS: Monte Carlo experiment n n Lad os designe et lille eksperiment, hvor MLR. 1 -5 er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her): Lineær model, ingen eksakt multikollinearitet, u har middelværdi nul og konstant varians. Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling: q q q n Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1, 1]. Konstant tæthed f(u)=0. 5 over intervallet. Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. Resultat af eksperimentet forskellige n: SAS Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 15

Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl n n n OLS standardfejlen: Asymptotik: Komponenter i formlen: Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 16

Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren n Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. Theorem 5. 3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne n OLS: n Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 17

Oversigt over OLS estimatorens egenskaber Antagelser Eksakt MLR 1 -MLR 4 Middelret (Theorem 3. 1) MLR 1 -MLR 5 BLUE (Theorem 3. 4) Asymptotisk Konsistent (Theorem 5. 1) Asymptotisk efficiens (Theorem 5. 3) MLR 1 -MLR 5 +MLR 6 Normal fordelt (Theorem 4. 1) Asymptotisk Normalfordelt (Theorem 5. 2) Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 18

Flere lineære restriktioner Et fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. Model med tre forklarende variabler: n n Ex. på nulhypoteser q 1. 2. 3. q q Generelt format: q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 19

Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur): n n n Ex. : Restrikterede modeller: q 1. 2. 3. n Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 20

Flere lineære restriktioner (fortsat) n Test af flere lineære restriktioner: F-testet. n Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet. n n n Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 21

Flere lineære restriktioner (fortsat) n Wooldridge omtaler også ”R-squared” form af testet: Bør kun benyttes med stor varsomhed! OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. Mod-ex. : C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: n Indsæt restriktionen: n Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F -testet. n n Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 22

Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens n Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt Ffordeling: n Fordeling findes i Tabel G. 3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med ttest: n n n Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test. Ex. : Fra Ugeseddel 3: Engelkurven. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 23