Kombinatorika Predmet kombinatorike je rasporeivanje elemenata u konanim

Kombinatorika • Predmet kombinatorike je raspoređivanje elemenata u konačnim skupovima i određivanje broja takvih rasporeda. • Proučavanje ove oblasti počelo je u 17. veku, uporedo sa nastankom teorije verovatnoće, kada su se prva pitanja pojavila u vezi sa igrama na sreću. • • Prebrojavanja predstavljaju važan deo kombinatorike. Različite skupove moramo prebrojavati u cilju rešavanja najrazličitijih problema. Nekada su to problemi: određivanje trocifrenih brojeva formiranih od zadatih cifara, broja različitih telefonskih brojeva, određivanja složenosti algoritama, utvrđivanja verovatnoća slučajnih događaja i sl •

• Primer: Dat je skup {1, 2, 3}. Koliko ima trocifrenih brojeva koji počinju cifrom 2, a da se cifre ne ponavljaju? • Primer: Koliko se različitih trouglova može provući kroz 5 nekolinearnih tačaka. • Primer: Na koliko načina možemo od 7 studenata odabrati tročlanu ekipu za takmičenje iz informatike. • Primer: Koliko u gradu ima brojeva telefona od 5 cifara

PRINCIPI PREBROJAVANJA •

PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA • Neka je dat skup • Permutacija je bilo koji raspored svih elemenata skupa. • Permutacije bez ponavljanja elemenata se mogu definisati i kao broj svih bijektivnih preslikavanja skupa A u samog sebe. • Primer: Jedna od permutacija skupa bez ponavljanja elemenata, je preslikavanje

• Primer: Dat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa , a da se • elementi ne ponavljaju? • Ima ih dve. To su: Primer: • Dat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa, a da se elementi ne ponavljaju? Ima ih šest. To su:

• Primer: Na koliko načina se mogu rasporediti 6 različitih knjiga na policu? • Primer: Pčela treba da skupi polen sa 7 različitih cvetova. Kada uzme polen sa cveta ona se na njega više ne vraća. Na koliko načina pčela može da obiđe svih 7 cvetova?

PERMUTACIJE SA PONAVLJANJEM • Neka je dat skup • Broj permutacija sa ponavljanjem, skupa od elemenata, među kojima jednakih , iznosi • Primer: Napisati sve permutacije elemenata • Primer: Odrediti broj permutacija elemenata Broj permutacija je

VARIJACIJE ILI UREĐENI IZBORI BEZ PONAVLJANJA ELEMENATA • • Neka je dat skup Varijacija k klase od n elemenata je bilo koja k-torka različitih elemenata skupa A. • Broj varijacija iznosi • Varijacije bez ponavljanja elemenata se mogu definisati i kao broj svih injektivnih preslikavanja ( 1 -1 preslikavanja ) skupa A od n elemenata u skup B od k elemenata • Napomena: U savremenoj literaturi sve se manje koristi naziv varijacije, već k-permutacije.

• Primer: Dat je skup . Koliko ima varijacija druge klase elemenata ovoga skupa i kako glase? Ima ih šest. To su: • Primer: Na konkurs u firmu javilo se 6 kandidata za radna mesta direktora , sekretara i potrira. Na koliko načina ih je moguće izabrati? Vršimo izbor 3 od 6 kandidata. Kako je raspored ( funkcija) bitan, u pitanju su varijacije treće klase od 6 elemenata.

VARIJACIJE SA PONAVLJANJEM • Neka je dat skup • Varijacija sa ponavljanjem k klase od n elemenata je bilo koja k-torka elemenata skupa A. Broj varijacija iznosi • • Varijacije sa ponavljanjem elemenata se mogu definisati i kao broj svih preslikavanja skupa A od elemenata, u skup B od elemenata, • Primer: Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa 1, 2, 3 i kako glase? Ima ih To su: • Napomena: Ako je klasa jednaka broju elemenata zadatog skupa, varijacije se svode na permutacije

KOMBINACIJE ILI NEUREĐENI IZBORI BEZ PONAVLJANJA ELEMENATA • Neka je dat skup • • Kombijacija klase od elemenata je bilo koja neuređena k-torka različitih elemenata skupa A. Broj kombinacija iznosi • Izraz čita se n nad k i to je broj svih poskupova datog skupa A koji imaju k elemenata. • • Primer: Dat je skup . Koliko ima kombinacija druge klase elemenata ovoga skupa i kako glase? Ima ih • To su:

• Napomena: • Osnovna razlika između permutacija, varijacija i kombinacija je u tome što kod permutacija koristimo i raspoređujemo sve elemente zadatog skupa, dok kod varijacija i kombinacija koristimo podskupove zadatog skupa. Sa druge strane, razlika između varijacija i kombinacija je u tome što je kod varijacija je bitno mesto elementa u rasporedu, a kod kombinacija nije. •

• Primer: Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa 1, 2, 3 ? Kako je u broju bitan raspored cifara, ovo su varijacije Ima ih • Primer: Koliko ima pravih koji se mogu povući kroz nekolinearne tačke A, B, C? Kako je sada nije bitan raspored tačaka na pravoj, ovo su kombinacije. Ima ih To su prave AB, BC i AC.

KOMBINACIJE SA PONAVLJANJEM • Neka je dat skup • Kombijacija klase od elemenata sa ponavljanjem je • Primer: Na koliko načina se 12 istih loptica može rasporediti u 6 različitih kutija. Ima ih

BINOMNA FORMULA • Iz srednje škole znamo neke od ovih obrazaca

• Binomni koeficijenti čine takozvani Paskalov trougao:

• Binomna formula glasi

Primer: Razviti po binomnoj formuli

Primer: Odrediti peti član u razvijenom obliku binoma

• . Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana binoma je 46. Odrediti član koji ne sadrži x.

PITANJA ZA PONAVLJANJE • • • Šta su permutacije ? Šta su varijacije? Šta su kombinacije? Kako glasi binomna formula? Šta je Paskalov trogao