Komplexn sla goniometrick tvar Vypracoval Mgr Luk Bik

  • Slides: 6
Download presentation
Komplexní čísla goniometrický tvar Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM

Komplexní čísla goniometrický tvar Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota reálného čísla je jeho vzdálenost od počátku. Stejným

Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota reálného čísla je jeho vzdálenost od počátku. Stejným způsobem je definována i v oboru komplexních čísel. Její výpočet vyplývá s Pythagorovy věty (viz obrázek). Je-li z = a + ib, pak 3 i Im z 2 + 2 i 2 i i – 3 + i – 3 – 2 – 1 0 –i – 2 i 1 2 3 Re z

Argument komplexního čísla je velikost orientovaného úhlu mezi kladnou reálnou osou a spojnicí čísla

Argument komplexního čísla je velikost orientovaného úhlu mezi kladnou reálnou osou a spojnicí čísla a počátku souřadnic. Značí se Arg z a vypočítá se pomocí goniometrických funkcí. Je vhodné si číslo zakreslit do roviny a posoudit správnost výsledku dle kvadrantu, ve kterém se číslo nachází. 3 i Im z 2 + 2 i 2 i i φ = Arg z – 3 – 2 φ – 180° – 1 – 3 – i 0 –i φ = Arg z 1 2 3 Re z

Goniometrický tvar komplexního čísla V Gaussově rovině je komplexní číslo jednoznačně určeno jeho reálnou

Goniometrický tvar komplexního čísla V Gaussově rovině je komplexní číslo jednoznačně určeno jeho reálnou a imaginární částí. Jednoznačně určeno však může být i jinými údaji, např. jeho vzdáleností od počátku (absolutní hodnotou) a úhlem (argumentem). Reálnou a imaginární část pak můžeme vyjádřit takto: Komplexní číslo z = a + ib pak tedy můžeme zapsat následujícím způsobem: Tomuto způsobu zápisu se říká goniometrický tvar komplexního čísla. Tento tvar je výhodnější pro některé početní operace s komplexními čísly než tvar algebraický.

Umocňování komplexních čísel opakovaným násobením v algebraickém tvaru by bylo zdlouhavé a pracné. Proto

Umocňování komplexních čísel opakovaným násobením v algebraickém tvaru by bylo zdlouhavé a pracné. Proto je výhodnější převést číslo do goniometrického tvaru a použít následující vzorec: Příklad: Pokud je absolutní hodnota čísla rovna jedné (jde tedy o tzv. komplexní jednotku), lze uvedený vzorec zapsat ve tvaru Tomuto vztahu, který se dá použít pro odvození vzorců goniometrických funkcí násobků úhlů, se nazývá Moivreova [moávrova] věta dle francouzského matematika Abrahama de Moivrea (1667– 1754).

Odmocňování komplexních čísel je obdobné jako jejich umocňování: Za k se postupně dosazují čísla

Odmocňování komplexních čísel je obdobné jako jejich umocňování: Za k se postupně dosazují čísla od 0 do n – 1, vznikne tedy celkem n odmocnin. Příklad: Zakreslením jednotlivých odmocnin do Gaussovy roviny vzniknou vrcholy pravidelného n-úhelníku se středem v počátku. Toho lze využít při dopočítání odmocnin pro sudé n (symetrie vzhledem k počátku).