Kompleksitas Algoritma Bahan Kuliah IF 2151 Matematika Disktit

Kompleksitas Algoritma Bahan Kuliah IF 2151 Matematika Disktit Rinaldi M/IF 2151 Matdis 1

Pendahuluan Sebuah algoritma tidak saja harus benar, tetapi juga harus mangkus (efisien). Algoritma yang bagus adalah algoritma yang mangkus. Kemangkusan algoritma diukur dari berapa jumlah waktu dan ruang (space) memori yang dibutuhkan untuk menjalankannya. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 2

Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma bergantung pada ukuran masukan (n), yang menyatakan jumlah data yang diproses. Kemangkusan algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang bagus. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 3

Mengapa kita memerlukan algoritma yang mangkus? Lihat grafik di bawah ini. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 4

Model Perhitungan Kebutuhan Waktu/Ruang Kita dapat mengukur waktu yang diperlukan oleh sebuah algoritma dengan menghitung banyaknya operasi/instruksi yang dieksekusi. Jika kita mengetahui besaran waktu (dalam satuan detik) untuk melaksanakan sebuah operasi tertentu, maka kita dapat menghitung berapa waktu sesungguhnya untuk melaksanakan algoritma tersebut. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 5

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 6

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 7

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 8

Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus independen dari pertimbangan mesin dan compiler apapun. Besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah kompleksitas algoritma. Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu: kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 9

Kompleksitas waktu, T(n), diukur dari jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Kompleksitas ruang, S(n), diukur dari memori yang digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Dengan menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat menentukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 10

Kompleksitas Waktu Dalam praktek, kompleksitas waktu dihitung berdasarkan jumlah operasi abstrak yang mendasari suatu algoritma, dan memisahkan analisisnya dari implementasi. Contoh 2. Tinjau algoritma menghitung rerata pada Contoh 1. Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut adalah operasi penjumlahan elemen-elemen ak (yaitu jumlah+ak), Kompleksitas waktu Hitung. Rerata adalah T(n) = n. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 11

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 12

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 13

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 14

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 15

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 16

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 17

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 18

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 19

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 20

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 21

Kompleksitas Waktu Asimptotik Rinaldi M/IF 2151 Matdis 22

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 23

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 24

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 25

Contoh 9. Tentukan notasi O untuk T(n) = 2 n + 3 log(n) Penyelesaian: 2 n + 3 log(n) 2 n + 3 n = 5 n (untuk n 1) Jadi, T(n) = 2 n + 3 log(n) = O(n) Rinaldi M/IF 2151 Matdis 26

Contoh 10: Tentukan notasi O untuk T(n) = log(n 2 + 1). Penyelesaian: log(n 2 + 1) log(n 2 + n 2) untuk n 1 = log(n 2) = 2 log(n) Jadi, T(n) = log(n 2 + 1) = O(log n) Contoh 11. Tentukan notasi O untuk T(n) = log (n!) Penyelesaian: log(n!) = log(1. 2 …. n) = log(1) + log(2) + … + log(n – 1) + log (n) log(n) + … + log(n) = n log(n) Jadi, T(n) = log(n!) = O(n log (n)) Rinaldi M/IF 2151 Matdis 27

Contoh 12: Tentukan notasi O untuk T(n) = 1 k + 2 k + … + nk Penyelesaian: 1 k + 2 k + … + nk + … + nk = n. nk+1 Jadi, T(n) = 1 k + 2 k + … + nk = O(nk+1) Rinaldi M/IF 2151 Matdis 28

Perhatikan, bahwa karena notasi O-besar menunjukkan batas fungsi lebih atas (upper-bound function), maka tidak ditentukan seberapa besar batas itu. Jadi, T(n) = 2 + 3 n =O(n) T(n) = 2 + 3 n = O(n 2) juga benar T(n) = 2 + 3 n =O(n 3) juga benar, dst Tetapi, agar notasi O-besar bermakna, maka dalam praktek kita memilih fungsi f(n) sekecil mungkin. Jadi, kita menulis: T(n) = 2 + 3 n =O(n), bukan O(n 2) Rinaldi M/IF 2151 Matdis 29

Tunjukkan bahwa T(n) = 3 n 2 = O(n 3), tetapi T(n) = n 3 O(n 2) Penyelesaian: T(n) = 3 n 2 = O(n 3) karena 3 n 2 n 3 untuk semua n 1 T(n) = n 3 O(n 2) karena tidak ada C dan n 0 sedemikian sehingga n 3 C n 2 untuk semua n n 0 Rinaldi M/IF 2151 Matdis 30

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 31

Aturan Untuk Menentukan Kompleksitas Waktu Asimptotik Rinaldi M/IF 2151 Matdis 32

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 33

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 34

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 35

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 36

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 37

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 38

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 39

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 40

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 41

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 42

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 43

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 44

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 45

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 46

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 47

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 48

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 49

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 50

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 51

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 52

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 53

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 54

Notasi Omega-Besar dan Tetha-Besar Rinaldi M/IF 2151 Matdis 55

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 56

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 57

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 58

TEOREMA. Bila T(n) = am nm + am-1 nm-1 +. . . + a 1 n+ a 0 adalah polinom derajat m maka T(n) adalah berorde nm. Rinaldi M/IF 2151 Matdis 59

Latihan Soal Rinaldi M/IF 2151 Matdis 60

2. Berapa kali instruksi assignment pada potongan program dalam notas Bahasa Pascal di bawah ini dieksekusi? Tentukan juga notasi O-besar. for i : = 1 to n do for j : = 1 to n do for k : = 1 to j do x : = x + 1; Rinaldi M/IF 2151 Matdis 61

3. Untuk soal (a) dan (b) berikut, tentukan C, f(n), n 0, dan notasi O-besar sedemikian sehingga T(n) = O(f(n)) jika T(n) C f(n) untuk semua n n 0: (a) T(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2 n (b) T(n) = (n + 1)(n + 3)/(n + 2) Rinaldi M/IF 2151 Matdis 62

Rinaldi M/IF 2151 Matdis 63