Kombinatorikk Peer Andersen USN 01 02 2022 1

Kombinatorikk Peer Andersen, USN 01. 02. 2022 1

Den første eksamensoppgaven i grunnskolen Johanne har tre røde, to grønne og en blå blyant i pennalet sitt. Blyantene er helt like bortsett fra fargen. a) b) Hun tar ut en blyant uten å se på fargen. Hva er sannsynligheten for at den er grønn? Hun legger blyanten tilbake og Kari ta ut to blyanter uten å se på fargene. Johanne mener at sannsynligheten for at begge er røde vil være 1/5 mens Kari mener sannsynligheten vil være 1/3. Har noen av de to rett? Begrunn svaret. (Gitt til avgangsprøve 10. klasse i 1992)

Den første eksamensoppgaven i grunnskolen Jeg skal ikke røpe svaret på oppgaven nå da vi skal jobbe med den i timen. • Det var 61, 5% av elevene klarte spørsmål a) • Det var 5, 8% av elevene klarte spørsmål b) Spørsmål a) er egentlig et meget dårlig spørsmål. Kan dere se hvorfor?

Den første eksamensoppgaven i grunnskolen Denne oppgaven kan løses på to måter. Vi kan bruke kombinatorikk og skrive opp alle kombinasjonene eller vi kan bruke en trestruktur. La oss se på kombinasjonene først. Vi kaller de rød blyantene for R 1, R 2 og R 3. De grønne for G 1 og G 2 og den blå for B 1. Vi kan da liste opp alle kombinasjonene. De er på neste lysark.

Den første eksamensoppgaven i grunnskolen R 1 R 2 R 1 R 3 R 1 G 1 R 1 G 2 R 1 B 1 R 2 R 3 R 2 G 1 R 2 G 2 R 2 B 1 R 3 G 2 R 3 B 1 G 1 G 2 G 1 B 1 G 2 B 1 Vi ser at det er 3 av 15 kombinasjoner som er rød-rød og følgelig har Johanne har rett.

Oppgave Vi har 4 kort på hånden, der tre av kortene er kløver og ett er ruter. Vi skal trekke to kort tilfeldig. Hva er sjansen for at begge er kløver? Hva er sjansen for at vi får en kløver og en ruter? 01. 02. 2022 6

Sannsynlighetsregning Vi forlater nå Power. Pointen og bruker SMART Notebook på noen problemstillinger før vi går videre. 01. 02. 2022 7

Kombinatorikk innledning Vi har tidligere snakket litt om kombinatorikk. Et eksempel er problemet med å trekke ut to kort av 4 kort når 3 av dem er kløver og 1 er ruter. Det kan løses på mange måter. Vi kan liste opp kombinasjonene (Vi tenker oss at kortene er kløver 2, 3 og 4 og ruter 7. K 2 K 3 K 2 K 4 K 2 R 7 K 3 K 4 K 3 R 7 K 4 R 7 Vi ser vi har 6 kombinasjoner og at 3 av dem er med to kløvere og 3 av dem er med en av hver.

Kombinatorikk innledning Et annet eksempel på kombinatorisk problem er å regne ut hvor mange lottorekker en må tippe for å være garantert 7 rette. Vi skal i dette kapittelet settet det mer i system og se på 4 forskjellige kombinatoriske situasjoner. Tre av disse følger samme tankemodell mens den siste skiller seg en del fra de tre første.

Enkle sammensetninger •

Enkle sammensetninger •

Ordnet utvalg med tilbakelegging •

Ordnet utvalg med tilbakelegging Vi kunne også her tegnet opp et tre slik som i sted, men med 29 bokstaver så blir treet voldsomt stort så derfor velger vi ikke å gjøre det her. Tankemåten som ligger til grunn for denne situasjonen er akkurat den samme som for enkle sammensetninger. Dette er et ordnet utvalg da f. eks ordene ella og alle er to forskjellige ord. Det har med andre ord betydning hvilken rekkefølge bokstavene står i. Det er med tilbakelegging siden vi kan bruke samme bokstav flere ganger.

Ordnet utvalg uten tilbakelegging •

Ordnet utvalg uten tilbakelegging Også her har vi et ordnet utvalg da f. eks ordene sier og rise er to forskjellige ord som inneholder de samme bokstavene. Vi legger også merke til at det er færre kombinasjoner når ikke har tilbakelegging enn når vi har tilbakelegging

Ordnet utvalg uten tilbakelegging •

Så langt…… Vi har nå sett på • Enkle sammensetninger • Ordnet utvalg med tilbakelegging • Ordnet utvalg uten tilbakelegging Tankemåten bak disse er som sagt den samme. Det er ikke noe vits i å pugge formler som står i boken for disse situasjonene. Bruk sunn fornuft og trestrukturerer slik jeg har lagt opp til.

Uordnet utvalg uten tilbakelegging Vi skal nå se på uordnet utvalg uten tilbakelegging. Denne situasjonen er noe mer krevende enn de forrige og vi må tenke litt annerledes. Det beste eksempelet på et uordnet utvalg uten tilbakelegging er Lottotrekningen. Den er uten tilbakelegging siden vi kun kan bruke hver kule en gang. Det er uordnet siden det ikke spiller noe rolle hvilken rekkefølge kulene blir trukket ut i.

Uordnet utvalg uten tilbakelegging Vi ser først på en forenklet lotto der vi har 5 kuler og der vi skal trekke ut 2 kuler. Vi kan her telle opp antall kombinasjoner 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 Vi ser at vi har 10 ulike kombinasjoner.

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging • 12 21 24 42 13 31 25 52 14 41 34 43 15 51 35 53 23 32 45 54

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging 123 132 213 231 312 321 124 142 214 241 412 421 125 152 215 251 512 521 134 143 314 341 413 431 135 153 315 351 513 531 145 154 415 451 514 541 234 243 324 342 423 432 235 253 325 352 523 532 245 254 425 452 524 542 345 354 435 453 534 543

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging •

Uordnet utvalg uten tilbakelegging Det finnes en rekke situasjoner der vi har et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Har vi mistanke om at vi har en slik situasjon kan det lønne seg å spørre seg selv om dette er samme situasjon som lottotrekningen. La oss se på et eksempel. Eks. Vi tenker oss at vi har en skoleklasse med 26 elever som er på tur. Vi tenker oss at 5 av elevene skal få være med på en båttur for å trekke opp et fiskegarn. Hvor mange forskjellige kombinasjoner er det mulig å trekke ut?

Uordenet utvalg uten tilbakelegging •